费马猜想的初等证明

数学飞腾

费马猜想的初等证明

费马猜想：当n＞2时，Xn+Yn=Zn无正整数解，其中xyz≠0
证明：对于X、Y、Z的奇偶性，若等式成立，仅考虑两种情况：
1.奇（Xn） +偶（Yn）=奇（Zn），
2.奇（Xn） +奇（Yn）=偶（Zn）。
对于偶+偶=偶的情况可以约简至上两种情况的一种。
Ⅰ.对于第一种情况：奇（Xn） +偶（Yn）=奇（Zn）
设X=a-d，Z=a+d，由X、Z的奇数性可知，a和d必一奇一偶。得出：（a-d）n+ Yn =（a+d）n
根据二项式定理展开合并上式：
有：Yn=2（C1nan-1d1+C3nan-3d3+C5nan-5d5……）
Yn=2andn（C1n/adn-1+C3n/a3dn-3+C5n/a5dn-5+……）
分别讨论n的自然数取值，了解Yn的规律。
1.当n=1时，Y1=2ad/a=2d，显然成立。

2.当n=2时，Y2=2a2d2*2/ad=2*2ad，Y=2 ，a*d为平方数时，Y即为整数。

3.当n=3时，Y3=2a3d3（3/ad2+1/a3） ，括号内为分数多项式和，要使其等于22，仅有当a=d=1时才成立，而此时和a与d一奇一偶矛盾，且导致X=0，与猜想的题设矛盾，故n=3时，费马等式无正整数解。
4.当n=4时，Y4=2a4d4（4/ad3+4/ a3d）, 括号内为分数多项式和，要使其等于23，仅有当a=d=1时才成立，由上例可知与题设矛盾，故当n=4时， Xn+Yn=Zn无正整数解。
5.当n=5时，Y5=2a5d5（5/ad4+10/a3d2+1/a5）, 括号内为分数多项式和，要使其等于24，仅有当a=d=1时才成立，同理a与d一奇一偶、X不等于0矛盾，当n=5时，无整数解。
N=6,7,8……,   以此类推有，
Yn=2andn（C1n/adn-1+C3n/a3dn-3+C5n/a5dn-5+……）
仅有当a=d=1时Yn=2andn（C1n+C3n+C5n……）=2andn*2n-1
Yn = (2ad)n， Yn才为完全n次方数，Y才能为正整数。但此时X=0，与题设X、Y、Z任一不为0矛盾。
由以上可知：当n＞2时，Xn+Yn=Zn无正整数解。
Ⅱ.对于第二种情况：奇（Xn） +奇（Yn）=偶（Zn）
设X=a-d，Y=a+d，由X、Y的奇数性可知，a和d必一奇一偶。得出：（a-d）n +（a+d）n = Zn
根据二项式定理展开合并后
有：Zn=2（C0nan-0d0+C2nan-2d2++C4nan-4d4……）
Zn=2andn（C0n/dn+C2n/a2dn-2+C4n/a4dn-4+……）
同样 可先分别讨论n的自然数取值，了解Zn的规律。
1.当n=1时，Z1=2ad/d=2a，显然成立。
2.当n=2时，Z2=2a2d2*(1/d2+1/a2)，a与d一奇一偶，括号内只能为分数，等式右边不可能为完全平方数，Z无整数解。提示勾股定理的斜边不可能为偶数。
3.当n=3时，Z3=2a3d3（1/d3+3/a2d） ，括号内为分数多项式和，要使其等于22，仅有当a=d=1时才成立，而此时和a与d一奇一偶矛盾，且导致X=0，与猜想的题设矛盾，故n=3时，费马等式无正整数解。
N=4,5,6,7,8……,   以此类推有，
Zn=2andn（C0n/dn+C2n/a2dn-2+C4n/a4dn-4+……）
仅有当a=d=1时Zn=2andn（C0n+C2n+C4n……）=2andn*2n-1
Zn = (2ad)n， Zn才为完全n次方数，Z才有正整数解，但此时X=0，与题设X、Y、Z任一不为0矛盾。故Z无整数解。
   综合以上Ⅰ、Ⅱ两种情况，可证明：
当n＞2时，Xn+Yn=Zn无正整数解。

