三边长均为正整数、一直角边长为 45 的直角三角形有几种？其中面积最小的是哪一种？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

drc2000

正整数三边为:  k(a^2+b^2),  k(a^2-b^2),  2k(ab)
而一直角边为45,所以: k(a^2-b^2)=45...........(*)
(另外一直角边肯定为偶数)
k=1时,(*)有三解:7^2-2^2=9^2-6^2=23^2-22^3=45
k=3时,(*)有两解:4^2-1^2=8^2-7^2=15
k=5时,(*)有一解:5^2-4^2=9
k=9时,(*)有一解:3^2-2^2=5
k=15时,(*)有一解:2^2-1^2=3
k=45时,(*)无解:a^2-b^2≠1
以上累计,八解.
(待续)

drc2000

k=1时,三角形为(58,45,28)  (117,45,118),  (1013,45,1012),
面积依次为630,  2632.5,  22770
k=3时三角形为(51,45,24)  (279,45,336)
面积依次为540,  6277.5
k=5时三角形为(205,45,200)面积为4500
k=9时三角形为(117,45,118)面积为2632.5
k=15三角形为(75,45,60)面积为1350

以上面积最小的为三角形(51,45,24),其面积为540
(完)

luyuanhong

谢谢楼上 drc2000 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。