[原创]我对角谷猜想的大概证明。

技术员

[这个贴子最后由技术员在 2013/10/18 01:37pm 第 2 次编辑]

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角谷猜想，又称为3n+1猜想，是由日本数学家角谷静夫发现，是指对於每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1，如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1。
证明：
    我们暂且把奇数乘3再加1，连续除2，得到一奇数，称作一次3x+1转换。
    一个奇数经过一次3x+1转换都能得到一个和自身不同奇数。
任意一个奇数2m+1可用8n+1、8n+3、8n+5、8n+7这四种形式的其中一种形式来表示。（m,n为非负整数)
任意一奇数2m+1经过一次3x+1转换：
        （2m+1)*3+1=2*(3m+2)
3m+2表示成奇数时，可用6k+5来表示。因为6k+5 能表示成8n+1、8n+3、8n+5、8n+7这四种形式的机会是相同的，所以任意一奇数经过3x+1转换得到的奇数为8n+1、8n+3、8n+5、8n+7这4种形式的概率是相同的，各为1/4。
    将这四种形式的奇数再经过一次3x+1转换：
     (8n+1)*3+1=4*(6n+1) 得到奇数6n+1。
     (8n+3)*3+1=2*(12n+5)  得到奇数12n+5。
     (8n+5)*3+1=8*(3n+2) 得到的数3n+2表示为奇数或偶数的机会各为1/2,由于为偶数时再连续除2的得到奇数更小，但我们暂且把得到的奇数写成3n+2。
     (8n+7)*3+1=2*(12n+11) 得到奇数12n+11。
原数除以转换后的数：
(8n+1)/(6n+1)=4/3-1/(18n+3) 这为减小的情况
(8n+3)/(12n+5)=2/3-1/(36n+15) 这为增大的情况
(8n+5)/(3n+2)=8/3-1/(9n+6)  这为减小的情况
(8n+7)/(12n+11)=2/3-1/(36n+33) 这为增大的情况
将四种形式的原数除以转换后的数相乘得：
(4/3-1/(18n+3))(2/3-1/(36n+15))(8/3-1/(9n+6))(2/3-1/(36n+33))
=(8/9-4/(108n+45)-2/(54n+9)+1/((18n+3)(36n+15)))*
(16/9-8/(108n+99)-2/(27n+18)+1/(9n+6)(36n+33))
当n=1时,此式最小,变化率=(8/9-4/153-2/63+1/1070)(16/9-8/207-2/45+1/1035)>1
也就是说任意一奇数经过一次3x+1转换后得到的一奇数，这个奇数再经过一次3x+1转换可能减小也可能增大，减小情况的概率等于增大情况的概率，而减小的平均幅度大于增大的平均幅度，如此循环，必减小为1。
事实上任意一奇数经过多次3x+1转换时，得到的奇数8m+1、8m+3、8m+5、8m+7这4类形式，出现的比例会不同，开始时出现8m+3和8m+7这两种形式会较多，数会变大，但随着3x+1转换的次数越多，出现8m+1和8m+5这两种形式会增多，减小的情况次数会逐渐接近增大的情况的次数（而当3x+1转换次数趋于无穷大时，减小的情况次数会等于增大的情况的次数），而减小的平均幅度大于增大的平均幅度，如此循环，最终只能减小为1。一般情况下：3x+1转换次数越多，减小的情况次数小于增大的情况次数可能就越大。从下面的例子可以看出：
3→5→1, 增大的情况次数为1，减小的情况次数为1。
5→1, 增大的情况次数为0，减小的情况次数为1。
7→11→17→13→5→1, 增大的情况次数为2，减小的情况次数为3。
9→7→11→17→13→5→1, 增大的情况次数为2，减小的情况次数为4。
15→23→35→53→5→1，增大的情况次数为3，减小的情况次数为2。
27→41→31→47→71→107→161→121→91→137→103→155→233→175→263→39→593→445→167→251→377→283→425→319→479→719→1079→1619→2429→911→1367→2051→3077→577→433→325→61→23→35→53→5→1。
增大的情况次数为23，减小的情况次数为18。
我把角谷猜想比喻成一个人站在高山上，他要下山，不管山坡起起伏伏，他必能到达山底。我就是证明了下坡次数会接近于上坡的次数，下坡的平均幅度比上坡的平均幅度大，所以他必能到达山底。
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任在深

