炮轰极限论，正解微积分

青山

　　【摘  要】通过研究无限循环小数0.999…与整数1之间的关系，证明了无限循环小数不能是有理数而必须是无理数，有理数与无理数之间不能用等号连接。以此为契机，进一步证明高等数学中的“极限理论”是完全错误的理论，必须彻底否定、坚决铲除。迷雾散尽之后，神秘的微积分终于露出了庐山真面目，回归初等数学并且加入了自然科学的光荣行列。而失去了“极限理论”与“微积分”两部分内容的高等数学只剩下一具空壳，退出历史舞台已经指日可待。

　　【关键词】无限循环小数，无理数，极限理论，微积分，高等数学

　　目 录

　　1. 部分等于整体吗？
　　2. 孽源寻踪
　　3. 所有无限小数都是无理数
　　4. 无限小数的本质
　　5. 数学家“卖拐”
　　6. 骗术揭秘
　　7. 微积分的意义
　　8. “等于”还是“约等于”？
　　9. 微积分的回归
　　10. 高等数学的破产

风花飘飘

青山依旧在，几度夕阳红。

“地心官科”的地球中心说被“日心民科”的太阳中心说干掉了，“日心民科”变成了新的“日心官科”，可是好日子不长，就被“相对论民科”给干下去了，“相对论民科”现在变成了“相对论官科”，下一拨儿打趴下“相对论官科”的是谁？？
其实是谁也都无所谓，都将被无情地扫进历史的垃圾堆里去的……
真理是相对的，取决于人类当时的认知水平。

chaoshikong

按青山老师的理论，哥猜根本就无需证，只要用计算机穷举法，找到10^90的所有数都正确就可以拿来使用了，即使后面有反例已经无所谓了，呵呵。。。

青山

　　1. 部分等于整体吗？

　　在小学数学里，两个小数可以比较大小，其方法是：当两个数的整数位不同时，整数位数值较大的那个数更大。
　　根据这个规则，我们把无限循环小数 0.999… 和1写在下面，比较一下哪个大、哪个小。为了方便，不妨把整数1看作无限循环小数1.000…
　　              0.999…
　　              1.000…
　　两个数的整数位分别是0和1，由于0 < 1，小数部分直接忽略，立即可以得出0.999… < 1这个简单而明显的结论。
　　为了保证上述结论更加准确，我们再给出另外一种证明。
　　设n是无限循环小数0.999… 中“9”的数量，
　　当n ＝ 1 时，0.9 < 1成立
　　当n ＝ 2 时，0.99  < 1成立
　　当n ＝ 3 时，0.999 < 1成立
　　当n ＝ 4 时，0.9999 < 1成立
　　……
　　当n ＝ ∞ 时，0.999… < 1成立，于是得到结论：
　　                                     0.999… < 1                        （1）
　　上面用两种不同的方法严格地证明了“0.999… < 1”。它是“部分小于整体”的一个典型实例。
　　“部分小于整体”来自于著名的欧几里得第五公理，也是人类经过几百万年的亲身实践所证明的真理。
　　然而，另一些数学家却证明了一个令人惊诧的命题：0.999… ＝ 1。
　　同样根据小学数学知识，除法运算可以直接写成分数形式，也可以写成小数形式
　　1÷9 ＝ 1/9
　　0.111… ＝ 1/9
　　两边同时乘以9，得到
　　                                   0.999… ＝ 1                        （2）
　　除此之外，数学家们还给出了另一种更“严谨”的证明。
　　假设 x ＝ 0.999…
　　两边同时乘以10，得 10x ＝ 9.999…
　　等号右边数值分解，得 10x ＝ 9 + 0.999…
　　代入假设，10x ＝ 9 + x
　　化简，9x ＝ 9
　　所以，x ＝ 1
　　上式与假设比较，等号左边都是x，等号右边必然相等，于是有
　　                                   0.999… ＝ 1                        （2）
　　这样，这些数学家也以两种不同的方式“证明”了“0.999…＝1”，它是“部分等于整体”的一个典型实例。
　　可以看出，依据当今的数学体系，可以合法地得到两个完全矛盾的结论：“部分小于整体”和“部分等于整体”。
　　两个相互矛盾的命题水火不容，不能共存，哪一个是错误的呢？又是什么原因导致了这个错误呢？

