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素数定理的深入开发
素数定理：揭示了素数在自然数中的平均分布情况。
π(x)≈x/Lnx表示
“ 给定数以内素数的个数约等于给定数与该数自然对数的比值。”
用π(x)表示不超过x的素数个数,
当x足够大时,π(x)≈x/(Lnx-1.08366)
（1）素数定理的幂型式
将素数定理用幂与指数方式来表示:
给定数以内素数的个数约等于幂与该幂指数的比值。
有,π(e^m)≈(e^m)/m 和 π(e^2m)≈(e^2m)/2m,
因为, e^m·e^m==e^(m+m)==e^2m,
所以,
``````````e^(2m)``e^m·e^m```e^m```1
π(e^2m)≈------==---------==----·-·e^m
...........2m......m·2......m.....2
换用数与对数来表示:
π(x·x)≈（(x/Lnx)/2）·x
素数定理的新表达式为:
“ 给定数以内素数的个数约等于
该数的开方数内素数的个数的一半与该数开方数的积。”
例如:
10的幂,,,,,,,实际解,,,,,,,,,,,,,,新公式解
x````````````π(x)```````````((x/Lnx)/2)·x
10^4..........1229...........24/2·10^2==12·10^2
10^6.........78498..........145/2·10^3==73·10^3
10^8.......5761455.........1086/2·10^4==543·10^4
10^10....455052511.........8687/2·10^5==4344·10^5
10^12..37607912018........72382/2·10^6==36191·10^6
10^14...3204941750802....620421/2·10^6==310210·10^7
（2）起始数内素数分布的规律和求起始数内素数个数的公式
起始数内素数分布的规律:
2...3...5....7................................(9)以内有4个,总
计4
11..13..17..19..23...........................(25)以内增5个,总
计9
29..31..37..41..43..47.......................(49)以内增6个,总
计15
53.,59.,61.,67.,71.,73.,79...................(81)以内增7个,总
计22
83.,89.,97.,101,103,107,109,113,............(121)以内增8个,总
计30
127,131,137,139,149,151,157,163,167,........(169)以内增9个,总
计39
173,179,181,191,193,197,199,211,223|227, .........(225)..10个
,总49
229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,......(289)..11个
,总60
283|293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,..(361)..12个
,总72
367,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,(441)13个
,总85
443,449,457,461,463,467,479,487,491,499,503,509,521,523,(529)
总99
541,547,557,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,
(625)总114
631,641,643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,709,719,727|7
33,(729)
739,743,751,757,761,769,773,787,797,809,811,821,823,827,829,8
39,(841)
853,857,859,863,877,881,883,887,907,911,919,929,937,941,947,9
53,(961)
求起始素数个数的公式
3的平方数以内素数的个数===(9+12·3-13)/8====32/8==4===4·1
5的平方数以内素数的个数==(25+12·5-13)/8====72/8==9=4.5·2
7的平方数以内素数的个数==(49+12·7-13)/8===120/8=15===5·3
9的平方数以内素数的个数==(81+12·9-13)/8===176/8=22=5.5·4
11的平方数以内素数的个数=(121+12·11-13)/8=176/8=30===6·5
13的平方数以内素数的个数=(169+12·13-13)/8=176/8=39=6.5·6
15的平方数以内素数的个数=(225+12·15-13)/8=176/8=49===7·7
17的平方数以内素数的个数=(289+12·17-13)/8=176/8=60=7.5·8
19的平方数以内素数的个数=(361+12·19-13)/8=176/8=72===8·9
21的平方数以内素数的个数=(441+12·21-13)/8=176/8=85=8.5·10
23的平方数以内素数的个数=(529+12·23-13)/8=176/8=99===9·11
25的平方数以内素数的个数=(625+12·25-13)/8=176/8=114=9.5·12
起始数内素数分布:
(x·x)以内素数个数ｙ的公式:
ｙ(x)==(x·x+12x-13)/8.........x为>1的奇数
设M=(x·x),则M数以内素数个数π(M)的公式及简化式,如下:
π(M)==(M+12(√M)-13)/8
π(M)==(M+12(√M-1))/8
即“M数以内素数个数,等于该数八分之一,加上该数开方数的1.5倍。
”
与奇数(2ｎ+1)的顺序数ｎ相关的(2ｎ+1)的平方数内素数的个数的公
式:
M==(2ｎ+1)(2ｎ+1)===(2ｎ+1)^2==ｎ^2+4ｎ+1==奇数的平方数
