求助：这个三元方程组有没有解？

天山草@

已知三角形的三个角平分线的长 ta, tb, tc。

tc = Sqrt[a b ((a + b)^2 - c^2)]/(a + b),
tb = Sqrt[ a c ((a + c)^2 - b^2)]/(a + c),
ta = Sqrt[c b ((c + b)^2 - a^2)]/(c + b)。

通过上面三个方程组，能不能求出该三角形的各边长 a, b, c？

天山草@

也就是说，已知三角形的三个角平分线长，能不能唯一地确定这个三角形的形状？

答案是肯定的。由平分线长 ta, tb, tc 可以算出边长 a, b, c。 但是 a=f(ta,tb,tc) 的解析式搞不出来！

任何一本数学手册中都没有列出这个公式！  

天山草@

用 mathematica 软件做如何？ 程序如上。但是运行老半天，没有动静，不出结果。

wangyangke

天山草或天山草@的头像图片给出的联想或启示：

新鲜的自然的葡萄是可人营养的；而葡萄干，经过人为加工即伪加工，也是是可人营养的，但比之新鲜的自然的葡萄却差远了哟，有的甚至有害，，，人为加工，能马马虎虎么，，，

天山草@

由平分线长 ta, tb, tc 求边长 a, b, c 的解析表达式是客观存在的，只是我们写不出来！也没见任何一本数学手册上有此公式。
由平分线长求三边, 用 mathematica 跑了一下，长时间给不出结果。

实际画一个三角形，实测：a = 7629, b = 5143, c = 7157, ta = 4759, tb = 6928,  tc = 5188。用 mathematica 求数值解，可得到正确结果：



但是，数值解不是我所关心的，我想要的是解析公式！

风花飘飘

设：X、Y、Z是三条角平分线，a、b、c是对映的三条边——
《一》天山草老师提供如下关系：
X^2=(b*c*(b^2+c^2+2*b*c-a^2))/(b^2+c^2+2*b*c)
Y^2=(a*c*(a^2+c^2+2*a*c-b^2))/(a^2+c^2+2*a*c)
Z^2=(b*a*(b^2+a^2+2*b*a-c^2))/(b^2+a^2+2*b*a)

《二》设：a=(r+s)   ;b=(t+u)   ;c=(v+w)，由斯台沃特定理得：
X^2=((v+w)^2*s+(t+u)^2*r)/(r+s)-r*s
Y^2=((r+s)^2*u+(v+w)^2*t)/(t+u)-t*u
Z^2=((t+u)^2*w+(r+s)^2*v)/(v+w)-v*w

《三》天山草老师PK斯台沃特得：
X^2=(b*c*(b^2+c^2+2*b*c-a^2))/(b^2+c^2+2*b*c)=((v+w)^2*s+(t+u)^2*r)/(r+s)-r*s
Y^2=(a*c*(a^2+c^2+2*a*c-b^2))/(a^2+c^2+2*a*c)=((r+s)^2*u+(v+w)^2*t)/(t+u)-t*u
Z^2=(b*a*(b^2+a^2+2*b*a-c^2))/(b^2+a^2+2*b*a)=((t+u)^2*w+(r+s)^2*v)/(v+w)-v*w

《四》把a、b、c替换掉得：
X^2=((t+u)*(v+w)*((t+u)^2+(v+w)^2+2*(t+u)*(v+w)-(r+s)^2))/((t+u)^2+(v+w)^2+2*(t+u)*(v+w))=((v+w)^2*s+(t+u)^2*r)/(r+s)-r*s
Y^2=((r+s)*(v+w)*((r+s)^2+(v+w)^2+2*(r+s)*(v+w)-(t+u)^2))/((r+s)^2+(v+w)^2+2*(r+s)*(v+w))=((r+s)^2*u+(v+w)^2*t)/(t+u)-t*u
Z^2=((t+u)*(r+s)*((t+u)^2+(r+s)^2+2*(t+u)*(r+s)-(v+w)^2))/((t+u)^2+(r+s)^2+2*(t+u)*(r+s))=((t+u)^2*w+(r+s)^2*v)/(v+w)-v*w

《五》由斯台沃特【变种】定理得：（呵呵……）
(r+s)/(t+u)=w/v
(t+u)/(v+w)=s/r
(v+w)/(r+s)=u/t

《六》联合成立六元小组，试求解之：
((t+u)*(v+w)*((t+u)^2+(v+w)^2+2*(t+u)*(v+w)-(r+s)^2))/((t+u)^2+(v+w)^2+2*(t+u)*(v+w))=((v+w)^2*s+(t+u)^2*r)/(r+s)-r*s-----（1）
((r+s)*(v+w)*((r+s)^2+(v+w)^2+2*(r+s)*(v+w)-(t+u)^2))/((r+s)^2+(v+w)^2+2*(r+s)*(v+w))=((r+s)^2*u+(v+w)^2*t)/(t+u)-t*u------（2）
((t+u)*(r+s)*((t+u)^2+(r+s)^2+2*(t+u)*(r+s)-(v+w)^2))/((t+u)^2+(r+s)^2+2*(t+u)*(r+s))=((t+u)^2*w+(r+s)^2*v)/(v+w)-v*w------（3）
(r+s)/(t+u)=w/v------（4）
(t+u)/(v+w)=s/r------（5）
(v+w)/(r+s)=u/t------（6）

《七》由【风花飘飘三角眼定理】知：呵呵……
r = (a*c)/(c+b),
s = (a*b)/(c+b),
t = (a*b)/(c+a),
u =(b*c)/(c+a),
v = (b*c)/(b+a) ,
w =(a*c)/(b+a)

《八》由塞瓦定理得：
(r/s)*(t/u)*(v/w)=1

《九》再利用内切圆半径相等计算求通解式：
（待续中……本题并不难，只是计算繁琐！注：X、Y、Z都是4个平方数的和。）

drc2000再来

有解，知乎上有人用软件算了很久，出来结果，有三次方根。很复杂。
可惜不能尺规作图。

红树

命题不成立，错误

simpley

三个角分线相等的两三角形全等，这说明方程有解，前提是这三个角分线存在

风花飘飘

动用【单位论】来计算，本题尚如此繁琐，让simp狸去算，那就是对天吠月。
本题可以由三个定理联合搞定。（开始以为还要用到“没捏老实定理”的）

《1》斯台沃特【变种】定理：（呵呵……）
(r+s)/(t+u)=w/v
(t+u)/(v+w)=s/r
(v+w)/(r+s)=u/t

《2》【风花飘飘三角眼定理】：呵呵……
r = (a*c)/(c+b),
s = (a*b)/(c+b),
t = (a*b)/(c+a),
u =(b*c)/(c+a),
v = (b*c)/(b+a) ,
w =(a*c)/(b+a)

《3》塞瓦定理：
(r/s)*(t/u)*(v/w)=1

《4》再利用内切圆半径相等计算求得通解式：
（待续中……本题并不难，只是计算繁琐！注：X、Y、Z都是4个平方数的和。）

【计划放弃计算，实在是繁琐闹心！】举个栗子，供大家欣赏吧：
r = 429632376868099,
s = 308732613418001,
t = 256824776480550,
u = 240935237288150,
v = 278928000199075,
w = 413754951102225,
a = (r+s)=738364990286100,
b =(t+u)= 497760013768700,
c = (v+w)=692682951301300,