求方程 x^2-3[x]-4=0 的根

luyuanhong

这是网友 kezhulu 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

求方程x^2-3[x]-4=0的根.

只有-1和4？

luyuanhong

下面是台湾网友 YAG 在“陆老师的《数学中国》园地”中对此题的解答：

解:

(1)  3[x]=x^2-4 >= (-4) , [x] >= (-4/3), [x]>=(-1)

(2)  [x]<=x, [x]^2 <= x^2,

        [x]^2-3[x]-4  <=  x^2-3[x]-4=0

        [x]^2-3[x]-4 <=0,

        ([x]-4)([x]+1) <=0 ,

        -1 <= [x] <= 4

由 (1)(2),  -1 <= [x] <= 4

討論:

[x]=-1,   x^2=3[x]+4=1,   x= -1 (1 不合)

[x]=0,    x^2=3[x]+4=4,   x=±2(不合)

[x]=1,    x^2=3[x]+4=7,   x= ± √ 7 ( 不合)

[x]=2,    x^2=3[x]+4=10,   x= ± √ 10 ( 不合)

[x]=3,    x^2=3[x]+4=13,   x= √ 13 (  -√ 13 不合)

[x]=4,    x^2=3[x]+4=16,   x= 4 (-4 不合)

綜合上面可以知道:

x= -1,  √ 13 , 4