π(M)==π((2ｎ+1)^2)==[(ｎ+7)/2]·ｎ=对应参数·奇数的顺序数
即“奇数的平方数内素数的个数,等于该奇数的顺序数与对应参数的积
”
（3）素数定理的常用对数型式，以10为底的指数形式。
素数定理：π(x)≈x/Lnx表示 “ 给定数以内素数的个数约
等于给定数与该数自然对数的比值。”利用对数换底公式，
把“Lnx==2.3·Lgx”代入，得到素数定理的新表达式，
π(x)≈x/2.3Lgx.......................(1)
设 : M为10的m次幂，M以内的素数的个数为π(M),
素数的个数公式:
`````````M
π(M)≈---------
........2.3026m
幂M````素数个数```````M/2.3m``````````````````````误差
10````````````4``````(10/2.3026)==4.347.............0.08
100``````````25`````(100/4.6052)==21.7..............0.13
1000````````168````(1000/6.9078)==144.7.............0.14
已知，当x足够大时,π(x)→==x/(Lnx-1.083.)==x/(2.3026Lgx-1.)
````````````````x``````````M
π(x)≈==-------------==----------..............(2)
.........2.3026Lgx-1......2.3m-1
公式(1),(2)示例:
实际素数个数``````M/2.3026m`````````````M/（2.3026m-1）``误差
``````````25```10^2/4.605==21...........27............-0.08
`````````168```10^3/6.907==144``````````169...........-0.007
````````1229```10^4/9.210==1086`````````1218...........0.009
````````9592```10^5/11.51==8685`````````9521...........0.007
```````78498```10^6/13.81==72382````````78029``````````0.005
``````664579```10^7/16.11==620416```````661454`````````0.004
`````5761455```10^8/18.42==5426289``````5740264````````0.003
````50847534```10^9/20.72==4825463*`````50701198```````0.002
```455052511``10^10/23.02==43429167*````454008898``````0.002
``4118054813``10^11/25.32==39481061**```41103886**`````0.001
`37607912018..10^12/27.63==36190973***``37549941***````0.001
误差项的分析 :用a表示主项的差与附加项[√M/(2.3026m-1)]的比
10^m的实际素数个数-M/(2.3026m-1)=差.....√M/(2.3026m-1)..两数
的比a
10^4``````````1229-1218========17.........100/8.2=12......17/12=1.4
10^5``````````9592-9521========71.........316/10.5=30.....71/30=2.3
10^6`````````78498-78029=======469.......1000/12.8=78....469/78=6
10^7````````664579-661454======3125......3162/15.1=209....71/30=15
10^8```````5761455-5740264=====21190....10000/17.4=574...211/5.7=36
10^9``````50847534-50701198===146336....31622/19.7=1603..146/1.6=91
10^10````455052511-454008898==1043612..100000/22.0=45400.104/4.3=23
``````````M````````a·√M`````M+a·√M
π(x)==(-------)+(--------)==----------.
........2.3m-1.....2.3m-1......2.3m-1
有人提出用(M+12(√M-1))/(2.3m-1)表示π(x),其误差不会比公式(2)好。
（4）素数定理的以小区域素数个数求大区域素数个数的形式
```````````````1```x
π(x·x)≈x·--·------==（(x/Lnx)/2）·x
..............2...Lnx)
“ 给定数以内素数的个数约等于
该数的开方数内素数的个数的一半与该数开方数的积。”
该素数定理的新表达式从理论上证明了素数的个数与开方数的关系,
利用它,成了证明哥德巴赫猜想的重要一步,意义重大。推导如下：
N/(lnN)是N数内包含的素数的个数,(1/lnN)是素数的个数与数的比,
素数的个数约等于(一半的平方根内素数个数)与(√N)的积，
素数的个数与数的比约约等于(一半的平方根内素数个数)除以(√N)。
{N/(lnN)}(1/lnN)约等于(一半的平方根内素数个数)的平方数。
只要{一半的平方根内素数个数}大于一，即只要偶数大于100，10的前
一半内有3，5，..。后一半内的有5，7，..。一半的平方根内素数个
数均大于1个。
N/{(lnN)平方数}大于一。就可使偶数N表示为两个素数之和的表示法
个数r(N)求解的数大于1。
（5）素数定理扩展到平面（二次数）形式：开方数做单位
求某素数的平方数以内的素数的个数的方法，例如：31·31,
把961分成31行,31列,各列顺序为{1,2,3,4,5,6,...,30,31}
按次序去掉所有含开方数内素数做素因子的合数，剩下的就是素数。
先去掉含(961-1)中的素因子的合数.
