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从猜想到定理
试证明哥德巴赫猜想
杨春琦
2007-05-21初稿于 广州
2007-12-27 再稿于 广州
一、哥德巴赫猜想的由来
二百多年前的1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在和好友瑞典数学家欧拉的通信中，共同提出两个数论上的命题：
1． 任何不小于6的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
2． 任何不小于9的奇数都可以表示成三个奇质数之和。
由此引起世界各国无数数学家和爱好者的广泛关注和极大热情，但都不是无功而返，就是半途而废。这就是哥德巴赫猜想。
从已有报道来看，哥德巴赫猜想是迄今为止，世界上参与研究人士最多最广泛的数学命题，也是验证得最多的数学猜想。但验证得再多再大的偶数。对于自然数而言，却是几个微不足道的个别案例 ，是不能服人的。以至有人断言：哥德巴赫猜想是现代数学所力不能及的难题，被誉为数学王冠上的“明珠”，其神秘性就可想而知。
但就在此言出后不久的1920年开始，世界各国数学家相继证明了“9+9”，“1+5”，“1+4”，“1+3”，直到陈景润的“1+2”，似乎离成功只有寸步之遥，只日可待。然而“陈氏定理”之后四十多年过去了，陈氏也已作古，人们却未能向前迈进半步。
哥德巴赫猜想的命题①和命题②的两个命题，其中命题②只是命题①的推论，只要证明了命题①，命题②就不攻自破，迎刃而解，而命题①尚未最终证明，却有好事者提出可更多“猜想”和“推论”，这都是后话。
二、质数
研究哥德巴赫猜想，首先就要了解质数及性质。
人们根据自然数的整除性，将自然数进行了分类：
1． 数“1”。它是自然数启始，又是自然数的“量值”单位。
2． 质数，只能被“1”和自身整除，亦称作素数。
3． 合数，能被“1”和自身之外其他两个或多个数整除。
由于质数的这种特殊性，人们早就对它有了广泛的研究和认识，质数和自然数一样有着无限的存在空间，说多大有多大，说多广就多广。古希腊学者欧几里得在他的巨著《几何原本》中早就生动而简明地证明了。质数的无限性，为哥德巴赫猜想的提出提供了物质基础，是猜想成立的一个必要条件，以后章节我再作陈述。
要了解和研究质数，就得先将质数找出来，埃拉托塞尼所创造的“筛法”和“埃拉托塞尼筛子”是最切实际的办法，至于后来有人想另辟捷径，都不过是形式上有所改变罢了，就是再美再大的“筛子”所列出来的质数，对终究起到的作用是有限的，对于整个自然数域和质数域而言仅是冰山一角，沧海一粟。
从质数表〈埃拉托塞尼筛子〉上看质数，质数的排列有着不确切性，稀稀拉拉，杂乱无章，一个质数与另一个质数不相关联，所以说“埃拉托塞尼筛子”对于研究哥德巴赫猜想和证明作用十分有限，甚至苍白无力。
既然“筛法”和“筛子”的作用有限，人们就尝试寻找“质数公式”。从“费马数”和以后五花八门的“质数公式”都被一 一否定了，那么，能否找到一个“质数通式”，或者说“质数表示式”呢？人们拭目以待。
三、质数通式
质数的排列虽然杂乱无章，但人们仍然从中发现了某些特别的情形，这就是孪生质数，每对孪生质数仅相差“2”，中间紧挨着一个数，如：5，7；11，13；17，19；29，31；．．．它们紧挨着数分别为：６，１２，１８，３０，．．．我们就从这些特别的情形入手，就不难发现，它们紧挨的数都是２×３的倍数，即 ,这些质数就可以用6n-1 和6n+1 来表示，我们再看不成孪生质数的质数，它们同样与６n相邻，同样可以用6n-1或6n+1 来表示，但并非所有的 数都为质数，这是因为：
，
，
。
由于６n+１形式的质数相乘所得的积（合数）仍然表示现为６n±１的形式，但除２，
３外，其他质数必定表现为 的形式，这样我们就找到了除２和３外其他质数的 “质数通式”。或者叫做“质数表达式”
当n为某些值时，6n-1 和6n+1 同为质数，我们将这两个质数叫孪生质数，于是我在这里排斥３和５这对质数为孪生质数，的确，如果说３和５为孪生质数，而５和７又为孪生质数，那么３和７的关系怎样来说呢？只有排斥了３和５为孪生质数，才合乎情理，这是外话。
不小于6的偶数都可以用6n、6n+2、6n+4(即6n-2)来表示。
而 6n=(6n’+1)+(6n’-1)
6n+2=(6n’+1)+ (6n’+1)
6n+4=6n’’-2=(6n’-1)+ (6n’-1)
这样哥德巴赫猜想的成立又有了可能性和理论依据，是猜想成立的又一必要条件。
有人会说有许多“ ”并不是质数，所以我将它定义为“质数通式”或“质数表达式”。以正视听。
四、质数 合数在自然数中的含量
我们知道自然数中，每连续2个数就必定有一个2的倍数，每连续3个数就必定有一个3的倍数，每连续5个数就必定有一个5的倍数……而2的倍数中,又每3个中就有一个3的倍数, 每5个中就有一个5的倍数, 每7个中就有一个7的倍数………同样3、5、7、11、13、17、19……的倍数中亦是如此,合数的联系就显得是一张无形的大网,相互依存，相互牽制。那么怎么来计算出自然数中质数和合数各所占有的份额呢?