青山

　　2. 孽源寻踪

　　人类几百万年来的社会实践反复证明，“部分小于整体”是颠扑不破的真理，而“部分等于整体”一定是错误的命题。
　　那么，产生错误的原因在哪里呢？
　　问题出在划分小数范围的失误。数学家们没有仔细甄别，也没有经过任何证明，主观地将无限循环小数划入了有理数家族，埋下了隐患，从而导致了前面的错误。
　　下面来证明，将无限循环小数划入有理数是产生错误的根本原因。
　　有理数、无理数最重要的区别，是看它们能否转化为p/q型的分数。这一特征也是区分有理数与无理数最终标准——所有的有理数都能转化为p/q型的分数，所有的无理数都不能转化为p/q型的分数。
　　依据上述标准，我们对无限循环小数0.999… 进行检验，看看假设它是有理数时，能否推导出“0.999…＝1”。
　　假设“无限循环小数0.999…是有理数”，按有理数的定义，它就可以转化为p/q的形式（p、q是整数），即
　　                              0.999… ＝ p/q
　　                               p ＝ 0.999…q
　　                            10p ＝ 9.999…q
　　                         10p ＝ (9 + 0.999…)q
　　                         10p ＝ 9q + 0.999…q
　　                               10p ＝ 9q + p
　　                                  9p ＝ 9q
　　                                   p/q ＝ 1
　　                              0.999… ＝ 1                        （2）
　　上述事实表明，数学家们的人为规定“0.999…是有理数”确实是产生错误命题“0.999… ＝ 1”的根本原因。

青山

　　3. 所有无限小数都是无理数

　　“有理数”、“无理数”是怎么来的呢？
　　有理数，英文为RATIONAL，数学名词，来自RATIO（比例）, 表示两个整数之比， 本应译为“比例数”，却被错译成了“有理数”，讹传至今。虽然不断有有识之士提议将其更改为“比例数”、“可比数”，但由于种种原因，一直未能实现。
　　无理数，英文为IRRATIONAL，数学名词，表示“不能表示为两个整数之比的数”，是第一次数学危机的产物，本应译为“非比例数”、“不可比数”，但由于“有理数”的误译，为了保持概念的一致性，错译为“无理数”。
　　目前数学理论中，有关有理数、无理数的划分如下：
　　有理数：小数、分数、整数。其中小数包括有限小数及无限循环小数。
　　无理数：无限不循环小数（如，圆周率π，自然常数e）。
　　当今数学体系对有理数、无理数的划分，完全是主观的、任性的、随意的、没有科学依据的。
　　将“无限循环小数”划入有理数（比例数），意味着它们可以合法地化为分数，例如0.333… 可以化为 1/3， 0.999… 可以化为 1/1，造成 0.999… ＝ 1（部分等于整体）的荒谬结果。
　　当一种理论与实践发生冲突时，我们必须修正理论，让理论符合实践，而不是相反。
　　为了避免非法的 0.999… ＝ 1（数学运算结果）与合法的 0.999… ＜ 1（人类实践结果）同时出现在数学中的尴尬局面，我们必须从源头上采取有效措施加以防范：将“无限循环小数”划入无理数。
　　0.999… 归入无理数之后，按照定义不能将它转化为p/q型的分数，正本清源，彻底避免了数学中出现 0.999… ＝ 1 的可能性。
　　0.999… 是一个特殊的无限循环小数，其它无限循环小数如0.333…、0.212121…、0.356356356… 是否同样不能化为p/q型的分数呢？
　　容易发现，0.333… 除以3乘以9、0.212121… 除以21乘以99、0.356356356… 除以356乘以999之后，全部可以转化为0.999… 这个特殊的无限循环小数。由于整倍数的乘除运算不能改变数的性质，因此可以得到结论：形如0.333…、0.212121…、0.356356356… 之类的所有无限循环小数都不能化为p/q型的分数，它们全部是无理数。
　　古希腊人发现了“无限不循环小数”并将其定义为“无理数”引入数学，无疑是正确的。但是，将“无限不循环小数”当作全部无理数却是错误的。我们在前面已经证明，“无限循环小数”同样是无理数。所以，古希腊数学家们未将“无限循环小数”划入无理数，犯了以偏概全的错误，给数学的发展留下了隐患。
　　、圆周率π、自然常数e等无限不循环小数是公认的无理数，我们又从理论上证明了无限循环小数是新型的无理数，因此可以将新、旧无理数合并，定义一个新概念“无限小数”，它是全体“无限循环小数”与全体“无限不循环小数”的总和，即
　　{无限小数} ＝ {无限循环小数} + {无限不循环小数}
　　定义了“无限小数”这个新概念之后，我们就可将前面的发现概括为一个简明的结论：所有无限小数都是无理数。