开方数做单位，就是筛除的数，单位是列，“1”列=1开方数=1竖条。
去掉素因子为2的合数，即去掉(第1列+1)的一半,去掉偶顺序数的列。
去掉素因子为3的合数，即第1列去掉1/6的数,再去掉1/6的列。
去掉素因子为5的合数，即第1列去掉1/15的数,再去掉1/15的列。
去掉{2,4,6,8,10,12,...24,26,28,30}{3,9,15,21,27}{5，25}
此时，第一列只留下{7,11,13,17,19,23,19,31},
留下的完整列的顺序为{7,11,13,17,19,23,19,31},
留下的列的顺序数为去掉了素因子素数的其他素数,
再去掉含(961-1)中的非素因子(符号“P”)的合数.
利用各级筛法的互素数表求，等于[P,(961/P)]区间的互素数个数。
含素因子7的奇合数为
7·{7.11,13,17,19,23,29,31;37,41,43,47,49,53,..133,137}
奇合数的个数,每30有8个数,区间为[7,137.2],有(36/31)列个数。
其他素数P的奇合数,利用在[P,(961/P)]区间的互素数表等于素数表求
11至87.4之间有19个素数,含素因子11的奇合数的列数==19/31,
13至73.93之间有16个素数,含素因子13的奇合数的列数==16/31,
17至56.6之间有10个素数,含素因子17的奇合数的列数==10/31,
19至50.5之间有8个素数,含素因子19的奇合数的列数==8/31,
23至41.8之间有23·{23,29,31,37,41},,含23的奇合数的列数=5/31。
29至33.2之间有29·{29,31},含素因子29的奇合数的列数=2/31。
31仅自己1个。31·,含素因子31的奇合数的列数=1/31。
7,11,13,17,19,23,29,31列中,要去掉的列为:
(36+19+16+10+8+5+2+1)/31==97/31==3+(4/31)==3列多领头4个.
将其放在{7,11,13}列内,留下的列为{17,19,23,29,31},欠领头4个。
留下的5列为“开方数内奇素数个数10的一半”。31·5-4==151个
还留下的列是第一列中的素数，11个。总计素数:151+11=162个.
与实际素数个数一样
求素数的个数的方法，
取偶数N为“962”,(说明，本文中素数的个数是指奇素数的个数)
1，先求出给定数以内的不包括“1”的奇数的总个数，符号“Q”。
(962/2)-1==480,表示962中,不包括“1”的奇数的总个数有480个。
2，按照奇素数分类求出,没有重合的,实际真实奇合数的数值。
480含有奇素因子“3，5”的类型，
含素因子3的奇合数的个数有(480-3)/3==159,其他有(480-159-1)=321
个,
含素因子5的奇合数的个数有(320-5)/5==63,其他有(321-63-1)=357个
480没含有奇素因子的奇素数类型，素数符号“P”
利用各级素数的互素表求，等于[P,(961/P)]区间的互素数个数。
含素因子7的奇合数的个数,每30有8个数,区间为[7,137.2],有36个互
素数。
其他小素数的奇合数,利用在[P,(961/P)]区间的互素数表等于素数表
求:
11至87.4之间有19个素数,含素因子11的奇合数的个数==19,
13至73.93之间有16个素数,含素因子13的奇合数的个数==16,
17至56.6之间有10个素数,含素因子17的奇合数的个数==10,
23至41.8之间有5个,23·{23,29,31,37,41},含23的奇合数的个数=5。
29至33.2之间有2个,29·{29,31},含素因子29的奇合数的个数==2。
31仅自己1个。31·,含素因子31的奇合数的个数==1。
下面是按照素因子分类的实际真实奇合数的数值。
奇素因子=3````5````7```11``13``17``19``23``29``31..类型
