半径为 R,r 的两圆外切于 P 点，P 到两圆外公切线距离为 d ，试证：1/R+1/r=2/d

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

中国上海市

以Rr圆心连线为x轴，以两圆内公切线为y轴建立平面直角坐标系，大圆位于y轴左侧，小圆位于y轴右侧，设大圆方程为(x-R)^2+y^2=R^2，小圆方程为(x-r)^2+y^2=r^2，点P坐标为(0，0)，下面关键是求外公切线的方程
设外公切线两切点分别为A、B，延长AB与x轴交于点C，设AC与x轴负方向夹角为θ
易知tanθ=R-r/R+r
RC=R/sinθ=R√(2R^2+2r^2)/(R-r)，所以点C坐标为([R√(2R^2+2r^2)/(R-r)]-R，0)
可求直线AC方程，就可求点P(0,0)到直线AC的距离，具体运算就不写了

luyuanhong

谢谢楼上 中国上海市 的解答。下面是我的做法：

ataorj

d=x+r
x=(R-r)r/(R+r)
2/d=2/(x+r)=2/[(R-r)r/(R+r)+r]
=2/[(R-r)r+r(R+r)]/(R+r)
=2/{[(R-r)r+r(R+r)]/(R+r)}
=(R+r)/(Rr)
=1/r+1/R