为了方便,我们在这里将合数进行强制性分类,其方法为:将一个合数分解因子,取起中最小值那个质因数为准,我将它叫做该质因数的合数,如偶数,无论它含有多么多多么大的其他质因数,我们只把它叫做2的合数,而不叫它别的合数，在以后的算式中,将2也算做2的合数,同样对于3、5、7、11、13、17、19……这些质因数的合数也这样定义,这样小的合数中含有大的质因数,而大的合数中不含有小的质因数.
于是我们就可以计算出各种合数的含量和总量,同时也就计算出了质数的量了.
2的合数含量
3的合数含量:
5的合数含量:
7 的合数含量：
11 的合数含量： =
………… ………… ……… ……… ………… ……… ………… ……
的合数含量:
=
的合数含量:
=
r为各质数之合数在自然数中的含量，q为质数，n为质数的序数。
当取一偶数M时，我们可以找到2、3、5、7、11、13、17、19…… 、 、 这些质数。
（ ）那么除开 内这些质数外尚有：
R=
= ，
=1-R
为合数的含量，R为质数的含量。这就证明了质数的无限性。这里将“1” 也皙算作了质数。
如图⑴：
图⑴ 图(2)
将整个偶数看作l，那么首先是2的合数分割去 ，余下部分将被3的合数分割去 ，余下部分依次分别分割去 这样尽管质数无穷尽，最终分割不完，尚有R为质数，图（1）可以变形为图（2）。
五、偶数分解成两数之和
将一个偶数分解成两数和的形式，偶数越大分解所得的和数对就越多。如果能在这些
数对中找到一定数量的质数对，就达到了证明哥德巴赫猜想的目的
有人验证了从6到某个相当大的偶数M ，说明猜想都成立，但并不能说证明了猜想的成立。因为当偶数再向后延续，M+2，M+4，M+6，M+8 ……你又能凭什么来说明猜想同样成立呢?由于偶数的无穷无尽,列举法在这里显然是行不通的.那么我们这样才能证明呢?只有我们能证明在定义域内任意一个偶数M(6 ,+ )， 将偶数分解成两数和,在这些两数和的数对中, 能够找到一对以上的质数对,那么就大功告成。
前面讲过单从质数表中找规律,我们束手无策,看不到一丝有意的规律,只有将质数放回到自然数中去,由于合数的分布遵循着一定的规律，那么，作为合数的补充部分的质数同样遵循着相应的分布规律,两者互为补充,相辅相成。
我们知道所有偶数都是2的倍数,当偶数分解两数和的数对时,所有2的合数都对应2的合
数(其中M对应”0”),另外3的合数,5的合数,7的合数……它们都对应了些什么数呢?
