证明一个有限发散数列中，必有两个收敛于不同值的子列

LittleNew

题目在图片里。

我的思路是分两步做：1.先证明它至少有两个收敛数列；2.再证明它所有的收敛数列至少收敛于两个不同的值。
我利用Bolzano-Weierstrass定理，很容易地就证明了第一点，但第二点有些头疼。因为我不知道从这样一个有限数列里，能反复利用B-W定理“抽取”出多少个收敛子列来。会不会导致抽取出无穷多个收敛子列来？如果会导致，那么我证明的这一步“利用B-W定理，抽取无穷多个收敛子列，直到抽光，只剩下有限个项”过程，会不会不切实际？可以用于实际的证明之中么？最后，我这个思路对么？

luyuanhong

LittleNew

luyuanhong 发表于 2014-7-13 12:10

还是老师您的思路给力！偶想歪了。