[讨论]为什么一个非常简单的四色问题会变得如此的复杂化神秘化

雷明85639720

为什么一个非常简单的
四色问题会变得如此的复杂化神秘化
雷  明
（二○一三年八月五日）
今天上午我写了一篇题为《用哈德维格尔的思想对四色猜测进行证明》的文章，A4纸、四号字只用了5 张，每张660个字，共计3300字，除去几幅图外，最多3000字就解决了问题。可为什么数学界则认为要证明四色猜测没有新的数学理论是不可能的呢。难怪对猜测的研究在数不界总是无人问津的，他们是在等，在等待新的数学理论的出现。
我却不是这样认为的，四色猜测并不是深不可测的，是一个非常 简单的问题，用现在已有的数学理论是完全可以证明的，而且是有多种证明方法的。不需要等什么新的数学理论的出现。那么为什么如此简单的问题会在数学界认为是深不可测，竟到了认为没有新的数学理论的出现就不能解决的地步呢，为什么就成了如此的复杂化和神秘化的问题呢。我认为是有其历史根源的。
首先，猜测的提出在前，图论科学的逐步成熟在后。在还没有认识到对地图中面的染色就相当于对其对偶图——平面图中的顶点着色之前，也就是猜测还没有从一个地理问题转变为数学问题时，就有人开始对猜测从面的角度上的染色进行证明，这种证明比起我们现在从图的顶点着色进行证明要麻烦得多，也很不容易搞明白。这就产生了现在一般在互联网上介绍四色问题时的、一段千篇一律的、几乎只字未动的、相同的这两段说教：
其一：“肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是‘正规的’……，否则为非正规地图。一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了”。
其二：“肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的‘极小正规五色地图’，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了‘四色问题’。……”
以上两段引自一篇题为《四色定理的诞生过程》的文章，网址是：http://baike.baidu.com/view/40919.html?wtp=tt。
这里第一段话中的“正规地图”实际上就是我们平时所说的地图，地图中的所有顶点都是由三个区划相交而成的，一般叫它“三界点”，所以地图是一个3—正则图。坎泊这里的“正规”就是这个意思；这里的“国”实际上就是指的地图中的区划。这里的所谓“五色地图”实际上说的是“五个两两均相邻的区划”，因为如果地图中存在五个两两均相邻的区划时，其着色就得用五种颜色。这段话说得还是较清楚的，逻辑性也是比较强的，说明了要证明四色猜测的正确，只要证明不存在“五色地图”就够了，表达得也很明白；
但第二段的“证明”却说得很不清楚，逻辑很混乱，也很难理解。其中第一句“如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的‘极小正规五色地图’”，也还比较清楚，说的是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张只有五个国家两两均相邻的地图（其对偶图相当于一个K5图），这个地图着色就非得用五种颜色不可，所谓“极小的五色地图”我理解就是这个意思；但后面的“如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了”，这里的逻辑却很乱。既是极小正规五色地图，那么五个国家中的任何一个就只能与其他四个国家相邻，其邻国数肯定都是少于六个的。再后面的“就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数”就更没办法理解了。这里的“国数较少的正规地图”的“较少”是与谁在比较，比的对象是什么，为什么又是“不会有极小五色地图的国数”，“极小五色地图的国数”或者极小地图中的“国数”又是什么概念，都没有交代清楚。
但是，无论这段话文字方面有什么问题，还是可以看得出其大意说的是：任何一个地图中都不存在五个以上（包括五个）区划是两两均相邻的情况。坎泊说的“不存在一张正规五色地图”实际上就是说“地图中不存在五个以上两两均相邻的区划”。这一个结论是对的，也是非常正确的，地图的确就是这样的。同样也由于地图是一个平面图，其对偶图也是一个平面图，所以对地图做对偶图后，上面的结论就会变成：“任何平面图中都不存在顶点数大于等于5的团”，即平面图的密度一定是小于等于4的。尽管“任何平面图中都不存在顶点数大于等于5的团”是正确的，但其逆“不存在顶点数大于等于5的团的图”却不一定都是平面图，如K3，3中就不存在顶数大于等于5的团，但其却是一个典型的非平面图。
