[讨论]张彧典的八次大循环中的错误

雷明85639720

张彧典的八次大循环中的错误
雷  明
（二○一三年三月二日）
张彧典先生的《探秘》（即《四色猜测探秘》一书）一书中有一张图，是张先生在1992年初冬得到的“简记为Z换色程序”的所谓“张氏换色程序”，其中共有八种不同形式的图，也可以说是八种构形，张先生在该图下标注有“Z换色程序”的字样。这就是张先生所说的“八次大循环”。所谓的“Z换色程序”从《探秘》一书中看，就是指进行“逆时针赫渥特颠倒”，“颠倒”就是“交换”。“八次大循环”是说某种构形（即《探秘》一书中的图7•3—3，张先生称其为H—构形（赫渥特构形）中的一种，笔者把该构形叫半H—构形）在经过了八次“逆时针赫渥特颠倒”后，又返回到原来的构形。但在他的循环中，在进行他的“逆时针赫渥特颠倒”时，在每次 “颠倒”后均把“颠倒”前构形中的顶点相邻的关系进行了改动，这怎么能行呢。着色中的交换只是对链中各顶点的颜色进行交换，而并不是对图中的顶点相邻关系要进行变动。既然把图中顶点的相邻关系都进行了改动，那当然所得到的结果就不再是原来的图了。谈何能出现着色的“循环”呢。
应该说，给图着色时无论是叫做“交换”吧，或是叫做“颠倒”吧，只是对图中顶点所着颜色的改变，而不应改动图中顶点之间的相邻关系。但张先生的这张“Z换色程序”图中，从一个构形（图）到另一个构形（图）的转变过程中，不但通过交换改动了某些顶点的颜色，而且每交换一次，图中顶点间的相邻关系都在发生着改变。这是不应该的。米勒对他的构形进行了四次所谓的“逆时针赫渥特颠倒”，认为构形又“返回”了到初始的状态，但在转变的过程中始终保持了原构形中顶点间的相邻关系，一点也没有变动。

为了以下说明问题方便，我们提前做了图1。图1中箭头所指方向就是我们展开分析的方向,图中各圆圈的位置（数字号码）就是我们后面所画图中相应于圆圈中文字所核述的图的位置。为了说明问题更准确，更方便，我对张先生的构形中还增加了各顶点的名称（也用数字表示），目的是为了更好的说明张先生在进行每一步换色中不但给构形中某些顶点交换了颜色，而且还对构形中另一些顶点的相邻关系进行了变动，使得图的本身发生了变化。从我们对张先生的每一步换色的分析可以看出，张先生换色的结果（图1中的标号7）的拓扑变化（图1中的标号8）和应该得到的结果（图1中的标号3）的拓扑变化（图1中的标号6）总是不相同的。每一步换色应该得到的结果都应是一个H—构形，而张先生换色的得到的结果却都是一个半H—构形。产生这一不相符合的情况的原因，就是张先生在换色过程中同时又对构形中某些顶点间的相邻关系地行了改动。