青山

　　4. 无限小数的本质

　　为什么所有的无限小数都不能化为一个固定的分数呢？
　　我们仍以无限循环小数0.999… 为例进行分析。不难发现，这个数的几何意义，是一个在数轴上不断移动着的点：
　　                               0.9，0.99，0.999，0.9999，……
　　再看无限不循环小数，它也是一个在数轴上不断移动着的点：
　　                  1.4，1.41，1.414，1.4142，1.41421，1.414213，……
　　由此可知，无限小数的本质是一个动态点：一个逐渐变慢、永远无法安静下来的点。
　　根据数轴的概念，数轴上的固定点总是对应着有限小数，总是可以化为p/q型分数；而数轴上的移动点对应着无限小数，不可以化为p/q型分数。
　　由此可知，在数轴上无法标出无限小数的确切位置。
　　在现实中，人类也不可能制造出一把具有无穷精度的尺，准确量出无限小数的具体数值——这一性质可以称为数学的“测不准原理”。
　　在数学中，有限小数与无限小数反映了物质的静止与运动。更进一步说，有理数与无理数对应着物质的静止与运动：有理数用于描述物质的静止状态和物质结构，而无理数则用于描述物质的运动。
　　在哲学上，结构与运动是物质的两个重要属性。这两个属性反映在人的大脑中，就变成了人对物质世界最原始的意识：空间和时间。因此，空间和时间不是物质的直接属性，而是间接属性。空间和时间的概念依赖于人的存在，没有人的存在，宇宙中就只有物质的结构和运动，而没有空间和时间。
　　空间和时间是物质的两个独立属性，一个动态一个静态，二者之间不能相互转换。反映在数学上，就是有理数与无理数不能相互转换。它们的数学特征是：一个可以化为p/q型分数，一个不可以化为p/q型分数，二者相互独立，具有所谓的“正交性”，这相当于给数学家们下达了一条数学禁令：禁止“部分等于整体”，禁止用等号连接有理数与无理数。
　　然而，历代数学家都忽视了这一禁令，以至于在数学中出现了许多错误的等式，如
　　
　　
　　
　　
　　
　　根据当今数学理论不难证明：任意多个有理数相加、相减，其结果仍然是有理数；无穷多个有理数相加、相减，其结果也将是有理数。上述各式等号的左边是无理数，等号右边却是有理数，违反了数学禁令，自相矛盾，因此都是错误的等式。
　　违反禁令在数学中造成的恶果，迟早会以某种方式显示出来。
　　到了十七世纪，微积分问世之后，数学逐渐分裂为对立的两个部分：以正确的“部分小于整体”为基础的“初等数学”和以错误的“部分等于整体”为基础的“高等数学”。从那时起，数学的发展开启了分裂模式——初等数学与高等数学尖锐对立的共存模式。

青山

　　5. 数学家“卖拐”