奇合数==159...63...36..19..16..10...8..5...2...1...个数
3,分级求解：求出与3,与5,与7,...,与31,都互素的数的个数,
素数个数==不含1的奇数的个数连减各类型素因子的奇合数的个数。
S==480..-159.-63.-36.-19.-16.-10..-8..-5..-2..-1
各级解..,321,258,222,203,187,177,169,164,162,161
连减公式，通过分级求解，很容易改写成，分式连乘公式。
````````960`321`258`222`203`187`177`169`164`162`161
S(962)==-—·—·--·--·--·--·--·--·--·--·-—
.........2..480.321.258.222.203.187.177.169.164.162
把各项的分母变换成素因子，分子也恒等变换，
即改成（(素因子减“1数”)/素因子）形式,
```````960``2.`4.`6`10.05`11.98`16`18.1`22.3`28.6`30.8
S(962)=-—·-·-·-·---·----·--·---·---·----·---—
........2...3..5..7..11...13....17..19...23...29...31
各项“1数”为
|0.994.|0.984|0.972|0.95|1.02|0.9|0.86|0.7|0.36|0.19|
....3....5.....7....11....13...17..19...23..29....31
数据说明：单筛公式，“1数”取“1”，会有误差。
把素因子素数取N开方数以内的素数，
解值误差是很大，但适当去掉后面的项，解接近正确解。
对素数的连减公式的{连减系列数}，进行恒等变换，求解。
S==480--{159+63+36+19+16+10+8+5+2+1}
===480--{159+62+34+16+12.+7+4..+2
..........+1.+2.+3++4.+3.+4+5..+1}
===480--160--64-37-20-15-11-9-3
各级解为320,256,160,64，37，20，15，11，9，3
将连减公式“S==480-160-64-37-20-15-11-9-3”化为连乘公式。
````````960`320`256`219`199`184`173`164`161
s(961)==-—·—·--·—·—·--·--·--·—==161
.........2..480.320.256.219.199.184.173.164
把各项的分母变换成素因子，分子也恒等变换，
即改成（(素因子减“1数”)/素因子）形式,
```````960``2.`4.`6`10``12``16``18``22.58
S(962)=-—·-·-·-·-·--·--·--·---—
........2...3..5..7.11..13..17..19..23.
其中最后的素因子分数项停止在“22/23”这一级:即
误差项等效于后面几项,适当去掉后面的项，解接近正确解。
实际解大于公式解,可作为上限公式用,
单筛公式就是素数个数的上限公式(3)的主项，最后再加上附加项。
````````961````2``4```6```10```12```16```18```22```28``30
π(961)=——·—·—·—·—·—·—·—·—-·—·—
.........2.....3..5...7...11...13...17...19...23...29..31
各级解为480)320)256)219)199.7)184.3)173)164.3)157)152)147+11
各素因子减数为160，64，37，20，15，11，9，7，5，5
实际解........159..63..36..19..16..10..8..5..2..1.