张先生的“Z换色程序”图中共有八个构形，现在先用数字表示在图2中，我们将在以后的讨论中逐步的分别给以画出。在张先生的图中有实线，有虚线，我们先按实线所示的构形和实线所示的方向进行分析。
一、张氏“Z换色程序”图中各构形的演变
    1、由构形（1）到构形（2）：
由构形（1）（图3，1，这是一个半H—构形）到构形（2），图中已标明是在（1）中的A1—C1环（这里的“环”是指连通链A1—C1加上图中未画出的未着色顶点V后得到的一条闭合的环链）内互换B、D色，生成B—C环。并没有谈及要改动顶点间的相邻关系。但张先生实际上在对构形（1）的顶点1和7间进行了B、D二色的交换（如图3，4）后，却将原来构形（1）中相邻的顶点2和7断开，而将原来不相邻的顶点1 和6变成相邻的（如图3，7），从而得到构形（2）。但并没有说明他进行这一改动的原因。我想，不管说明不说明原因，进行交换时改动图中顶点间的相邻关系总是不应该的。这第一步就错了，以后得到的结果和结论还能正确吗。
如果不改变构形（1）中顶点相邻关系，所得到的正确结果应该是图3，3，这是一个H—构形（如图3，6，图中不但有两条相交叉的C—A链和C—B链，而且有A—B环链）。但张先生得到的图3，7却是一个半H—构形（如图3，8），且与（1）的构形是相同的（构形虽然相同，但却是两个不相同的图，因为图中顶点的相邻关系已经发生了变化）。为什么要把应得到的H—构形通过对原图中顶点的相邻关系的改变而变成一个与（1）的构形相同的半H—构形呢，张先生没有说，我们从其书中一点也看不出原因。图3，8的构形看上去与（1）的构形是相同的，但实质上不再是同一个图了，因为从构形（1）到图3，8的构形的转变过程中把构形（1）中顶点间的相邻关系已经改变了。原构形（1）中的顶点1和6本来是不相邻的，而图3，7和图3，8中该两顶点却成了相邻的，你说这还能是原图吗，所以说这两个图是不同的两个图。
由于“图”本身的定义就表示的是某些事物之间的相互关系。本来由A—B—C—D—A构成的四边形中，对角A和C是相邻的，对角B和D是不相邻的，而现在却成了对角B和D是相邻的，对角A和C是不相邻的，不管你给他们染成什么颜色，他们都不是同一个图。如果这四边形的四个顶点表示的是四个工厂，其中有边相邻的两顶点表示该两工厂间有经济往来关系，那么你这样一改变，改动后的图还能表现出实际中各工厂之间发生经济往来的关系吗。
张先生在以后的由构形（2）到构形（8）的转变过程中，每一步转变都完全是重复着由构形（1）到构形（2）的相同的过程，所以我们在下边的分析中，就只画出转变的图，而不再进行一个个的具体分析了。读者可以自已对照着图看一看。
2、由构形（2）到构形（3）：
如图4。
3、由构形（3）到构形（4）：
如图5。
4、由构形（4）到构形（5）：
如图6。
5、由构形（5）到构形（6）：
如图7。
6、由构形（6）到构形（7）：
如图8。
7、由构形（7）到构形（8）：
如图9。
7、由构形（8）到构形（9）：
如图10。
（所有图均见以上的DOC文件中）
二、对张氏“Z换色程序”图的分析
从以上的图3到图10可以看出，八个图完全是一样的，其变化前的构形1都是同样的一个半H—构形的图，其变化的结果构形7也都是同样的一个半H—构形的图，而构形1和构形7也是同样的一个半H—构形。“Z换色程序”图中共有八个构形，实际上是九个构形，因为他的构形（8）再经过一次逆时针赫渥特颠倒后，得到的构形（9）并不是最初的构形（1）。九个构形看样子完全相同，细看一下，构形中处于相同位置上的顶点的名称（顶点旁的数字）却是不相同的，所以说这九个构形并不是同一个图。为什么会产生这种情况，就是因为张先生在进行了所谓的逆时针赫渥特颠倒后，不加任何提示，也不说明任何原因，偷偷的就把“颠倒”以后的图中的某些顶点的相邻关系进行改变了，又使得所得到的构形与“颠倒”前的构形形式上完全相同，只是构形中处于相同位置上的顶点的名称不同罢了。
到底张先生都是对构形中那些顶点的相邻关系进行了改动呢，我们进行一下分析。我们在以上的八个图中的构形1都是一个半H—构形，在进行了一次逆时针赫渥特颠倒后都会得到一个H—构形，即构形5和6。这两个图左右是对称的，且都有一个由四个顶点构成的环链（如图10，5和图10，6中由顶点3—4—6—8—3构形的c—d环链，它把a—b链隔成了环内环外两部分），张先生对构形中顶点相邻关系的改动都是在构形5和6中的对称轴右侧的四个顶点间进行的。他把这四个顶点中原来相邻的两个顶点断开（在图10，5和图10，6中是把顶点3和8断开，使原有的c—d环链断裂），而又把原来不相邻的两个顶点连接了起来（在图10，5和图10，6中是把顶点2和7连接了起来，使得原来不连通的a—b链的两部分连通了起来了）。这样一改动的结果就使得一个H—构形就转化成了一个半H—构形了（如各图中的构形8和9。因为我们在前面已经说了H—构形和半H—构形是可以相互转化的），使得“颠倒”后的构形又变成了一个与“颠倒”前完全相同的半H—构形了，也只是构形中处于相同位置上的顶点的名称不同罢了。
为什么说图10中对张氏的构形（8）进行逆时针颠倒后得到的构形（9）不是张氏的构形（1）呢，因为构形中处于同一位置的顶点名称是不同的，所以不是同一个图。还可以再看一看构形中各顶点的度的多少也是不是一样。在构形（1）中各顶点的度分别是1（3）、2（4）、3（4）、4（3）、5（4）、6（4）、7（5）和8（5）（括号外的数字是顶点名，括号内的数字是该顶点的度），总度数是32，即构形中有16条边；而构形（9）中各顶点的度却分别是1（4）、2（4）、3（3）、4（4）、5（3）、6（5）、7（5）和8（4）,虽然总度数仍是32（仍是16条边），但由于各顶点的度都与原来不同，所以构形（9）的图就不再是构形（1）的图了，尽管二者的构形是相同的。我算了一下，按张先生的这种方法“颠倒”下去，同时也进行有关顶点相邻关系的改变，最终需要颠倒二十次，才能使最后得到的构形与最开始的构形（1）不但构形相同，而且构形中各个处于相同位置上的顶点的度也相同，即是同一个顶点。但这中间不是张先生在文字中（即图2中的文字说明部分）所说的“四次换色小循环，八次换色大循环”了，而是“二十次换色大循环”了。其间不是张先生所说的经过两次“双B夹A型”而是要经过五次“双B夹A型”了。这与我们在上一论文《三论张彧典的所谓九构形》一文中米勒构形的循环中要回到原来的“双B夹A型”也是要经过五次“双B夹A型”是同样的道理，其中经过“双B夹A型”的次数是与待着色顶点V的度d＝5有关的。