　　级数求和是初等数学的内容，常见的是等差级数、等比级数。
　　我们考察一个级数，它共有n项
　　                                                      （3）
　　很明显，这是一个首项为a ＝ 0.9、公比q ＝ 0.1、项数为n的等比级数，该级数之和为Sn，
　　                                            （4）
　　当n ＝ 1时，Sn ＝ 0.9；
　　当n ＝ 2时，Sn ＝ 0.99；
　　当n ＝ 3时，Sn ＝ 0.999；
　　当n ＝ 4时，Sn ＝ 0.9999；
　　当n ＝ 5时，Sn ＝ 0.99999；
　　……
　　当n ＝ N时，Sn ＝ 1–0.1^N；
　　当级数的项数有限时，只要给出具体的n值，级数之和Sn就是一个固定值，就可以化为固定的p/q型的整分数形式，它就是一个有理数。
　　从公式（4）还可以发现，公式中的0.1^n项总是大于0，因此有限级数之和Sn永远小于1。
　　当将n推广到无穷大时，有限级数变成了无限级数，级数之和Sn就是一个无限小数0.999…，前面已经证明，它不是有理数而是无理数。公式中的0.1n项约等于0，级数之和Sn约等于1，即
　　                                    Sn ≈ 1（n→∞）                                  （5）
　　这一结论是明显的、确定的、可信的，任何人也无法否认的。
　　“近似值”是初等数学中常用的计算方法，它将数值上相近的两个量逻辑地连接起来，人们最熟悉的就是“四舍五入”的规则，它将无限小数转化为有限小数，脱除了无理数后面的“…”特征符号，使难于准确书写的无理数有了一个近似的表达，极大地方便了实际应用。如：
　　π  ＝ 3.1415926… ≈ 3.1416 ≈ 3.14
　　＝ 1.414213… ≈ 1.414 ≈ 1.41
　　0.333… ≈ 0.333 ≈ 0.33
　　0.999… ≈ 1
　　“近似计算”看起来很“土”，然而它纯朴、简单、实用，经受了人类几百万年的实践检验，在数学中的地位坚如磐石，稳如泰山。
　　同样的0.999…问题，在高等数学中如何处理呢？
　　高等数学家们同样认为0.999…是无穷级数的和，但不是采用近似方法，而是应用所谓的“极限理论”来完成级数的求和。
　　                                  （6）
　　上式引自高等学校教材《微积分》上册（闫站立编）“写给学生的话”，高等教育出版社，2007年5月第2版。
　　与公式（4）相比可以看出，高等数学家们在这里变起了魔术。虽然他们在运算过程中使用了初等数学的级数求和公式，但悄悄地加上了2个神秘的符号（lim和n→∞），经过一番折腾之后，最终得到一个看似简洁的结果。如果舍去中间计算部分，只看开头与结尾，那么立即就会发现，应用“极限理论”之后，无穷级数的求和实际上得到了非法的公式（2）：
　　                                        0.999… ＝ 1                               （2）
　　这个结果违反了数学禁令，与初等数学的计算相矛盾。
　　“极限理论”为什么会产生这样的结果呢？
　　我们研究一下“极限”的定义：
　　如果对于每一个预先给定的任意小的正数ε，总存在着一个正数δ，使得对于适合不等式 0＜| x - x0 |＜δ的一切 x，所对应的函数值 f (x) 都满足不等式 | f (x) - A |＜ε，则常数 A 就叫做函数 y ＝ f (x) 当 x → x0 时的极限，记做
                                       
　　这个吓死人的定义有60多字，涉及专业术语5个（正数、不等式、函数值、常数、函数），半专业术语5个（任意、存在、适合、满足、对应），修饰词6个（如果、对于、每一个、给定的、小的、一切，则），变量7个（x，x0，f (x)，A，y，ε，δ），数字 1 个（0），逻辑符号4个（＜，| |，＝，→）。
　　数学家们遮遮掩掩、欲语还休，其真正的目的只有一个：把一个动态量和一个静态量用等号连接起来，让这两个不相等的量相等。
　　也许有人会说：这不是欺骗吗？
　　完全正确。“极限理论”就是数学家们精心设计的一场大型魔术，一场持续近三百年的历史骗局，每年都有数以亿计的青年人被“忽悠”。

