[原创]神奇的自然数数列

小草

[watermark]神奇的自然数数列
     ——文/施承忠
  【数列1】
   
    1
1 1       2
   
    2
1 3       5
2 4       6
    3
1 7       10
2 8       11
3 9       12
    4
1 13      17
2 14      18
3 15      19
4 16      20
    5
1 21      26
2 22      27
3 23      28
4 24      29
5 25      30
   6
1 31      37
2 32      38
3 33      39
4 34      40
5 35      41
6 36      42
   7
1 43      50
2 44      51
3 45      52
4 46      53
5 47      54
6 48      55
7 49      56
   8
1 57      65
2 58      66
3 59      67
4 60      68
5 61      69
6 62      70
7 63      71
8 64      72
   9
1 73      82
2 74      83
3 75      84
4 76      85
5 77      86
6 78      87
7 79      88
8 80      89
9 81      90
     10
1  91      101
2  92      102
3  93      103
4  94      104
5  95      105
6  96      106
7  97      107
8  98      108
9  99      109
10 100     110
     11
1  111     122
2  112     123
3  113     124
4  114     125
5  115     126
6  116     127
7  117     128
8  118     129
9  119     130
10 120     131
11 121     132
     12
1  133     145
2  134     146
3  135     147
4  136     148
5  137     149
6  138     150
7  139     151
8  140     152
9  141     153
10 142     154
11 143     155
12 144     156
     13
1  157     170
2  158     171
3  159     172
4  160     173
5  161     174
6  162     175
7  163     176
8  164     177
9  165     178
10 166     179
11 167     180
12 168     181
13 169     182
     14
1  183     197
2  184     198
3  185     199
4  186     200
5  187     201
6  188     202
7  189     203
8  190     294
9  191     205
10 192     206
11 193     207
12 194     208
13 195     209
14 196     210
     15
1  211     226
2  212     227
3  213     228
4  214     229
5  215     230
6  216     231
7  217     232
8  218     233
9  219     234
10 220     235
11 221     236
12 222     237
13 223     238
14 224     239
15 225     240
     16
1  241     257
2  242     258
3  243     259
4  244     260
5  245     261
6  246     262
7  247     263
8  248     264
9  249     265
10 250     266
11 251     267
12 252     268
13 253     269
14 254     270
15 255     271
16 256     272
     17
1  273     290
2  274     291
3  275     292
4  276     293
5  277     294
6  278     295
7  279     296
8  280     297
9  281     298
10 282     299
11 283     300
12 284     301
13 285     302
14 286     303
15 287     304
16 288     305
17 289     306
     18
1  307     325
2  308     326
3  309     327
4  310     328
5  311     329
6  312     330
7  313     331
8  314     332
9  315     333
10 316     334
11 317     335
12 318     336
13 319     337
14 320     338
15 321     339
16 322     340
17 323     341
18 324     342
     19
1  343     362
2  344     363
3  345     364
4  346     365
5  347     366
6  348     367
7  349     368
8  350     369
9  351     370
10  352     371
11  353     372
12  354     373
13  355     374
14  356     375
15  357     376
16  358     377
17  359     378
18  360     379
19  361     380
      20
1  381     401
2  382     402
3  383     403
4  384     404
5  385     405
6  386     406
7  387     407
8  388     408
9  389     409
10  390     410
11  391     411
12  392     412
13  393     413
14  394     414
15  395     415
16  396     416
17  397     417
18  398     418
19  399     419
20  400     420
      21
1  421     442
2  422     443
3  423     444
4  424     445
5  425     446
6  426     447
7  427     448
8  428     449
9  429     450
10  430     451
11  431     452
12  432     453
13  433     454
14  434     455
15  435     456
16  436     457
17  437     458
18  438     459
19  439     460
20  440     461
21  441     462
      22
1  463     485
2  464     486
3  465     487
4  466     488
5  467     489
6  468     490
7  469     491
8  470     492
9  471     493
10  472     494
11  473     495
12  474     496
13  475     497
14  476     498
15  477     499
16  478     500
17  479     501
18  480     502
19  481     503
20  482     504
21  483     505
22  484     506
      23
1  507     530
2  508     531
3  509     532
4  510     533
5  511     534
6  512     535
7  513     536
8  514     537
9  515     538
10  516     539
11  517     540
12  518     541
13  519     542
14  520     543
15  521     544
16  522     545
17  523     546
18  524     547
19  525     548
20  526     549
21  527     550
22  528     551
23  529     552
      24
1  553     577
2  554     578
3  555     579
4  556     580