对于张先生的构形（1）这样一个半H—构形（图11，1）来说，其着色完全可以首先选择从顶点3开始进行b—c链交换（图11，2），就可以直接使图变成一个非H—构形的图，因为这时图中只有一条连能链了，不存在两连通链相交叉两次的问题了；然后再从顶点2开始进行b—d链的交换（图11，3），就可立即同时移去两个b色，空出b来给待着色顶点V着上（如图11，4）。但这里最重要的是“首先选择”了“从顶点3开始进行b—c链交换”，否则图将会再变成一个H—构形。
这一个非常容易着色的图，张先生不走这条路，而要用什么不断进行逆时针赫渥特颠倒的张氏“Z换色程序”呢，且最后还是没有得到应给待着色顶点V着什么颜色的结论。
如果我们也象张先生那样不断的进行所谓的逆时针赫渥特颠倒，但只是交换顶点的颜色，而不去变动顶点的相邻关系，那么也是很快就可以从5—边形的顶点中空出一种颜色来给待着色顶点V着上的。如图12。第一次换色使半H—构形的构形（1）变成了一个H—构形（图12，3）；第二次换色又使构形变回成了一个半H—构形（图12，5）；第三交换色（对顶点2—6进行a、c交换），构形就变成一个非H—构形（图12，7）；如果这时再对顶点4—8进行a、d交换，就可直接空出a 色来约V着上（如虚线所指向的图12，10）；但这里我们还是按张先生的办法继续进行所谓的逆时针颠倒吧；第四次换色（这一次换色并不是所谓的逆时针赫渥特颠倒了，而是一个普通的坎泊颜色交换技术）也就可从5—边形的顶点中空出一种颜色d来了（图12，8），然后把这种颜色给处于5—边形面中的待着色顶点V着上即可（图12，9）。这时我们可以看出，图12，8和图12，9（还有图12，10）中的构形中各顶点的度仍然与图12，1中的张氏构形（1）中各顶点的度是相同的，即仍是1（3）、2（4）、3（4）、4（3）、5（4）、6（4）、7（5）和8（5）。
张先生的“Z换色程序”图中所进行交换前的图都是同样的半H—构形，最后又都得到的是半H—构形，所以根本就不存在循环不循环的问题。这个图张先生只是很粗略的给了八个构形，也并没有附加任何说明，实在是叫读者难以看明白，对作者本书的结论——九大构形都是4—可着色的也是没有起到任何作用的。

