将 52 张扑克牌任意排成一列，求其中至少有两张 A 相邻的概率

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

Ysu2008

将四张 A 放入 52 个排成一行的空格，四张 A 的排列总数有 52×51×50×49；

若有两张 A 相邻，可能为1邻2，2邻3，...，51邻52，共计 51 个位置，第三张 A 可放入余下 50 个空格，第四张 A 可放入余下 49个位置，排列数为 51×50×49；

两张相邻 A 有 2 种排列方式，四张 A 中任意两张 A 均可能相邻。所以，有两张 A 相邻时的排列总数为：
C(4,2)×2×51×50×49

所以，两张 A 相邻的概率 = C(4,2)×2×51×50×49 / 52×51×50×49 = 6×2/52 = 3/13 ≈ 0.231

luyuanhong

题  将 52 张扑克牌任意排成一列，求其中至少有两张 A 相邻的概率。

解  只要考虑 4 张 A 在排列中的位置就可以了。

    在一列 52 个位置中，任意找 4 个位置放 4 张 A ，有 C(52,4) 种放法。

    要让 4 张 A 都不相邻，相当于先将其余 48 张牌排成一列，在这 48 张

牌相互之间的缝隙和排列的两端，共有 49 个位置，可以插入 A ，在这 49 个

位置中，任意找 4 个位置放入 4 张 A ，有 C(49,4) 种放法。

    所以，4 张 A 都不相邻的概率为 C(49,4)/C(52,4) 。

    至少有两张 A 相邻的概率为

    题  将 52 张扑克牌任意排成一列，求其中至少有两张 A 相邻的概率。

解  只要考虑 4 张 A 在排列中的位置就可以了。

    在一列 52 个位置中，任意找 4 个位置放 4 张 A ，有 C(52,4) 种放法。

    要让 4 张 A 都不相邻，相当于先将其余 48 张牌排成一列，在这 48 张

牌相互之间的缝隙和排列的两端，共有 49 个位置可以插入 A ，在这 49 个

位置中，任意找 4 个位置放入 4 张 A ，有 C(49,4) 种放法。

    所以，4 张 A 都不相邻的概率为 C(49,4)/C(52,4) 。

    至少有两张 A 相邻的概率为

      1-C(49,4)/C(52,4)=1-49×48×47×46/(52×51×50×49)

                =1-4324/5525=1201/5525 。

Ysu2008

我做了模拟，陆老师是对的。