设 x∈{1,2,3,…,10000} ，2^x-x^2 为 7 的倍数，求 x 的个数及其总和

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

ataorj

设y=0.5x,m,n为整数,有:
2^x-x^2=7m
(2^y+x)(2^y-x)=7m
若y为小数时,则(2^y+x)和(2^y-x)也为小数,则7m也为小数,舍弃之.
则y为整数,x为非负非0偶数,(7m是4的倍数),有
(2^y+x)=7n或(2^y-x)=7n
-----------
y_2^y_(2^y+x)_(2^y-x) x=合要求的值
1_2_4_0 x=2
2_4_8_0 x=4
3_8_14_2 x=6
4_16_24_8
5_32_42_22 x=10
6_64_76_52
7_128_142_114
...
5000_...
---------
x[1]=2,x[2]=4,猜测_x[i+2]=x[i+1]+x

ataorj

x[i+2]=x[i+1]+x[i]

drc2000

2^n-n^2是7的倍数，故2^n与n^2同余
考虑12^n与n^2被7整除时的余数,作两数列：a[n]=mod(2^n,7),b[n]=mod(2^n,7),
a[n]：2,4,1,，2,4,1，2,4,1,，2,4,1，2,4,1,，2,4,1，2,4,1,，2,4,1，2,4,1,，2,4,1，2,4,1,，2,4,1，……
b[n]：1,4,2,2,4,1,0，1,4,2,2,4,1,0，1,4,2,2,4,1,0，1,4,2,2,4,1,0，1,4,2,2,4,1,0，1,4,2,2,4,1,0，……
可看出两数列均是循环的数列:
a[n]每三项2,4,1，一循环
b[n]每七项1,4,2,2,4,1,0，一循环
所以a[n]-b[n]也是循环的数列，循环周期是3*7=21项，
此问题只要找出n从1，2，到10000循环了多少个周期，
以及每个周期内，a[n]，b[n]有多少对余数相同即可

（先发，以免电脑出问题，打字白费工夫……）


红字部分:10000=21*476+4,循环了476个周期(零四项)
蓝自部分……，抱歉,还没详细清点，余数相同的项数目，或许是６？

严格且详细的论证，需要写出许多通项公式，不难但很繁，请恕省略。

luyuanhong

ataorj

倍数有无严格定义,这里是否应该使用"整倍数"?

ataorj

[整除性]  若有一整数c,使得整数a与b之间适合于 a=bc 则称b可整除a,记作 b|a。这时a称为b的倍数,b称为a的因数(或约数).

elim

luyuanhong 发表于 2014-9-12 18:51

x = 10000, (x^2)%7 = (2^x)%7 = 6.

所以要添上它.

luyuanhong

谢谢楼上 elim 指出！

我原来在第 5 楼中的解，确实遗漏了一个 x=10000 ，现已补上。

顺便说一句： mod(10000^2,7)=mod(2^10000,7)=2 ，不等于 6  。

elim

luyuanhong 发表于 2014-9-15 08:44
谢谢楼上 elim 指出！

我原来在第 5 楼中的解，确实遗漏了一个 x=10000 ，现已补上。

补上了，好。谢谢指出我的typo (6 应为 2)