...............-1..-1..-1..-1..+1..-1.-1.-2.-3.-4
(3)的附加项，是用“+√N”改善了误差，理论上应加√N内素数个数
。
由奇数的个数起逐级减小，逐级接近到素数个数的真值。
进一步的研究
逐级减少是素数个数的上限公式，可变换成素数个数的下限公式，
根据,“N”除最大素因子～√N,少了末项素因子,各分子可左移一项；
``````````````高P-1``√ N``4``6`10`12`16`18`22`28`
π(N)>√ N∏(———)=——·-·-·-·-·-·-·-·-·..(10)
................P......2...3..5..7.11.13.17.19.23
````````√961````4````6```10```12```16```18```22```28```30
π(961)=———·—-·—-·—-·—-·—-·—-·—-·—-·—
...........1.....3....5....7...11...13...17...19...23...29
各级解为.31)41.33.)49.6)70.85)77.2)95.1)100.7)116.6)142)
147+11
素数个数的下限公式，由数的开方数起,逐级增加到素数个数的真值,
两个公式的解是同一个数,因为是同一个公式的变换,都有附加项,
素数的个数肯定在“上限，下限”两公式解的中间，
逐级求解，因为双向解是内夹解，两解相交点，必是正确解。
双向求解是动态解决多变误差参数的好方法，误差会相补抵消。
（6） 求对称素数的个数的方法，
求对称素数的个数的公式与求孪生素数的成对的对数的公式
是一样的。故先求孪生素数的成对的对数。
取偶数N为“962”,(说明，本文中素数的个数是指奇素数的个数)
1,先得知道给定数以内的不包括“2”的素数的总个数，符号“S”。
S(962)=161,表示962中,不包括“2”的奇素数的总个数有161个。
2，按照奇素数分类求出,实际真实的伴生奇合数的数值。
伴生奇合数是我新定义的一种奇合数，简称“伴数”
它是与的奇合数。
求解31的平方数以内的各级伴数的方法另介绍,先用结果,
按照奇素数分类求出伴数,奇素数按渐大的顺序，求到顺序数。
``在“(6n+1),(6n-1)”数系中,
(1)“3”素数级的伴数个数是零，没有伴数。
(2)其他素数级的伴数个数:
“5”素数级的伴树的集合(略),伴数个数有44个,
“7”素数级的伴树的集合(略),伴数个数有18个,
11·{19;23,29,37;41,59,61;67;83,}“11”素数级伴数有9个,
13·{13,17;29;31,37,43,47;53;59;73,}“13”素数级伴数有10个,
17·{23,29,37;47,}“17”伴数有4个,伴素数389,491,631,797
19·{19,23;31;37,}“19”伴数有4个,伴素数361,439,589,701
23·{37;41,}“23”级伴数有2个,伴素数853,941
29·{29,}“29”级伴数有1个,伴素数29·29-2==839
31·{空级}“31”级伴数是零,没有伴数,
有了伴数,很容易得到连减公式,连乘公式.
孪生素数个数==奇素数个数连减各级伴数。孪生素数符号"L"
S==480-159--63--36--19--16--10--8--5--2--1==161
L==161--0---44--18---9--10--4---4--2--1--0==69
各级解:161,117,.99,.90,.80,.76,.72,70,69,..=69
连减公式，通过分级求解，很容易改写成，分式连乘公式。
各级解={161,117,99,90,80,76,72,70.69,69,}
分式连乘公式
```````````117``99`90`80`76`72`70`69`69
L(962)=161·--·--·-·-·-·-·-·-·-
...........161.117.99.90.80.76.72.70.69
对应的级.3...5...7..11.13.17.19.23.29.31
公式表示:“961以内的孪生素数有69个,”等于实际数。
把各项的分母变换成各(级素数-1)，分子也恒等变换，
即改成（(级素数减“2数”)/(级素数-1)）形式,
````````````3.`5.`9``10.7`15.2`17.05`21.4`27.2``30
L(962)=161·-·-·-·----·---·----·---·---·--
............4..6.10...12...16....18...22...28...30
各项“2数与1的差数”为
`````````|1.093|0.923|1..|1.3|0.8|0.95|0.6|0.8|0.|
数据说明：双筛公式，“2数与1的差数”取“1”，会有误差。
把级素数取N开方数以内的素数，
解值误差是很大，但适当去掉后面的项，解接近正确解。
对孪生素数的连减公式的{连减系列数}，进行恒等变换，求解。
L==161--0---44--18---9--10---4---4----2----1---0==69
===161--0---40--21--10-7.5---5.1-4.3--3--1.1---0==69
各级解===={161,121,100,90,..82.5,77.4,73,70.,69}
各级缩比为..4,..6,..10,12,..16.1,18..,24,64,..1
分式连乘公式:代入各级缩比,23/24=21/22,63/64=27.56/28
```````161``3``5``9``11``15`17``21.1`27.56``1
L(962)=-—·-·-·-·-·--·--·----·—--·—
........1...4..6.10..12..16.18..22....28....1
其中最后的级素数项停止在“27/28”;少“29/30”项。表示
误差项等效于后面的项,适当去掉后面的项，解接近正确解。
实际解大于公式解,可作为上限公式用。孪生素数个数转换为
孪生素数对数,要乘“1/2”，等效于级素数含“3”
孪生素数对数公式如下：
S个素数包含的孪生素数的个数:其中,P为起始部分的素数;
`````````(P-2)`````1``3``5``9`11`15`17`21
L(S)～S∏(---)==S·-·-·-·-·-·-·-·-...孪生素数对数
.........(P-1).....2..4..6.10.12.16.18.22
由奇素数的个数起逐级减小，逐级接近到孪生素数对数的真值。
进一步的研究，将素数个数公式代入：
`````````(P-2)``N```(P-1)``(P-2)``N```(P-2)
L(S)～S∏(---)==--∏(---)∏(---)==--∏(---)
.........(P-1)..2...(.P.)..(P-1)..2...(.P.)
