一个五位数，其中有且仅有三个在{0,1,2,3}中的数字（可重复），这样的五位数有几个？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

题  一个五位数，其中有且仅有三个在 {0,1,2,3} 中的数字（可重复），这样的五位数有几个？

解  暂时先不考虑五位数的万位数不允许是 0 的限制。

    在五位中任选三个位置，作为放在 {0,1,2,3} 中数字的位置，有 C(5,3) 种选法。在这三

个位置上，每一个位置都可以选放 {0.1.2,3} 这 4 个数字中的一个，有 4^3 种选法。其余两

个位置，每一个位置都可以选放 {4,5,6,7,8,9} 这 6 个数字中的一个，有 6^2 种选法。

   所以，在允许万位数为 0 的情况下，符合本题条件的五位数的总数为

               C(5,3)×4^3×6^2 = 10×64×36 = 23040 。

   下面考虑万位数为 0 的五位数。

   万位数给定一个 0 。在后面四位中任选两个位置，作为放在 {0,1,2,3} 中数字的位置，有

C(4,2) 种选法。在这两个位置上，每一个位置都可以选放 {0.1.2,3} 这 4 个数字中的一个，

有 4^2 种选法。其余两个位置，每一个位置都可以选放 {4,5,6,7,8,9} 这 6 个数字中的一个，

有 6^2 种选法。

   所以，万位数为 0 的符合本题条件的五位数的总数为

             C(4,3)×4^2×6^2 = 4×16×36 = 2304 。

   由此可见，万位数不为 0 的符合本题条件的五位数的总数为

            23040 - 2304 = 20736 。