f(x)=x^3/3-2x^2+ax+b 在 x=0 切线与 f(x) 交于(c,37/2)，极值 f(p)+f(q)=7/3，求极值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

f(x)=(1/3)x^3-2x^2+ax+b，在(0,f(x))有一切線，

此切線與f(x)另一交點為 (c,37/2)，

又f(x)有極值f(p),f(q),p≠q,f(p)+f(q)=7/3  求極大值

fungarwai

f(x)=(1/3)x^3-2x^2+ax+b
f'(x)=x^2-4x+a

f(0)=b                f'(0)=a                该切线为y=ax+b
f(c)=37/2=ac+b
(1/3)c^3-2c^2=0
(c,37/2)为另一交点        c≠0        c=6
6a+b=37/2

p+q=4        pq=a
p^2+q^2=(p+q)^2-2pq=16-2a
p^3+q^3=(p+q)^3-3pq(p+q)=64-12a
(1/3)p^3-2p^2+ap+b+(1/3)q^3-2q^2+aq+b=7/3
(1/3)(64-12a)-2(16-2a)+4a+2b=7/3
4a+2b=13

a=3,b=1/2        f(x)=(1/3)x^3-2x^2+3x+1/2
p,q=1,3        f(1),f(3)=11/6,1/2

luyuanhong

谢谢楼上 fungarwai 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。