青山

　　6. 骗术揭秘

　　“极限理论”超强的欺骗本领不是与生俱来的，不是自然界真实存在的，不是证明出来的，而是数学家们怀着不可告人的目的“定义”出来的。
　　正是因为“极限理论”被人为地赋予了掩人耳目的特殊功能，所以它能够完成常人无法实现的“奇迹”，一次又一次地摧毁人类的三观。
　　（1）射不中的狐狸
　　有一只狐狸藏在一个靶子的中心处，也就是10环的位置。有个弓箭手，想射中这只狐狸。第1箭射中了9环，第2箭射中了9.9环，第3箭射中了9.99环，第4箭射中了9.999环，第5箭射中了9.9999环……，以后每射一箭，环数都比前一箭多一个9，更接近靶心。
　　问：这样射下去，弓箭手能射中狐狸吗？
　　全世界的老人、小孩、工人、农民齐声回答：射不中。
　　但是数学家说：射得中。根据“极限理论”，有
　　                                               （7）
　　这是“部分等于整体”的简单翻版。毫无疑问，数学家们应用“极限理论”得到的结果违反了数学禁令，与现实情况不符，是完全错误的。
　　（2）庄子之棰
　　中国古代哲学家庄子曾提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的思想。意思是一尺长的木棒，第一天砍去一半，第二天砍去剩下的一半，第三天又砍去剩下的一半，如此反复不已。庄子认为，照这样砍下去，这根木棒永远都砍不完。
　　我们不考虑量子问题，假设木棒的材质特殊，永远可以分割下去。
　　准备一个砧板，一个筐子。在砧板上砍木棒，砍下的部分扔到筐子里。
　　砍下第1刀，筐子里的木棒总长度为原长的1/2；
　　砍下第2刀，筐子里的木棒总长度为原长的1/2+1/4；
　　砍下第3刀，筐子里的木棒总长度为原长的1/2+1/4+1/8；
　　无论砍到什么时候，砧板上总是剩下那么一点，作为母体，等待下一次的切割。砍下的部分落在了筐子里，其总长度一定小于原来的长度1，即
　　                                                                                            （8）
　　式（8）又一次证明了“部分小于整体”是不可动摇的真理，它符合人类的实践经验，很容易理解，没有任何疑问。即使没有上过一天学的老太太，一辈子只会种田的老农民，也不会对此有任何异议。
　　然而，同样木棒、同样的刀、同样的砧板、同样的筐子、同样的砍法，按照现代数学的“极限理论”，筐子里面砍下的长度全部加起来，不是“小于”原长度，而是恰好“等于”原长度，数学家们将这个过程表示为
　　                                  （9）
　　省略中间的演算过程，只取首尾，得
　　                                                                                           （10）
　　式（10）是另一种形式的“部分等于整体”，又一次违反了数学禁令，与人类的实践结果背道而驰。
　　一边是目不识丁的农民，一边是满腹经纶的数学教授，两个完全相反的结果，哪一个是正确的呢？
　　毫无疑问，农民是正确的，数学教授错了。
　　（3）二分法
　　芝诺是古希腊哲学家，四个耸人听闻的故事使他名垂青史。
　　在芝诺的“二分法”故事中，一个人从0点出发，想走到终点1，第一天走了全长的一半（1/2），第2天走了剩下部分的一半（1/4），第3天又走了剩下部分的一半（1/8），第4天又走了剩下部分的一半（1/16）。总之，他每天总要对剩下的路程进行一次测量，然后只走一半就停下来。用数学表达式来描述，这个人走过的总路程为L

　　无论走多久，他与终点目标1之间始终存在着一段距离。而只要与最终目标存在着距离，那么他就只走剩余距离的一半就停下来。按照这样的走法，即使走到猴年马月、地老天荒，走到海枯石烂、日月无光，他也走不到1的位置。这与我们人类的经验完全一致，上至八旬老翁，下至十来岁的孩童，都不会有任何疑问，不会有任何争议。这一过程用数学式表示为
　　                                                                                           （8）
　　然而，数学教授们应用了“极限理论”之后，这个人走过的总路程L就变为一个首项为a ＝1/2、公比q ＝ 1/2的无穷等比级数之和
　　                                   （9）
　　省略中间的演算过程，只取首尾，得
　　                                                                                             （10）
　　数学家们再一次违反数学禁令，通过计算得出了“部分等于整体”的非法结论，从“理论上”证明了按这种走法可以走到终点，与人类的认知相悖。
　　比较“庄子之棰”与“二分法”可以看出，数学家们在这两个故事中所使用的骗术完全一致，都是通过违反数学禁令来创造理论上的而不是现实中的所谓“奇迹”，作为最新研究“成果”，制造噱头，欺骗公众。
　　（4）大将军追乌龟
　　芝诺的另一个故事，是所谓的“大将军追不上乌龟”。
　　乌龟在前在爬，将军在后面追。乌龟爬得慢，将军跑得快，无论早晚，将军都一定会追上乌龟。这是人类的经验，也是生活常识。
　　比如，乌龟在将军前面9米远的地方。乌龟的速度是0.1米/秒，将军的速度是1米/秒。二者的相对速度是0.9米/秒，将军追上乌龟需要的时间是t
　　

