已知各数和，求各数平方和的最大值与最小值

winsonwoods

已知 xi>=0 ，m>=0 ，n为自然数，且有以下等式成立：x1+x2+x3+...+xn=m
  
求x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2的最大值、最小值。 由柯西不等式已知x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2的最小值为m^2/n  ，问题只剩下该式的最大值是多少？猜测是m^2，问题是如何证明。

drc2000

结论正确，最大值为m^2.若实在证明没思路，就请用数学归纳法吧。
(以下尽量避免用下标)

一。已知a,b>0,a+b=m,求a^2+b^2的最大值

二。若“正数a,b,…，c，满足a+b+…+c=m，a^2+b^2+…+c^2有最大值m^2”
求证”正数a,b,…,c,d，满足(a+b+…+c)+d=m，(a^2+b^2+…+c^2)+d^2也有最大值m^2“

以上两步骤估计都不会太难（但请原谅我并未亲自实验），也就完成了数学归纳法证明