证明：半径为 r 的圆内接 n 边形成为正 n 边形时面积最大，最大值为 nr^2sin(2π/n)/2

luyuanhong

luyuanhong

永远 发表于 2018-7-31 01:00
椭圆内接正多边形可以吗，如果可以，则内接正多边形大于内接多边形的面积和周长，那么相应的可逼近椭圆面积 ...

一个长半轴为 a 、短半轴为 b 的椭圆，可以作仿射变换，变成一个半径

为 a 的圆，相应地，椭圆内接 n 边形也变成了圆内接 n 边形。

根据第 1 楼中证明得到的结果，当圆内接 n 边形成为正 n 边形时，它的

面积达到最大，最大值为 na^2 sin(2π/n)/2 。

再返回到仿射变换以前，圆压扁成为一个椭圆，圆内接正 n 边形压扁成为

一个特殊的椭圆内接 n 边形（当然不再是正 n 边形），它的面积达到最大，

最大值为 nab sin(2π/n)/2 。

当 n→∞ 时，这个椭圆内接 n 边形的面积 nab sin(2π/n)/2→πab ，

就是这个长半轴为 a 、短半轴为 b 的椭圆的面积。

luyuanhong

永远 发表于 2018-7-31 07:27
还有椭圆的周长呢，可否同理可得，不用微积分…～

椭圆的周长不可能用上述方法仿射变换求得。

因为在仿射变换下，图形的面积按比例缩放，但是曲线的长度并不按比例缩放。

luyuanhong

永远 发表于 2018-7-31 13:22
也就是说，椭圆周长不能用内接折线多边形求得

椭圆周长可以用内接多边形周长无限逼近来求得（当然实际做起来是很困难的）。

但是，不能有用圆的周长通过比例缩放来求得。

shuxuestar

分析法证明：






与二元函数偏导数归零求极值法有相似之妙  哈哈

luyuanhong

谢谢楼上 shuxuestar 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

luyuanhong

永远 发表于 2018-7-31 15:41
先生的帖子，你那个椭圆周长公式对吗，呵呵，我正在征求陆教授用割椭圆术求椭圆周长，毕竟这是老祖宗的方 ...

我说：“椭圆周长可以用内接多边形周长无限逼近来求得。”

意思是说可以将内接多边形周长通过无限逼近化作一个定积分式子，

这个定积分可以展开成一个无穷级数。不是什么中国 "老祖宗的方法"。

luyuanhong