罗素悖论中的“不属于自身的集合”是什么意思？

fm1134 · 发表于 2015-1-9 20:44

本帖最后由 fm1134 于 2015-1-9 12:50 编辑

罗素悖论中常会提到“属于自身的集合”和“不属于自身的集合”等词汇，用数学符号表示，就是假设X是一个集合，有的X∈X，而有的X∈/X（∈/表示“不属于”），不知这是什么意思？
我们知道，一个集合中的元素才能“属于”这个集合，而一个集合自身怎么可以“属于”自身呢？

luyuanhong · 发表于 2015-1-9 22:00

比如说，我们定义 S 是 “由所有的集合作为元素组成的集合”。

S 本身也是一个集合，是 “所有的集合” 中的一个，所以 S 就

是集合 S 中的一个元素。

fm1134 · 发表于 2015-1-9 22:23

luyuanhong 发表于 2015-1-9 14:00
比如说，我们定义 S 是 “由所有的集合作为元素组成的集合”。

S 本身也是一个集合，是 “所有的集合” ...

谢谢陆老师的解答！
除了2楼给出的例子以外，还有没有更加通俗、更加直观的例子呢？
我看一本书中说，一类书组成的集合不属于它自己，而一类思想组成的集合却属于它自己，这段话很让人费解，不知是什么意思？

elim · 发表于 2015-1-9 23:17

如果像Cantor那样朴素地把集合看作元素的汇集，那么一切事物的汇集就是一个集合S. 于是 S 是一个事物，按 S 的定义就有 S 是 S 的的元素. 既然有集合为自身的元素，罗素悖论就作怪了。

ZF 公理集合论通过存在公理和构成公理对集合的概念作了限制，从而没有集合会是自身的元素；NBG 公理集合论把一般的元素汇集，概念的外延叫作类，以自身为其元素的类叫正则类，非正则的类叫作集合。这样，在现代集合论就中无法导出罗素悖论。

fm1134 · 发表于 2015-1-10 16:02

elim 发表于 2015-1-9 15:17
如果像Cantor那样朴素地把集合看作元素的汇集，那么一切事物的汇集就是一个集合S. 于是 S 是一个事物，按 ...

谢谢elim的解答！
不知能否解释一下，为什么说“一类书组成的集合不属于它自己，而一类思想组成的集合却属于它自己”？

门外汉 · 发表于 2015-1-10 19:53

luyuanhong 发表于 2015-1-9 14:00
比如说，我们定义 S 是 “由所有的集合作为元素组成的集合”。

S 本身也是一个集合，是 “所有的集合” ...

在一个小屋子里一共有十条袋子和十个苹果，有一个人说：“将所有的苹果全都装进同一个袋子里”，这句话当然是一点矛盾都没有。
但是另外一个人说：“将所有的袋子全都装进同一个袋子里”。
这句话是不是有矛盾呢？

wangyangke · 发表于 2015-1-11 20:00

门外门内之间有一条坎，抽象与具体之间有一条坎；此坎类彼坎；门外汉爱玩坎，却过不了坎，，，

elim · 发表于 2015-1-12 00:53

本帖最后由 elim 于 2015-1-11 10:00 编辑

门外汉发表于 2015-1-10 04:53但是另外一个人说：“将所有的袋子全都装进同一个袋子里”。
这句话是不是有矛盾呢

很好的问题. 一个袋子是不是已经装进了自己？好像可以这么说。如果这点被肯定，那么“将所有的袋子全都装进同一个袋子里”就可行。

elim · 发表于 2015-1-12 01:21

fm1134 发表于 2015-1-10 01:02
谢谢elim的解答！
不知能否解释一下，为什么说“一类书组成的集合不属于它自己，而一类思想组成的集合却 ...

以朴素集合论来看，一类书不是书而是书的一个类(按某种对书的划分准则而得到的书的集合，所以不是书），所以不是书的类的元素；如果把集合等同于概念，而把概念看作一种特殊的思想，那么集合作为一种特殊的思想是一切思想的集合的元素，特别地，一切思想的集合其自身的元素。

则种议论其实已经失去了数学的严谨性，被公理集合论排斥。因为它们会导致诸多混乱和悖论。

门外汉 · 发表于 2015-1-12 11:35

elim 发表于 2015-1-11 16:53
很好的问题. 一个袋子是不是已经装进了自己？好像可以这么说。如果这点被肯定，那么“将所有的袋子全都 ...

如果一条袋子可以自己装下自己，那么一条鱼也可以自己将自己吞进肚子里。

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