求正四面体的棱长

波斯猫猫 · 发表于 2015-3-21 21:20

本帖最后由波斯猫猫于 2015-3-21 22:25 编辑

求半径为r的球的内接正四面体的棱长（若是填空题，一、两分钟内可得答案2√6r/3）。

波斯猫猫 · 发表于 2015-3-22 22:04

既然一、两分钟可搞定，说明有什么可作过度？弄明白这个“什么”是什么就找到了切入点。

波斯猫猫 · 发表于 2015-3-24 20:30

这个“什么”就是球的内接正方体。正方体的内接四面体即为所求。

luyuanhong · 发表于 2015-3-26 10:41

波斯猫猫 · 发表于 2015-3-26 14:07

谢谢教授！

llz2008 · 发表于 2015-3-29 08:22

犹豫几天，鼓足勇气写下我的思路。正四面体的高和共点的斜高夹角正弦值为1：3，由此得高为R4/3,棱长等于2√6 R/3

波斯猫猫 · 发表于 2015-3-29 16:12

llz2008 发表于 2015-3-29 08:22
犹豫几天，鼓足勇气写下我的思路。正四面体的高和共点的斜高夹角正弦值为1：3，由此得高为R4/3,棱长等于2√ ...

犹豫几天!?不值。只要求出即可，至于是否简洁，无关紧要。

llz2008 · 发表于 2015-3-29 16:16

波斯猫猫发表于 2015-3-29 08:12
犹豫几天!?不值。只要求出即可，至于是否简洁，无关紧要。

注重探索，最终要回归到解决问题的本质上来，否则就失去探讨的真谛。

波斯猫猫 · 发表于 2015-3-29 21:27

本帖最后由波斯猫猫于 2015-3-29 21:29 编辑

要说回归本质，那就是正四面体的两个性质：一是棱长是其外接·正方体的棱长的√2倍（涉及本题），二是体积是其外接正方体的体积1/3（涉及波斯猫猫的另一主题，求棱长为a的正八面体的体积）。可参考西南师大《数学教学通讯》1994年第3期《正四面体的两个性质及应用》（在百度等可搜到）。

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