t ＝ 9÷0.9 ＝ 10秒

　　详细地说来，将军追乌龟这件事，在时间上可分为3个阶段：
　　（ⅰ）t < 10秒：将军尚未追上乌龟（乌龟在前，将军在后）
　　（ⅱ）t = 10秒：这一刻，将军追上了乌龟（将军与乌龟处在同一位置）
　　（ⅲ）t > 10秒：将军超过了乌龟（将军在前，乌龟在后）
　　这是一个连中学生都不会搞错的数学题。
　　但是，满腹经纶的数学家们不这么看。他们认为，根本不用等到第（ⅱ）阶段，在运动的第（ⅰ）阶段末期，也就是当时间到达无限循环小数9.999… 秒的时候，将军就能追上乌龟。他们是这么计算的：
　　第0秒，将军在0米处，乌龟在9米处；
　　第1秒，将军在1米处，乌龟在9.1米处；
　　……
　　第9秒，将军在9米处，乌龟在9.9米处；
　　第9.9秒，将军在9.9米处，乌龟在9.99米处；
　　第9.99秒，将军在9.99米处，乌龟在9.999米处；
　　第9.999秒，将军在9.999米处，乌龟在9.9999米处；
　　……
　　第9.999…秒，将军在9.999…米处，乌龟在9.999…米处；
　　                                               （7）
　　按照“极限理论”，无限循环小数9.999…就是10，因此，9.999…秒就是10秒，9.999…米就是10米。所以数学家们认为，在第10秒到来之前，也就是9.999…秒的时候，在运动的第（ⅰ）阶段，将军就能追上乌龟。
　　数学家再一次与中学生发生了激烈冲突。
　　谁对谁错呢？
　　非常明显，中学生是对的，而数学家是错的。
　　从以上4个例子可以看出，应用“极限理论”的结果，总是得到非法的“部分等于整体”，违反数学禁令，与初等数学相矛盾，与人类的实践经验相矛盾。因此，数学家们大力鼓吹、精心炮制的“极限理论”是错误的理论、无懒的理论、邪恶的理论。
　　自从“极限理论”被强行引入数学之后，非法的“部分等于整体”就在数学中深深地扎下了根，全部数学也由此正式分裂为“初等数学”和“高等数学”两大对立板块。数学从此患上了癌症，失去了所谓的“确定性”，从自然科学的大家庭中分离出来，陷入抽象主义、逻辑主义的烂泥坑，成为一具面目狰狞、形体丑陋、没有灵魂、令人作呕的僵尸，毒害着全人类。

青山

　　7. 微积分的意义

　　“极限理论”对于人类文明没有一丝一毫的价值，但微积分却极大地促进了科学的发展。因此，“极限理论”是伪科学，微积分是真科学。
　　微积分是高等数学的核心内容。而微积分理论的关键，在于求取任意曲线上某个点处的斜率。
　　“斜率”的概念来源于直线。在初等数学中，一条直线有无数个点。“斜率”是表示这条直线倾斜程度的量。在直线上任意取A、B两个点，两点的纵坐标之差Δy与横坐标之差Δx的比值Δy/Δx称为这条直线的“斜率”。
　　换句话说，“斜率”概念存在的必要条件是2个点。
　　这里有一个问题：直线上单个点处的“点斜率”是否存在呢？
　　当A、B两个点完全重合，直线就变成了一个点，此时Δy ＝ 0、Δx ＝ 0，按“斜率”的定义，有
　　                                                                                                            （11）
　　在数学中不允许分母为0。因此，“点斜率”是一个有缺陷的概念。
　　但是，“点斜率”又是一个十分重要的概念，我们非常希望得到它的值。
　　不难发现，只要让重合的点稍稍分离，变成两个点，无论离开多么小的距离，式（11）立刻就避免了分母为0的尴尬，并且有了确切的数值，即整条直线的斜率值。因此，我们不妨规定：
　　直线上任意一点的斜率等于整条直线的斜率。
　　比直线复杂一点的图形是圆。圆上任意两点间的部分叫做“圆弧”。
　　圆弧是一种特殊的曲线。已知一段圆弧，可以用简单的办法找到它的圆心和半径，并且可以作出其上任意一点的切线。详细步骤如图1所示。
　　图1中，A是圆弧上任意一点。用圆规以适当半径画孤，与圆弧交于B、C两个点，此时AB = AC。用圆规和直尺作线段AB、AC的垂直平分线p、q，两条平分线交于一点O，即为圆弧的圆心。圆心O到点A的连线OA即为圆弧的半径r。过A点做半径r的垂线s，即为A点的切线。