5  557     581
6  558     582
7  559     583
8  560     584
9  561     585
10  562     586
11  563     587
12  564     588
13  565     589
14  566     590
15  567     591
16  568     592
17  569     593
18  570     594
19  571     595
20  572     596
21  573     597
22  574     598
23  575     599
24  576     600
      25
1  601     626
2  602     627
3  603     628
4  604     629
5  605     630
6  606     631
7  607     632
8  608     633
9  609     634
10  610     635
11  611     636
12  612     637
13  613     638
14  614     639
15  615     640
16  616     641
17  617     642
18  618     643
19  619     644
20  620     645
21  621     646
22  622     647
23  623     648
24  624     649
25  625     650
      26
1  651     677
2  652     678
3  653     679
4  654     680
5  655     681
6  656     682
7  657     683
8  658     684
9  659     685
10  660     686
11  661     687
12  662     688
13  663     689
14  664     690
15  665     691
16  666     692
17  667     693
18  668     694
19  669     695
20  670     696
21  671     697
22  672     698
23  673     699
24  674     700
25  675     701
26  676     702
      27
1  703     730
2  704     731
3  705     732
4  706     733
5  707     734
6  708     735
7  709     736
8  710     737
9  711     738
10  712     739
11  713     740
12  714     741
13  715     742
14  716     743
15  717     744
16  718     745
17  719     746
18  720     747
19  721     748
20  722     749
21  723     750
22  724     751
23  725     752
24  726     753
25  727     754
26  728     755
27  729     756
      28
1  757     785
2  758     786
3  759     787
4  760     788
5  761     789
6  762     790
7  763     791
8  764     792
9  765     793
10  766     794
11  767     795
12  768     796
13  769     797
14  770     798
15  771     799
16  772     800
17  773     801
18  774     802
19  775     803
20  776     804
21  777     805
22  778     806
23  779     807
24  780     808
25  781     809
26  782     810
27  783     811
28  784     812
      29
1  813     842
2  814     843
3  815     844
4  816     845
5  817     846
6  818     847
7  819     848
8  820     849
9  821     850
10  822     851
11  823     852
12  824     853
13  825     854
14  826     855
15  827     856
16  828     857
17  829     858
18  830     859
19  831     860
20  832     861
21  833     862
22  834     863
23  835     864
24  836     865
25  837     866
26  838     867
27  839     868
28  840     869
29  841     870
      30
1  871     901
2  872     902
3  873     903
4  874     904
5  875     905
6  876     906
7  877     907
8  878     908
9  879     909
10  880     910
11  881     911
12  882     912
13  883     913
14  884     914
15  885     915
16  886     916
17  887     917
18  888     918
19  889     919
20  890     920
21  891     921
22  892     922
23  893     923
24  894     924
25  895     925
26  896     926
27  897     927
28  898     928
29  899     929
30  900     930
      31
1  931     962
2  932     963
3  933     964
4  934     965
5  935     966
6  936     967
7  937     968
8  938     969
9  939     970
10  940     971
11  941     972
12  942     973
13  943     974
14  944     975
15  945     976
16  946     977
17  947     978
18  948     979
19  949     980
20  950     981
21  951     982
22  952     983
23  953     984
24  954     985
25  955     986
26  956     987
27  957     988
28  958     989
29  959     990
30  960     991
31  961     992
  【数列1】有这样的性质：
   第k列右边的最后的一个数n=(2∑1,k:  ai)=2(1+2+3+...+k).i=k就是第k列.
   k^2=(2∑1,k:  ai)-k
   那么偶数的个数就是∑1,k:  ai,奇数和偶数一样多.
   在k^2内
   有p因子的合数个数y，那么就只要将因子被p整除的列相加就可以了.即ai整除p，k≤k,y≈∑1,k:  ai.
   非p因子的合数个数y，那么就只要将非p因子的列相加就可以了.即ai不整除p，k≤k,y≈∑1,k:  ai.
   所有合数个数y，那么就只要将所有的合数列相加就可以了.即ai是合数，k≤k,y≈∑1,k:  ai.
   所有素数个数y，那么就只要将所有的素数列相加就可以了.即ai是素数，k≤k,y≈∑1,k:  ai.
   所有孪生素数个数y，那么就只要将所有的孪生素数列相加就可以了.即ai=p,其中p+2也是素数，k≤k,y≈∑1,k:  ai.
   x是偶数，x=p+q,D(x)表示x中这样的素数对的对数.则存在这样的k,ai属于k,k≤k,使D(x)≈∑1,k:  ai.当x大于14822时，D(x)>L3(x)=∫2,x  1/lnx^3,当x充分大时有
   D(x)>L2(x)=∫2,x  1/lnx^2.
这些数列它只要存在于自然数列中，那么它就同自然数一样可以永无止境的延长.
现在接下来的就是为它们寻找一个非常相近的简单的函数.
我们有：
       ∫2,x  1/lnx^k

[/watermark]

小草

偶数数列
1    2   
2    4   
1    6
2    8
1    10  
2    12  
3    14  
4    16  
1    18
2    20
3    22
4    24
1    26
2    28
3    30
4    32
5    34
6    36
1    38
2    40
3    42
4    44
5    46
6    48
   .
   .
   .
48内的偶数个数=2(2+4+6)=24
6平方内的偶数个数=2(2+4+6)-6=18
其中2,4,6是36的根号内全部能被2整除的数的个数.

