已知 P(4,3,1)，Q∈{x^2+(y-1)^2+(z-5)^2=13，x+2y+2z=3}，求 PQ 的最大、最小值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

是否可求最大值?

luyuanhong

drc2000

Γ：x^2+(y-1)^2+(z-5)^2=13表示球心为A(0,1,5),半径为R=√13的球面
α：x+2y+2z-3=0表一平面，球心A(0,1,5)到α距离为d=|0+2*1+2*5-3|/√(1^2+2^2+2^2)=3<R
所以Γ,α相交,截面的曲线为球的一个小圆,小圆半径为r=√(R^2-d^2)=√(13-3^2)=2
既Q点在一个半径为2的圆上,

而AP=√[(4-0)^2+(3-1)^2+(1-5)^2]=6,AP>R>r,说明P在球面外,当然更在小圆外.

一般情况下,在某直径一端,取得最大值,该直径另外一端取得最小值.

(以上只是定性分析,具体数值待续)

luyuanhong

谢谢楼上 drc2000 的解答。下面是按此思路的详细解答过程：

luyuanhong