求证：半径为r的圆内接三角形的最大面积是3√3r＾2/4.

波斯猫猫 · 发表于 2018-7-27 21:01

shuxuestar · 发表于 2018-7-27 23:42

本帖最后由 shuxuestar 于 2018-7-27 23:52 编辑

直接用三角方程代换复杂多次方程求切线极值一直是数学爱好者头疼的事情

这用了相对简单的方法........ 大家可以看看

shuxuestar · 发表于 2018-7-28 11:36

本帖最后由 shuxuestar 于 2018-7-28 11:38 编辑

据我所知这个问题前人解决过华罗庚解决过多边形面积极值问题像这类问题应有更简单的几何方法和纯解析法......

这个方法是临时创造不是正统解法大家再各耍十八般武艺这个问题有趣方法应该有不少...........

波斯猫猫 · 发表于 2018-7-29 18:18

本帖最后由波斯猫猫于 2018-7-29 18:28 编辑

证明：在△ABC中，sinA+sinB+sinC+sin60°
=2sin（A+B）/2×cos（A-B）/2 +2sin（C+60°）/2×cos（C-60°）/2
≤2sin（A+B）/2 +2sin（C+60°）/2
=4sin〔（A+B）/2+（C+60°）/2〕/2×cos〔（A+B）/2-（C+60°）/2〕/2
≤4sin〔（A+B）/2+（C+60°）/2〕/2=4sin60°=2√3，
∴ sinA+sinB+sinC≤3√3/2.
又面积2s=absinC，由正弦定理及均值定理有
s=2r＾2 sinAsinBsinC≤2r＾2〔（sinA+sinB+sinC）/3〕＾3
=2r＾2（√3/2）＾3=3√3 r＾2/4（当且仅当A=B=C=60°时，取得最大值）.

shuxuestar · 发表于 2018-7-30 10:44

另一分析方法类似

liangchuxu · 发表于 2018-7-30 19:40

用初等数学中三角关系式解

luyuanhong · 发表于 2018-7-31 00:40

本帖最后由 luyuanhong 于 2018-7-31 00:45 编辑

我下面的帖子，证明了一个更一般的结论：

半径为 r 的圆内接 n 边形成为正 n 边形时面积最大，最大值为 nr^2sin(2π/n)/2 。

特别，当 n=3 时，就是：

半径为 r 的圆内接三角形成为正三角形时面积最大，最大值为 3√3r^2/4 。

shuxuestar · 发表于 2018-7-31 14:42

分析法证明圆内接正多边形面积最大：

shuxuestar · 发表于 2018-7-31 14:43

本帖最后由 shuxuestar 于 2018-7-31 14:45 编辑

以前上学看过有专业书籍上有华罗庚证明了一定长度的线段围合多边形，正多边形面积极大的不等式定律

与这个有类似但是方法创造性的也有很大不同...............

luyuanhong · 发表于 2018-7-31 15:35

谢谢楼上 shuxuestar 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

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求证：半径为r的圆内接三角形的最大面积是3√3r＾2/4.

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