求 (sinx+cosx)/(1+sinxcosx) 的最大、最小值，以及它在 [0,π/6] 上的积分

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

中国上海市

(1)sinxcosx=0.5sin2x∈[-1/2,1/2]
(2)设x=π/4-t
    y=√2sin(x+π/4)/(1+0.5sin2x)                     
    y=√2sin(π/4-t+π/4)/[1+0.5sin2(π/4-t)]
    y=√2cost/(1+0.5cos2t)           
    y=√2cost/[1+(cost)^2-0.5]
    y=2√2cost/[1+2(cost)^2]
    y+2y(cost)^2-2√2cost=0
    2y(cost)^2-2√2cost+y=0
    ∵x∈R
    ∴t=π/4-t亦∈R
    ∴cost∈[-1,1]
   令g(cost)=2y(cost)^2-2√2cost+y
   方程在[-1,1]上至少有一个根
  所以Δ=8-8y^2≥0→y∈[-1,1]
   且g(-1)g(1)≤0
    即(2y+2√2+y)(2y-2√2+y) ≤0
    9y^2-8≤0
    y∈[-2√2/3,2√2/3]
   而[-1,1]∩[-2√2/3,2√2/3]= [-2√2/3,2√2/3]
   ∴y∈[-2√2/3,2√2/3]
(3)先求不定积分
由(2)知原式=∫-2√2cost/[1+2(cost)^2]dt=-2√2∫1/[1+2(1-sint^2)]dsint=-2√2∫1/[3-2(sint)^2]dsint=2√2∫1/[2(sint)^2-3]dsint=2√2∫[1/(√2sint-√3)-1/(√2sint+√3)]/2√3dsint=√2/√3[(1/√2)ln(√2sint-√3)-[(1/√2)ln(√2sint+√3)=1/√3ln(|√2sint-√3)/(√2sint+√3|)+C
x=0时
1/√3ln|-√3)/√3|=1/√3ln1=0
x=π/6时
1/√3ln|√2/2-√3)/√2/2+√3|=1/√3ln|(1/2+3-√6)/(1/2-3)|=1/√3ln(1+6-2√6)/5
=1/√3ln(√6-1)^2/5
=2/√3ln(√6-1)/√5
两式相减得2/√3ln(√6-1)/√5
答案有点怪不知对不对
         



         

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