这是两段多么难以理解的话呀，弄不好就会越弄越糊涂，越来越不明白了。
还有一个就是赫渥特用以否定坎泊证明的那张所谓的反例地图，现在我们一般都是对其对偶图进行研究的，还是比较方便一点，却还认为是较难的；但赫渥特与坎泊那时则完全是用地图的形式进行研究，其难度就可想而知有多大了。
在坎泊的证明被否定了之后，对于猜测的证明曾有半个世纪几乎停止，1940年以后对猜测的证明又开始日益增多，但都没有脱离对地图面上的染色这一方法，所染地图的“国家”数早已增加到了52个，但这又有什么用呢，仍然还不是任意的地图嘛。后来在计算机问世后，由于计算机速度之快，人绝对是无法比的，所以就有人试图用计算机来进行证明，可他们的所谓“证明”，实际上就是“验让”，利用计算机之“快”，对大量的图（或地图）进行了着色，结果都是只用了不多于四种的颜色数。于是就宣传四色问题人一辈子也证不完，而在计算机问世后，却被计算机证明了。这种说法是多么的荒唐呀。请不要忘记，计算机本身就是人所创造的，它的一切工作都是在人的指挥和授意下进行的，没有人它是不会工作的。不要以为利用了计算机的速度之快，着过色的图越多，就能说明它比人聪明，就能说明猜测是它证明的。计算机的所谓“证明”只不过是对大量的图进行了着色的验证而已，它的作用与人用手工对少量的图进行着色是完全相同的，仍然只是对个别的、具体的图进行了着色，并不是任意的图。所谓的计算机证明了猜测的说法完全是人为的在把四色问题复杂化和神秘化。
现在，在图论已经基本形成一门完整的学科之时，对四色问题的研究应该说是非常容易的事情了。然而在数学界里，思想却摆脱不了“难”字的阴影，认为就现有的数学理认是不能解决四色问题的，只能等新的数学理论出现后再去解决了。于是数学界不但无人去专门对四色问题进行研究，而且一旦见到业余数学爱好者对难题（也包括四色问题在内）进行研究，他们就一概的进行反对，看也不看就认为“没有一个是对的”，统统把爱好者所寄论文“往麻袋里一塞”了事，把其打入冷宫，让你永远也无出世之日。这里面不知埋没了多少人才呀！互联网出现后，爱好者把自已的观点发表在网上，总算有机会与更多的人进行交流了。可总是糟到来自数学界的、无任何理由的、用一句话的否定，他们完全是在反对对难题的研究工作。说穿了他们的逻辑是，我研究不了的，你们谁也研究不了，我不去进行研究的，你们谁也别想去进行研究。你们研究出来了，证我们的脸往那儿放呀。
本来图论中已证明了任何平面图中一定存在着一个顶点的度是小于等于5的，这就说平面图的不可免集中只可能有0—轮（K1图）、1—轮（K2图）、2—轮（2—重K3图）、3—轮（K4图）、4—轮与5—轮六种无素（构形），这相当于坎泊证明时所说的“任何一张连通的地图中至少有一个区划具有两个、三个、四个或五个相邻区划，不存在每个区划都有六个或更多个相邻区划的地图（这里没有提到“国中之国”是因为上面所引的第一段话中说了“首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是‘正规的’……，否则为非正规地图。”）。而数学界却还硬要在找平面图的不可免构形集。他们用的方法有什么“电荷输送理论”等等，最终由阿贝尔等人用计算机对近2000个（1936个）构形进行了验证，证明了其都是“可约的”，但5—轮构形仍没有得到证明是可约还是不可约，因为他们是把5—轮构形用了两个5次的相邻顶点与一个5 次的和一个6次的两个相邻点来代替了。没有直接给计算机输入5 —轮构形的模型，当然计算机也就没有对5—轮构形进行着色。后来又在别人的改进下，把这近2000个构形又减少到了1200多个（1258个），最后又减少到了600多个（633个）。没完没了的，但都没有得到5—轮构形是不是“可约”的结论。这真是对计算机资源的莫大浪费。花了那么大的功夫，用去了那么多的时间（1200多个机上小时）仍然没有得出5—构形是否是“可约”的结论，这与坎泊的证明结果又有什么不同呢，坎泊不就是因为没有证明5—轮构形是否是可约的而被赫渥特否定了吗。
在图论科学已经高度发展的今天，完全可以把图的最小顶独立集数，图的最小完全同态的顶点数，当成就是图的色数一样看待，因为在对图有顶点着色时，不相的邻顶点是可以使用同一种颜色的，而图的顶独立集也正好是由不相邻的顶点组成的，图的最小完全同态的各个顶点也是由不相邻的顶点同化在一起的。另外，还有可以利用的哈德维格尔（Hadwiger）的猜想，图的同化运算，图的顶独立集的划分，求图的完全同态等理论，都给我们证明四色猜测提供了很好的方法，为什么我们不去利用，而要等待新的数学理论的产生呢。难道再没有新的数学理论的产生时，猜测就不要再证明是正确还是错误的了吗。
雷  明
二○一三年八月五日于长安