小草

3因子数列
1    3
2    6
3    9
1    12
2    15
3    18
1    21
2    24
3    27
4    30
5    33
6    36
1    39
2    42
3    45
4    48
5    51
6    54
   .
   .
   .
54内能被3整除的数的个数=2(3+6)=18
6平方内能被3整除的数的个数=2(3+6)-6=12
其中3与6是36的根号内全部能被3整除的数的个数.

小草

5因子数列
1    5
2    10
3    15
4    20
5    25
1    30
2    35
3    40
4    45
5    50
1     55
2     60
3     65
4     70
5     75
6     80
7     85
8     90
9     95
10    100
1     105
2     110
3     115
4     120
5     125
6     130
7     135
8     140
9     145
10    150
    .
    .
    .
150内能被5整除的数的个数=2(5+10)=30
10平方内能被5整除的数的个数=2(5+10)-10=20
其中5与10是100的根号内全部能被5整除的数的个数.

小草

7因子数列
1     7
2     14
3     21
4     28
5     35
6     42
7     49
1     56
2     63
3     70
4     77
5     84
6     91
7     98
1     105
2     112
3     119
4     126
5     133
6     140
7     147
8     154
9     161
10    168
11    175
12    182
13    189
14    196
1     203
2     210
3     217
4     224
5     231
6     238
7     245
8     252
9     259
10    266
11    273
12    280
13    287
14    294
294内能被7整除的数的个数=2(7+14)=42
14平方内能被7整除的数的个数=2(7+14)-14=28
其中7与14是196的根号内全部能被7整除的数的个数.

小草

6因子数列
1     6
2     12
3     18
4     24
5     30
6     36
1     42
2     48
3     54
4     60
5     66
6     72
1     78
2     84
3     90
4     96
5     102
6     108
7     114
8     120
9     126
10    132
11    138
12    144
1     150
2     156
3     162
4     168
5     174
6     180
7     186
8     192
9     198
10    204
11    210
12    216
216内能被6整除的数的个数=2(6+12)=36
12平方内能被6整除的数的个数=2(6+12)-12=24
其中6与12是144的根号内全部能被6整除的数的个数.

小草

15因子数列
1     15
2     30
3     45
4     60
5     75
6     90
7     105
8     120
9     135
10    150
11    165
12    180
13    195
14    210
15    225
1     240
2     255
3     270
4     285
5     300
6     315
7     330
8     345
9     360
10    375
11    390
12    405
13    420
14    435
15    450
1     465
2     480
3     495
4     510
5     525
6     540
7     555
8     570
9     585
10    600
11    615
12    630
13    645
14    660
15    675
16    690
17    705
18    720
19    735
20    750
21    765
22    780
23    795
24    810
25    825
26    840
27    855
28    870
29    885
30    900
1     915
2     930
3     945
4     960
5     975
6     990
7     1005
8     1020
9     1035
10    1050
11    1065
12    1080
13    1095
14    1110
15    1125
16    1140
17    1155
18    1170
19    1185
20    1200
21    1215
22    1230
23    1245
24    1260
25    1275
26    1290
27    1305
28    1320
29    1335
30    1350
1350内能被15整除的数的个数=2(15+30)=90
30平方内能被15整除的数的个数=2(15+30)-30=60
其中15与30是900的根号内全部能被15整除的数的个数.

小草

素数数列
1     2
2     3
1     5
2     7
3     11
1     13
2     17
3     19
4     23
5     29
1     31
2     37
3     41
4     43
5     47
6     53
7     59
1     61
2     67
3     71
4     73
5     79
6     83
7     89
8     97
9     101
10    103
11    107
1     109
2     113
3     127
4     131
5     137
6     139
7     149
8     151
9     157
10    163
11    167
12    173
13    179
1     181
2     191
3     193
4     197
5     199
6     211
7     223
8     227
9     229
10    233
11    239
12    241
13    251
14    257
15    263
16    269
17    271
1     277
2     281
3     283
4     293
5     307
6     311
7     313
8     317
9     331
10    337
11    347
12    349
13    353
14    359
15    367
16    373
17    379
18    383
19    389
1     397
2     401
3     409
4     419
5     421
6     431
7     433
8     439
9     443   
10    449
11    457
12    461
13    463
14    467
15    479
16    487
17    491
18    499
19    503
20    509
21    521
22    523
23    541
1     547
2     557
3     563
4     569
5     571
6     577
7     587
8     593
9     599
10    601
11    607
12    613
13    617
14    619
15    631
16    641
17    643
18    647
19    653
20    656
21    661
22    673
23    677
24    683
25    691
26    701
27    709
28    719
29    727
1     733
2     739
3     743
4     751
5     757
6     761
7     769
8     773
9     787
10    797
11    809
12    811
13    821
14    823
15    827
16    829
17    839
18    853
19    857
20    859
21    863
22    877
23    881
24    883
25    887
26    907
27    911
28    919
29    929
30    937
31    941
941内的全部素数个数=2+3+7+11+13+17+19+23+29+31=160
31平方-20内的全部素数个数=160
961根号内的全部素数相加就是961-20内的全部素数个数.
所以x内的素数个数π(x）大约是x根号内全部素数相加.
所以如果p1,p2,p3,...,pk是x根号内的的全部素数，那么一定存在π(x±b)=p1+p2+p3+...+pk.其中b比x要小得多.`