张先生的这八次换色的循环说明了什么问题呢，请问先生的最后目的是不是要从5—边形顶点中空出一种颜色来呢，可你空出来了没有呢。他的结论是“能”空出，还是“不能”空出来这一种颜色来，张先生没有下这个结论。如果是空不出来，为什么不干脆就象米勒一样，认为他的米勒构形是不能4—着色的。可先生又没有这么说，而在书后面的“可视性证明”一节中，又“证明”了构形（1）用他的“Z换色程序”的方法是“可约的”。但这次先生在进行了一次逆时针赫渥特颠倒后，并没有对图中的顶点的相邻关系进行改动，交换后使图的构形由一个半H—构形变成了一个H—构形，再继续进行逆时针赫渥特颠倒，又使图变成了一个半H—构形，第三次进行再进行逆时针赫渥特颠倒后，这时图就变成了一个非H—构形，然后再使用了一次坎泊的颜色交换技术后，也给待着色顶点V着上了d色。这不就与我们上面图12 中的着色方法一模一样吗，这次你为什么不再变动图中顶点间的相邻关系呢。
张先生不能用他的“Z换色程序”的方法给米勒图进行4—着色，但又用了不同于他的“Z换色程序”的方法对米勒的构形进行了4—着色，而且把这种方法称之为“Z＇换色程序”。所以张先生又在他原来的八大构形（请注意这八大构形在先生的书中又不是前面“Z换色程序”图中的八大构形了）的基础上，加上米勒的构形，凑到一起，构成什么由九个构形构成的所谓“可约H构形不可免集”。我现在还是以前几篇文章中的观点，如果以后张先生再遇到了着色方法不同于其“Z换色程序”的构形，而先生又能用别的方法给其4—着色时，是否先生的“可约H构形不可免集”中的元素又要增加了呢。我把张先生的书看了多次，也弄不明白先生《探秘》一书中前面的“Z换色程序”图中的“四次小换色循环，八次换色大循环”与后面的九构形（即“可约H构形不可免集”）之间有什么样的关系。
三、张氏“Z换色程序”图中的错误
1、张氏在进行换色的过程中，不但对构形中某些顶点所着的颜色进行了改动，而且同时也对构形中某些顶点间的相邻关系进行了变动，这是其错误之一；
2、张氏在每次换色前的构形都是相同的构形，同时所到的也是相同的构形，所以不存在循环的问题，而先生却说是“四次换色小循环，八次换色大循环”，这是其错误之二；
3、张氏在经过八次换色后，应该得出构形（1）是否可以4—着色的结论，但先生却最终没有提及，使得作了这样一个所谓的循环图最终不能显示其作用，这是错误之三；
4、对于张氏的构形（1），最多只需要进行四次坎泊的颜色交换就可以空出原来图中已用过的四种颜色之一给待着色顶点V着上，然而张先生却用了八次所谓的逆时针赫渥特颠倒，最后还是没有空出颜色给待着色顶点着上，不知其这个“Z换色程序”图在这里是起了什么作用；
5、书中只有一个“Z换色程序”图，而没有附加任何说明，一不说图的制作方法，二不说各构形是如何换色的，三不说最终得到的是一个什么样的结论，这恐怕也是这个图的一个毛病吧。

雷  明
二○一三年三月二日——十三日于长安