求满足方程 (x^2+x+1)(1+x+x^2+…+x^9+x^10)=(1+x+x^2+…+x^6)^2 的实数 x

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

elim

x不等于1，对原方程两边同乘(x-1)^2 得
(x^3-1)(x^11-1)=(x^7-1)^2. 即
x^11+x^3-2x^7=0,
x^3(x^8-2x^4+1)=x^3(x^4-1)^2=0
故原方程的因子乘积形式为 x^3(x+1)^2(x^2+1)^2=0.
0, -1, i, -i 依次是原方程的 3, 2, 2, 2 重根．

luyuanhong

谢谢楼上 elim 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

shuxuestar

这题用等比求和公式应该非常快..............

shuxuestar

永远 发表于 2018-8-12 23:22
e老师用的就是等比求和，只不过省略了好多过程

哈哈 你这题做的正规了 他估计不是用等比求和的办法而是试验多项式变形消项合并...........

elim

shuxuestar 发表于 2018-8-12 08:50
哈哈 你这题做的正规了 他估计不是用等比求和的办法而是试验多项式变形消项合并...........

这么猜测很无聊．事实上我只是用代数方法一步得到等比数列和，而不必为一个小题引入等比数列概念及论证证．

luyuanhong

谢谢第 6 楼 永远 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

elim

你说的那些都对, 我从未反对过。我只是说不要在这种小事上花时间. 我贴出那个解的时候没有打草稿，没有用软件。我假定可以立即看出的代数运算就不必赘言了。一种变形的好处很明显，就不必说为什么要作这种变形了。等等....

随着你接触的数学的深入，许多过去需要说一说的东西应该略去，腾出注意力在较新较深的理论和技巧上。