小草

孪生素数数列
1     3
2     5
3     11
1     13
2     17
3     19
4     29
5     31
6     41
7     43
8     59
9     61
10    71
11    73
1     101
2     103
3     107
4     109
5     137
6     139
7     149
8     151
9     179
10    181
11    191
12    193
13    197
14    199
15    227
16    229
17    239
1     241
2     269
3     271
4     281
5     283
6     311
7     313
8     347
9     349
10    419
11    421
12    431
13    433
14    461
15    463
16    521
17    523
18    569
19    571
20    599
21    601
22    617
23    619
24    641
25    643
26    659
27    661
28    809
29    811
811内的全部孪生素数个数=3+11+17+29=60
29平方-30内全部孪生素数个数=60
841根号内的全部孪生素数（不包括p+2)相加就是961-20内的全部孪生素数个数(不是对数）.
所以x内的孪生素数个数T(x）大约是x根号内全部孪生素数(不包括p+2)相加的二分之一.
所以如果p1,p2,p3,...,pk是x根号内的的全部孪生素数(不包括p+2)，那么一定存在T(x±b)=(p1+p2+p3+...+pk)/2.其中b比x要小得多.`

小草

等号右边是所有根号内素数相加.
π(2^2+0)=2
π(3^2+2)=5
π(5^2+4)=10
π(7^2+10)=17
π(11^2-14)=28
π(13^2+10)=41
π(17^2-18)=58
π(19^2+28)=77
π(23^2+12)=100
π(29^2-114)=129
π(31^2-20)=160
π(37^2-168)=197
π(41^2-188)=238
π(43^2-26)=281
π(47^2-6)=328
π(53^2-188)=381
π(59^2-402)=440
π(61^2-140)=501
π(67^2-360)=568
π(71^2-308)=639
π(73^2+70)=712
π(79^2-174)=791
π(83^2-98)=874
π(89^2-338)=963
π(97^2-908)=1060
π(101^2-810)=1161
π(103^2-306)=1264
π(107^2-98)=1371
π(109^2+520)=1480
π(113^2+672)=1593   
π(127^2-1430)=1720
π(131^2-1274)=1851
π(137^2-1476)=1988
π(139^2-734)=2127
π(149^2-2078)=2276
π(151^2-1190)=2427
π(157^2-1490)=2584
π(163^2-1722)=2747
π(167^2-1332)=2914
π(173^2-1579)=3087
π(179^2-1844)=3266
π(181^2-642)=3447
π(191^2-2484)=3638
π(193^2-1182)=3831
π(197^2-642)=4028
π(199^2+640)=4227      
π(211^2-2078)=4438
π(223^2-4878)=4661
π(227^2-4122)=4888
π(229^2-2618)=5117
π(233^2-1928)=5350
π(239^2-2142)=5589
π(241^2-552)=5830
π(251^2-2744)=6081
π(257^2-2802)=6338
π(263^2-3062)=6601
π(269^2-3170)=6870
π(271^2-2322)=7141
π(277^2-1452)=7418
π(281^2-494)=7699
π(283^2+1530)=7982     
π(293^2-872)=8275
π(307^2-5658)=8582
π(311^2-4644)=8893
π(313^2-2486)=9206
π(317^2-1308)=9523
π(331^2-6560)=9854
π(337^2-6648)=10191
π(347^2-9378)=10538
π(349^2-6638)=10887
π(353^2-5316)=11240
π(359^2-5448)=11599
π(367^2-6956)=11966
π(373^2-6972)=12339
π(379^2-7110)=12718
π(383^2-5622)=13101
π(389^2-5544)=13490
π(397^2-7182)=13887
π(401^2-5610)=14288
π(409^2-7140)=14697
π(419^2-10248)=15116
π(421^2-6828)=15537
π(431^2-10008)=15968
π(433^2-6738)=16401
π(439^2-6698)=16840