在 1,2,3,4,…,10000 中，求恰好有 10 个正因数的最大数

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

drc2000

a^9型，只512一个数
bc^4型：含2，最大61*16=976
                 含3，最大11*81=891
                 含5，最大1*625，不合
（a，b，c均为质数）其余均不合
综上，最接近1000的是976

luyuanhong

谢谢楼上 drc2000 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

ataorj

设所求为x,要求恰好有10个数整除x。
1和x外还有8个数m1,m2...m8是x的因数。它们依次一个比一个大
它们是如下四组关系:
m1*m8=m2*m7=m3*m6=m4*m5=x
四组有相同的质因数及其个数,
差异只在全部8种组合上。
1)假设只有1种质因数p,则m8=p^8,p^9=x,10000^(1/9)=2.783,p=2,x=p^9=512
2)假设只有2种质因数p,q,
2.1)又设p的个数为1,则q自身的连乘组合只能为一种,无法得到前面四个等式。舍弃。
2.2)又设p,q的个数都大于1,比如都是2个,则只能得到2种组合,舍弃。2个+3个pp)(qqq),(p)(pqqq),(pq)(pqq),不足4个等式,舍弃。2个+4个pp)(qqqq),(p)(pqqqq),(pq)(pqqq),(pqq)(pqq),(ppq)(qqq),(ppqq)(qq),多于4个等式,舍弃。3个+3个ppp)(qqq),(pp)(pqqq),(p)(ppqqq),(pq)(ppqq),(pqq)...多于4个等式,舍弃。
结论:x=512

ataorj

声明:我漏掉了分析大于2种质因数时的情形...