cosine 联立方程的问题

promach

谁能解以下的联立方程并获得 k=2sin(B/2) ?

cos(AB)-cos[(A-1)B]+k=0

B=π(2k-1)/(2A-1)

malingxiao1984

移项并利用和差化积公式得
k=cos[(A-1)B]-cos(AB)=-2sin{[(A-1)B+AB]/2}sin{[(A-1)B-AB]/2}
  =2sin(B/2)sin(AB-B/2)

而  AB-B/2=A(2k-1)π/(2A-1)-(2k-1)π/2(2A-1)=[2A(2k-1)-(2k-1)]π/2(2A-1)=(2k-1)(2A-1)π/2(2A-1)=(2k-1)π/2=kπ-π/2

所以k=2sin(B/2)sin(AB-B/2)=2sin(B/2)sin(kπ-π/2)=-2sin(B/2)cos(kπ)

所以   -2≤k≤2，如果k是整数可以分k=0，±1，±2几种情况去讨论，|k|=2sin(B/2)，但是符号肯定与k的奇偶性有关，

B的值或者A的值都可以由此求出，然后代回原方程检验一下，看看是否符合原方程。

比如令k=1，可以解得B=2π/3，A=5/4，当然这个例子里我取了0≤B/2≤π/2，可以自己再考虑一下其它可能取值

或者k=0时，就不能取B=0，会造成A无解，可以取B=2π，A=1/4