上面是奇数逐级减少到孪生素数对数的上限公式，可变换成下限公式
，
根据,“N”除最大素因子～√N,少了末项素因子,各分子又可左移一项
；
``````√ N```高P-2``√ N``3``5``9`11`15`17```√ N``(奇合数)
L(S)～----∏(——-)=——·-·-·-·-·-·-..=----∏——-----)
........2......P......2...3..5..7.11.13.17....2...(奇合数-2)
这就是半开方数逐级增加到孪生素数对数的下限公式。
孪生素数对数的下限公式，由数的半开方数起,逐级增加到解的真值,
两个公式的解是同一个数,因为是同一个公式的变换,
孪生素数成对的对数肯定在“上限，下限”两公式解的中间，
逐级求解，因为双向解是内夹解，两解相交点，必是正确解。
双向求解是动态解决多变误差参数的好方法，误差会相补抵消。
下面，用一个具体数来介绍求对称素数的个数的方法，
相对于偶数的两个对称位置都是素数的情形，有两种类型。
第一种类型是:与开方数以内的素数相对称的位置是素数,少,
第二种类型是:与开方数以外的素数相对称的位置是素数,多。
双筛公式：不含第一种类型的解，只计算占主体解的第二种类型解。
`````````1``3-r3``5-r5``7-r7``11-r11```````P-rP``````p-rp
G(x)～x·-·----·----·----·------·....·----·..·-----
.........2...3.....5.....7......11...........P.........p
表示x大约有G(x)个主体对称的素数。与首尾对称的素数没计入。
其中：P表示不大于x开方数的诸有效素数,p为P中的最大的有效素数。
(注意rP的P是下角标 , 不是数) r3,r5,...rp为对应于P的删除比例
，
是x素因子的，rP选1; 不是x素因子的，rP选2 ;
大素数时，按实际的删除比例修正。
偶数=962,由962=2*13*37知道,962含开方数以内的素因子13,
``````````````1```1```3```5``9`12`15`17`21`27`29
G(962)===962·--·--·--·-·----·-·-·-·-·-·--
..............2...3...5...7.11.13.17.19.23.29.31
逐级减少的解为480,160,96,68,56,51,45,41,37,34,32,
表示偶数962约有32个对称的素数, 事实正好是32个对称的素数,如下
：
43，919，79，883，103，859，109，853，139，823，151，811，
193，769，211，751，229，733，261，701，271，691，331，631，
349，613，421，541，439，523，463，499，
公式中：分母是2和13的分子减一，其他项的分子减二。
其中，分子与分母的差不大于2。分母是小于该偶数开方数的诸素数。
对称素数的个数的公式与孪生素数对数的公式区别是：分数项的
分子增大1个数的项随着素因子的增多而增多。即有：素因子增大系数
。
对称素数的个数等于素数个数和孪生素数对数之间，
用素因子增大系数确定的比例上。
各种比例数的数量按2的幂递增;
2种,4种,8种,16,32,64,128,256,....