为了分析这个问题,我们先从一项特殊的偶数开始,设M= ,只要将这个偶数证明了,其
他的偶数都悉数而解。
为什么说M= 是一个特殊的偶数呢？因为M= 仅含一种质因数“2”。如果一个偶数还含有其他质因数q ，那么这个偶数减去所有含q 的合数，相对应的必定是一个含有q 的
合数。据我们日常经验，一个偶数包含的质因数越多，合数的对应合数机会就越多，相应的质数对应质数就越多，而M= 是含质因数最少的偶数,在它分解的两数和的数对中,合数对应合数,质数对质数的机会是最少的,在这种情况之下尚能找到质数对,那么其他情况就不用多讲了,在以后的章节中还有相应的描述。
设M= ,将M 开平方,得到 内的连续质数依次为:
2、3、 5、7、 11、13、17、19、 23、 29…… 。
即： 。
这里需要特别说明的是,无论你认不认识这些质数,他们都不容置疑的客观存在着。
将M分解成两数和的数对，依次如下：
1+（M-1） 2+(M-2) 3+(M-3) 4+(M-4) 5+(M-5) 6+(M-6) 7+(M-7)
8+ (M-8) 9+(M-9) 10+(M-10) 11+(M-11) 12+(M-12) 13+(M-13) 14+(M-14)
…… …… …… ……… …… …… ……
(M-6)+6 (M-5)+5 (M-4)+4 (M-3)+3 (M-2)+2 (M-1)+1 M+0
计M对两数和的数对。
六 质数对
2的合数全部对应合数（M 例外，对应“0”）。这样2的合数对应质数量：
3的合数由于不含2的因数,所以3的合数不对应2的合数,也不对应自身的合数,1/5对应广义的5的合数,1/7对应广义7的合数,1/11对应广义的11的合数……依次类推，余下部分就
会对应着质数。
这样就与质数总量有了可比性。
5的合数对应的质数量：
7的合数对应的质数量：
11的合数对应的质数量：
13的合数对应的质数量：
…… …… …… …… …… …… …
的合数对应的质数量:
通式为：
=
=1-
此时质数中有W= 的质数对应质数。（1-W）为质数对应合数量。W为质数对应质数的量。
W为质数对应质数量，形成质数对。 ,即1+1成立。这样从理论上就说明了 形式
的偶数对于猜想是成立的！.对于其他不含 内“2”以外其他质因数的偶数同样有效,
实际例中会存在一定的误差,这由于取整的问题。如图（3）
图(3) 图(4)
将整个质数当个作1, 那么它有 对应3的合数, 余下部分有 对应5的合数, 依次余下
部分依次分别有 对应合数 。最终有W的质数不会对应合数，当然它们就对应质数，使得 。
综合两种图形如图（5），我们不难发现S ABC< S□CDEF 这就用图解法说明了哥
德巴赫猜想的立
我们既然能证明M 只含 内”2”的质因数的偶数对于哥德巴赫猜想是成立的,那么当 M含有 内“2”以外的其他一个或多个质因数时,猜想是否成立呢?
若偶数 M还含有了3的因数，M=
那么，2的合数全部对应2的合数
3的合数全部对应3的合数
W=
=
若M 含有2和 的因数，( < ), ，那么，
=
同理对于M 含有 内多个质因数时，W 的值都会增大，质数对应质数的机会就增多，
这就是为什么有些小偶数的质数对反比大偶数的质数对多的理论依据。
即：当偶数M含有 内某些质因子时，W 值的代数式中就抽去这些质因数的数项，若M含有 内所有质因数，那么W=1 ，即大于 的所有质数都对应质数，全部形
成质数对。如：偶数6,30等。
从上述算式我们得出结论，任何偶数M, 将它分拆成两数之和, 将有M×R×W 个质数对应质数, 使得 有质数对 M×R×W个。这是哥德巴赫猜想成立的充分条件。
由此可见哥德巴赫猜想的命题①完全成立。是千真万确的定理。
七、不小于9的奇数是三个奇质数之和
关于命题②，任意一个不小于9的奇数S ，当它减去一个奇质数q 时，所得的差仍可是一个不小于6的偶数M，而这个偶数可以表示为两个奇质数之和，M=q+q’, 那么:
S=q+M=q+q’+q’’ 成立。比方S=3＋M=3＋q＋q，命题②完全成立。
八、验证
这里的验证工作就留给读者去做。理论上证明了哥德巴赫猜想，就完成了我的使命。在研究过程中我也验证了一些具体的偶数，是验证的总结,仓促完稿，不完善的地方请大家正。 验证数据： 附表 （杨采芹编印）2007-7-10
几点说明
数学题的证明和其它证明一样只是我们在研究验证中找出规律，是实践经验的归纳和总结，加以说明罢了。有权威人士说：民间人员的研究好比骑自行车登
月球。数学研究不能打比方，如果他的比方有道理，那么我这里也打个比方： 我就学嫦娥徒步上月球。
在我这篇文稿中以纯理论来说明“哥德巴赫猜想” 是千真万确的定理。打破常人研究的旧思路和方法，就算有人怀疑她的正确性，但时间会说明一切。
6以上偶数的的质数量及质数对数量表
偶数R值质数量W值成质数对的质数
理论值实际数理论值实际数
60.5 3 3 1 3 3
8 0.5 4 4 1 4 4
100.333333.33333 3 0.5 1.6666 1
120.33333 4 4 1 4 4
140.33333 4.66666 5 0.5 2.33333 3
160.33333 5.33333 5 0.5 2.66666 2
180.33333 6 6 1 6 6
200.33333 6.66666 7 0.5 3.33333 4
220.33333 7.33333 7 0.5 3.66666 3
240.33333 8 8 1 8 8
260.26666 6.93333 7 0.375 2.6 3
280.26666 7.46666 7 0.375 2.8 2
300.26666 8 8 1 8 8