应该是登山！？

被遗弃的草根

有的大数，会无限地登山？？？

技术员

下面引用由被遗弃的草根在 2013/10/10 11:46am 发表的内容：
有的大数，会无限地登山？？？

他目的是下山，但是山坡起起伏伏，有可能像登山，而下坡次数会接近于上坡的次数，下坡的平均幅度比上坡的平均幅度大，所以他必能到达山底。

技术员

下面引用由任在深在 2013/10/09 10:21pm 发表的内容：
应该是登山！？

但会不会8m+3经过一次3x+1转换后再得到8k+3和8k+7这两种形式，反复地增大呢？
看下面的分析：
(8n+3)*3+1=2*(12n+5)
12n+5=8k+3
k=(6k+1)/4，因为6k+1为奇数，所以k永远不可能为整数。
对于12n+5=8k+7
k=(6k-1)/4，因为6k-1为奇数，所以k永远不可能为整数。
所以上面的问题不可能发生。
但又会不会8m+7经过一次3x+1转换后再得到8k+7和8k+3这两种形式，反复地增大呢？
看下面的分析：
(8n+7)*3+1=2*(12n+11)
12n+11=8k+7
k=(3n+1)/2。
当n为奇数时8m+7经过一次3x+1转换后再得到8k+7
对于12n+11=8k+3
k=(3n+2)/2。
当n为偶数时8m+7经过一次3x+1转换后再得到8k+3
但是n在多次3x+1转换过程中不可能一直为奇数。当n一旦为偶数了，8n+7形式转换成8k+3后，数就不可能再增大了。

任在深

忘了？
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               0 1 2 3 4♀
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被遗弃的草根

[quote]下面引用由技术员在 2013/10/10 04:07pm 发表的内容：
但会不会8m+3经过一次3x+1转换后再得到8k+3和8k+7这两种形式，反复地增大呢？
看下面的分析：
(8n+3)*3+1=2*(12n+5)
12n+5=8k+3
...

任何一个正整数对它运用运算法则进行运算到1的过程中，不会出现循环圈，这点我也作个证明。但是，对每一种整数都要按照运算法则进行运算，那将是有无限多种，你怎么办？

任在深

下面引用由被遗弃的草根在 2013/10/11 08:39am 发表的内容：
下面引用由技术员在 2013/10/10 04:07pm 发表的内容：
但会不会8m+3经过一次3x+1转换后再得到8k+3和8k+7这两种形式，反复地增大呢？
看下面的分析：
(8n+3)*3+1=2*(12n+5)
...

是的！
     必须有符合自然法则的推理和运算！[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 任在深 在 时添加 -=-=-=-=-
另：提醒草根不是对自然数的运算！
    而是对表示空间形的单位的运算！！

技术员

下面引用由被遗弃的草根在 2013/10/11 08:39am 发表的内容：
下面引用由技术员在 2013/10/10 04:07pm 发表的内容：<BR>但会不会8m+3经过一次3x+1转换后再得到8k+3和8k+7这两种形式，反复地增大呢？<BR>看下面的分析：<BR>(8n+3)*3+1=2*(12n+5)<BR>12n+5=8k+3<BR>...<BR>任　...

"任何一个正整数对它运用运算法则进行运算到1的过程中，不会出现循环圈，这点我也作个证明。"
你的证明是什么？能贴出来吗？
我就是不能证明某个奇数在增大和减小过程中不会出现死循环的现象，才叫这个证明为“大概证明”。

技术员

我发现：
奇数形式2^n-1经过不断3x+1转换连续增大次数最多。
而奇数形式2^n+1经过不断3x+1转换连续减小次数最多。