若只考虑解的有无,则只考虑对称素数的个数的最小解就可以了。
其孪生素数如下所示；为69个。
...,..3,..5,..7,.11,.13,.17,.19,
.29,.31,.41,.43,.59,.61,.71,.73,
101,103,107,109,137,139,149,151,
179,181,191,193,197,199,227,229,
239,241,269,271,281,283,311,313,
347,349,419,421,431,433,461,463,
521,523,569,571,599,601,617,619,
641,643,659,661,809,811,821,823,
827,829,857,859,881,883,
对称素数的公式与孪生素数对数的公式解的值的区别是：
对称素数有：素因子增大系数。
相对于偶数的两个对称位置都是素数的情形，有两种类型的解。
第一种类型是:与开方数以内的素数相对称的位置的解,少,
第二种类型是:与开方数以外的素数相对称的位置的解,多。
双筛公式：不含第一种类型的解，只计算占主体解的第二种类型解。
偶数962的双筛公式的解,不含{3,5,7,11,13,17,19,29,31},少九个,
孪生素数个数减九个,为30对,
偶数962含素因子13, 素因子增大系数为“(13-1)/(13-2)” ,
数论的解常默认要取整运算,
偶数962对称素数的对数等于(30+2)对是合理的,正确。
对称素数就是符合哥德巴赫猜想的两素数和等于偶数的表达式的个数
。
对称素数大于1就是哥德巴赫猜想的证明。
（7）素数个数的精确度，sha作者的公式值得提倡，我没见到作者的
公式证明。现在我把我的推导公布出来。
现给出数学手册已确认的近似公式，有√(1+x)≈1+(x/2）,可推出√(1-x)
≈1-(x/2),再推出1-(2/Ln(N)≈√[1-(4/Ln(N)],实际验证得知素数个
数的公式有N/{Ln(N)－1}]。
推导一种经过实际验证的公式的“N内素数个数”的近似公式
已有经过实际验证的公式,N/{Ln(N)－1}]
====N/{[Ln(N)/2]+[Ln(N)/2]-[Ln(N)/Ln(N)]}
====2N/{Ln(N)·[1+1-(2/Ln(N))]}
因为有近似公式：1-(2/Ln(N)≈√[1-(4/Ln(N)]。
所以有N内素数个数
约等以“{2/[1+√(1-(4/Ln(N))]}·[N/Ln(N)]”
设:{2/[1+√(1-(4/Ln(N))]}为用对数求素数个数的修正量。
[N/Ln(N)]是由素数定理推出的近似求素数个数的解。
新素数个数求解公式:
π(N)≈{2/[1+√(1-(4/Ln(N))]} ·[N/Ln(N)]
素数个数近似等于(修正量)乘以(公认素数定理公式的解)”
把sha作者给出的公式的等号改为近似，补充上表示步骤的括号如下
π(N)≈sha(N)≈{2/[1＋√(1－4/Ln(N)]}×N/Ln(N)
即:由素数定理推出的素数个数的解,应该乘以一个修正量,
修正量≈{2/[1＋√(1－4/Ln(N)]。
附：以10为底的指数为自然数的幂的幂内素数个数数据验证
用En表示以10为底的指数为n的幂
N..π(N)..Sha(N)...|Sha(N)/π(N)
E2 25 31.9 |1. 27498680
E3 168 175. 6 |1. 04523981
E4 1229 1239. 3 |1. 00840530
E5 9592 9609. 3 |1. 00180050
E6 78498 78552. 9 |1. 00070047
E7 664579 664588. 5 |1. 00001425
E8 5761455 5760516. 5 |0. 99983711
E9 50847534 50839608. 2 |0. 99984413
E10 455052511 454996679. 8 |0. 99987731
E11 4118054813 4117684946. 9 |0. 99991018
E12 37607912018 37605370733. 3 |0. 99993243
E13 346065536839 346047570491. 4 |0. 99994808
E14 3204941750802 3204811617182. 4 |0. 99995940
E15 29844570422669 29843606297028. 8 |0. 99996770
E16 279238341033925 279231049065769. 4 |0. 99997389
E17 2623557157654233 2623500997815704. 9 |0. 99997859
E18 24739954287740860 24739514809875366. 3 |0. 99998224
E19 234057667276344607 234054178976616446. 6 |0. 99998510
E20 2220819602560918840 2220791561094546674. 6 |0. 99998737
E21 21127269486018731928 21127041496850193276. 8 |0. 99998921
E22 201467286689315906290 201465413986574468858. 0 |0.
99999070
E23 1925320391606803968923 1925304866115089775260. 5 |0.