　　此时，圆弧、圆弧半径r、切线s共交于点A。按前面的分析，切线s的斜率可视为圆弧上任意一点A的“点斜率”。
　　直线和圆属于比较简单的几何图形，直线可以看作退化的圆弧。
　　从上面的分析可以看出，尽管直线、圆弧上任意一点的“点斜率”并不存在，但仍然可以通过人工定义的辅助办法，用平面几何的知识求出直线、圆弧上任意一点处“点斜率”的准确值。
　　然而，对于一段任意曲线来说，情况与圆弧有本质的不同。
　　任意曲线没有固定的圆心和半径，因此无法像圆弧那样作出曲线上一点的准确切线，当然就不能得到“点斜率”的准确值。
　　也就是说，用平面几何的知识，无法画出任意曲线上某点的切线。
　　我们注意到，尽管任意曲线上的点斜率不存在，但在这个点的附近，总是存在着微小的曲线段。由于曲线段的长度极其微小，可以近似地看作直线，而这些直线的斜率总是存在的。
　　于是，仿照直线上点斜率的处理办法，我们规定：
　　任意曲线上某点处的点斜率近似等于它附近微小直线段的斜率。
　　与直线不同的是，任意曲线上的斜率不是恒定的而是变化的。对于连续函数，它附近微小曲线段的斜率是单调变化的。
　　为了方便理解，我们用物理学中“瞬时速度”概念做一个简要说明。
　　某个质点做非匀速曲线运动，其空间位置s与时刻t的关系可以用函数s ＝ f (t) 来描述。求取两点间的“平均速度”时，至少需要2个点的数据：A（t1，s1）、B（t2，s2）：
　　                                                                                       （12）
　　当求取质点在某一时刻的“瞬时速度”时，两个点重合，公式（12）的分母等于0，表明“瞬时速度”的概念在逻辑上是非法的。
　　由于质点运动的连续性，点A（t，s）必定存在着相邻点B（t + dt，s + ds），两个点构成了一个微小的曲线段。又由于A、B距离非常近，因此这两点间的曲线可以近似地看作直线。我们可以近似地将两点间的“平均速度”代替一个点的“瞬时速度”。
　                                                                                                        　（13）
　　在式（13）中，用无限接近的2个点的数据代替1个点的数据，用“平均速度”冒充“瞬时速度”，只能是近似值而不可能是准确值，因此式中必须使用“约等号”而不是“等号”。
　　这样，我们就用相邻、近似的办法，使“点斜率”有了相对的合法性。
　　“点斜率”将微积分带入了数学。
　　但是，我们必须认识到，由于“点斜率”概念的天然缺陷，使得微积分方法仅仅是一种近似方法，而不是严格准确的理论。
　　也可以说，“近似”是微积分的本质和灵魂。
　　描述质点运动轨迹的数学式是“函数”。
　　函数可以分为“线性函数”与“非线性函数”两大类。
　　线性函数的斜率是常量。例如y ＝ 2x + 3，其斜率处处等于2，是一个线性函数，任何一个点处的斜率与整个直线的斜率相同。
　　在直角坐标系中，与a、b两个点对应的线性函数值分别是f (a)、f (b)。如图2左侧所示，a-b-f (a)-f (b) 这4个点组成一个梯形，其面积S1可以用初等数学中的梯形面积公式准确求出，没有必要使用微积分。
　　                                                                      （14）
　　非线性函数的斜率是变量。如y ＝ x2、y ＝ sin x等等，这些函数中的y和x不是线性关系，任意一点处的斜率都在变化。
　　在直角坐标系中，x轴上a、b两个点，与这两个点对应的是非线性函数值f (a)、f (b)。如图2右侧所示，a-b-f (a)-f (b) 这4个点组成一个曲边梯形，其面积S2无法用初等数学方法求出，必须借助于积分方法求得近似结果。
　　                                                                                             （15）
　　初等数学可以处理由直线和圆围成的简单图形的面积，得到准确值；
　　高等数学可以处理由函数曲线围成的复杂图形的面积，得到近似值。
　　这是初等数学与高等数学之间最重要的差别。有关微积分的一切后续知识，如曲线长度、曲面面积、曲面体体积、弧长、功、微分方程、函数的分解等等，都从这里发源。理解了这一点，就抓住了微积分的本质。

　　线性函数的求面积问题，初等数学已经足够应对。
　　非线性函数求面积之类的问题，必须使用微积分近似处理。