数学飞腾

费马猜想的初等证明

费马猜想：当n＞2时，Xn+Yn=Zn无正整数解，其中xyz≠0
证明：对于X、Y、Z的奇偶性，若等式成立，仅考虑两种情况：
1.奇（Xn） +偶（Yn）=奇（Zn），
2.奇（Xn） +奇（Yn）=偶（Zn）。
对于偶+偶=偶的情况可以约简至上两种情况的一种。
Ⅰ.对于第一种情况：奇（Xn） +偶（Yn）=奇（Zn）
设X=a-d，Z=a+d，由X、Z的奇数性可知，a和d必一奇一偶。得出：（a-d）n+ Yn =（a+d）n

根据二项式定理                           展开上式：

有：Yn=2（C1nan-1d1+C3nan-3d3++C5nan-5d5……）
Yn=2andn（C1n/adn-1+C3n/a3dn-3+C5n/a5dn-5+……）
分别讨论n的自然数取值，了解Yn的规律。
1.当n=1时，Y1=2ad/a=2d，显然成立。

2.当n=2时，Y2=2a2d2*2/ad=2*2ad，Y=2 ，a*d为平方数时，Y即为整数。

3.当n=3时，Y3=2a3d3（3/ad2+1/a3） ，括号内为分数多项式和，要使其等于22，仅有当a=d=1时才成立，而此时和a与d一奇一偶矛盾，且导致X=0，与猜想的题设矛盾，故n=3时，费马等式无正整数解。
4.当n=4时，Y4=2a4d4（4/ad3+4/ a3d）, 括号内为分数多项式和，要使其等于23，仅有当a=d=1时才成立，由上例可知与题设矛盾，故当n=4时， Xn+Yn=Zn无正整数解。
5.当n=5时，Y5=2a5d5（5/ad4+10/a3d2+1/a5）, 括号内为分数多项式和，要使其等于24，仅有当a=d=1时才成立，同理a与d一奇一偶、X不等于0矛盾，当n=5时，无整数解。
N=6,7,8……,   以此类推有，
Yn=2andn（C1n/adn-1+C3n/a3dn-3+C5n/a5dn-5+……）
仅有当a=d=1时Yn=2andn（C1n+C3n+C5n……）=2andn*2n-1
Yn = (2ad)n， Yn才为完全n次方数，Y才能为正整数。但此时X=0，与题设X、Y、Z任一不为0矛盾。
由以上可知：当n＞2时，Xn+Yn=Zn无正整数解。
Ⅱ.对于第二种情况：奇（Xn） +奇（Yn）=偶（Zn）
设X=a-d，Y=a+d，由X、Y的奇数性可知，a和d必一奇一偶。得出：（a-d）n +（a+d）n = Zn
根据二项式定理：
有：Zn=2（C0nan-0d0+C2nan-2d2++C4nan-4d4……）
Zn=2andn（C0n/dn+C2n/a2dn-2+C4n/a4dn-4+……）
同样 可先分别讨论n的自然数取值，了解Zn的规律。
1.当n=1时，Z1=2ad/d=2a，显然成立。
2.当n=2时，Z2=2a2d2*(1/d2+1/a2)，a与d一奇一偶，括号内只能为分数，等式右边不可能为完全平方数，Z无整数解。提示勾股定理的斜边不可能为偶数。
3.当n=3时，Z3=2a3d3（1/d3+3/a2d） ，括号内为分数多项式和，要使其等于22，仅有当a=d=1时才成立，而此时和a与d一奇一偶矛盾，且导致X=0，与猜想的题设矛盾，故n=3时，费马等式无正整数解。
N=4,5,6,7,8……,   以此类推有，
Zn=2andn（C0n/dn+C2n/a2dn-2+C4n/a4dn-4+……）
仅有当a=d=1时Zn=2andn（C0n+C2n+C4n……）=2andn*2n-1
Zn = (2ad)n， Zn才为完全n次方数，Z才有正整数解，但此时X=0，与题设X、Y、Z任一不为0矛盾。故Z无整数解。
   综合以上Ⅰ、Ⅱ两种情况，可证明：
当n＞2时，Xn+Yn=Zn无正整数解。

maoguicheng

数学飞腾 发表于 2014-9-30 22:02
费马猜想的初等证明费马猜想：当n＞2时，Xn+Yn=Zn无正整数解，其中xyz≠0
证明：对于X、Y、Z的奇偶性，若 ...

当n＞2时，Xn+Yn=Zn无正整数解。
你给出的公式本身就不是整数方程，是无理数等式方程，故无整数解存在。

bieopi

给出了一些不知所云的公式，根本看不懂