99999194
由上面的表格可以看出，当 N ≥ 100000000 时，有如下公式成立：
π(N) ≥ Sha（N）≥N /（Ln（N）－ 1）≥N /Ln（N）
(8）素数定理的以大区域素数个数求小区域素数个数的形式
``````````N^k``````````````K(N^k)``````````````Kπ(N^K)
π(N)≈----------------==-------------------≈------------
........[(N^(k-1)]Ln(N)...[(N^(k-1)]Ln(N^k)...[(N^(k-1)]
“ 给定数以内素数的个数约等于
该数的高次方数内素数的个数与降次修正量的积。”
降次修正量等于K/ [(N^(k-1)],
π(x)表示x数内的实际的素数个数,
素数定理的理论求解公式：π(x)≈x/Ln(x)。
把多次扩大或缩小了的数内的实际的素数个数专给一个符号S(x^m)。
给定的数为N的m次方的幂,幂数(N^m)内的实际的素数个数S(x^m)。
例如：m=1/k
S(N^(1/k))==π(N^(1/k))≈N^(1/k)/ln(N^(1/k))
把“π(N)≈N/ln(N)”。转换一下。
π(N)≈N/ln(N)
==N^((k-1)/k)(N^(1/k))/ln(N)
==N^((k-1)/k)(N^(1/k))/[kln(N^(1/k)]
==(1/k)[N^((k-1)/k)]{N^(1/k)/ln(N^(1/k))}
==(1/k)[N^((k-1)/k)]π(N^(1/k))
==(1/k)[N^((k-1)/k)]S(k)
S(N^0.5)=π(N^0.5)≈[N^0.5/ln(N^0.5)]
π(N)≈(0.5)(N^0.5)[N^0.5/ln(N^0.5)]=(0.5)(N^0.5)[S(N^0.5)]
利用“根内素数个数求解数内素数个数”的公式。
N/ln(N)=(0.5)[√N]S
1/ln(√N)=(0.5)[√N]S/N
可证明： N/[ln(N)]^2={(0.5)[√N]S}{(0.5)[√N]S/N}=(0.25)S^2
即:只要数的平方根数内素数个数大于2, 只需平方根数大于5，
就有：该数与该数的自然对数的平方数的比值大于1。
如果用其他方法证明N/[ln(N)]^2》1，会不容易看懂。
N/[ln(N)]^2》1保证了哥解公式大于一。
S(4^0.25)=π(N^0.25)≈[N^0.25/ln(N^0.25)]
π(N)≈(0.25)(N^0.75)[N^0.25/ln(N^0.25)]
==(0.25)(N^0.75)[S(4^0.25)]
哥解公式分布区域有几条趋近线,与(N^0.75)关联密切,
即:“数的0.75次幂数内的素数分布”与哥猜实际解关联密切。
以较低的π(N)或低位数的N来求高位数N,解数比直接用π(N)
=N/ln(N)解差不多，增加了低位实际数,低位理论数的参数范围,可调
整偏差。一个方向变换，解往一个方向偏，换一个方向，解回偏。这
就是下面要介绍的公式。
例如：m=k
S(N^k)==π(N^k)≈(N^k)/ln(N^k)
把“π(N)≈N/ln(N)”。转换一下。
π(N)≈N/ln(N)
==(N^k)/[N^(k-1)]/ln(N)
=={1/[N^(k-1)]}(N^k)/[(1/k)ln(N^k)]
=={k/[N^((k-1)/k)]}(N^k)/ln(N^k)
=={k/[N^((k-1)/k)]}{π(N^k)}
=={k/[N^((k-1)/k)]}{S(N^k)}
利用“数的平方数内素数个数求解数内素数个数”的公式。
S(N^2)=π(N^2)≈N^2/ln(N^2)
π(N)≈N/ln(N)==2N/ln(N^2)=(2/N)N^2/[ln(N^2)]=(2/N)S(N^2)
利用“数的立方数内素数个数求解数内素数个数”的公式。
S(N^3)=π(N^3)≈N^3/ln(N^3)
π(N)≈N/ln(N)==3N/ln(N^3)=(3/(N^2))N^3/[ln(N^3)]
=======(3/(N^2)S(N^3)
利用幂数(N^m)内的实际的素数个数S(x^m)公式，理论上
精选m的大小，会找到偏差任意小的或无偏差的素数个数公式。
以大区域素数个数求小区域素数个数的形式,发现有重大功用.
青岛王新宇
2005.5.14 |
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发表于 2009-5-14 08:21
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