320.26666 8.53333 9 0.375 3.19999 4
340.266669.06666 9 0.375 3.39991 3
360.26666 9.6 9 0.75 7.01982 6
380.26666 10.1333 10 0.375 3.7999 5
400.26666 10.6666 10 0.5 5.3332 4
420.26666 11.2 11 0.75 8.3997 8
440.26666 11.7333 12 0.375 4.39998 5
460.2666612.2666 12 0.375 4.5988 4
480.26666 12.8 13 0.75 9.5997 9
500.22857 11.4285 12 0.416666 4.76186 4
520.22857 11.8857 12 03125 3.7142 4
540.22857 12.3428 13 0.625 7.7142 9
560.22857 12.8 13 0.375 4.79997 4
580.22857 13.2571 13 0.3125 4.14283 5
600.22857 13.714214 0.83333 11.42845 12
620.22857 14.1714 14 0.3125 4.42854 5
640.22857 14.6285 14 0.3125 4.5714 6
660.22857 15.0857 14 0.625 9.42851 8
680.22857 15.5428 15 0.3125 4.85711 4
700.22857 16 15 0.5 7.99995 8
720.22857 16.4571 16 0.625 9.99993 12
740.22857 16.9142 17 0.3125 5.28568 7
760.22857 17.3714 17 0.3125 5.42853 7
780.22857 17.8285 17 0.625 11.14278 10
800.22857 18.2857 18 0.416666 7.61899 8
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本文空中处原为公式符号，但贴不上去[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 杨春琦 在 时添加 -=-=-=-=-
6以上偶数的的质数量及质数对数量表
偶数R值质数量W值成质数对的质数
理论值实际数理论值实际数
60.5 3 3 1 3 3
8 0.5 4 4 1 4 4
100.333333.33333 3 0.5 1.6666 1
120.33333 4 4 1 4 4
140.33333 4.66666 5 0.5 2.33333 3
160.33333 5.33333 5 0.5 2.66666 2
180.33333 6 6 1 6 6
200.33333 6.66666 7 0.5 3.33333 4
220.33333 7.33333 7 0.5 3.66666 3
240.33333 8 8 1 8 8
260.26666 6.93333 7 0.375 2.6 3
280.26666 7.46666 7 0.375 2.8 2
300.26666 8 8 1 8 8
320.26666 8.53333 9 0.375 3.19999 4
340.266669.06666 9 0.375 3.39991 3
360.26666 9.6 9 0.75 7.01982 6
380.26666 10.1333 10 0.375 3.7999 5
400.26666 10.6666 10 0.5 5.3332 4
420.26666 11.2 11 0.75 8.3997 8
440.26666 11.7333 12 0.375 4.39998 5
460.2666612.2666 12 0.375 4.5988 4
480.26666 12.8 13 0.75 9.5997 9
500.22857 11.4285 12 0.416666 4.76186 4
520.22857 11.8857 12 03125 3.7142 4
540.22857 12.3428 13 0.625 7.7142 9
560.22857 12.8 13 0.375 4.79997 4
580.22857 13.2571 13 0.3125 4.14283 5
600.22857 13.714214 0.83333 11.42845 12
620.22857 14.1714 14 0.3125 4.42854 5
640.22857 14.6285 14 0.3125 4.5714 6
660.22857 15.0857 14 0.625 9.42851 8
680.22857 15.5428 15 0.3125 4.85711 4
700.22857 16 15 0.5 7.99995 8
720.22857 16.4571 16 0.625 9.99993 12
740.22857 16.9142 17 0.3125 5.28568 7
760.22857 17.3714 17 0.3125 5.42853 7
780.22857 17.8285 17 0.625 11.14278 10
800.22857 18.2857 18 0.416666 7.61899 8
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