旁心三角形的三心关系

ccmmjj · 发表于 2018-9-25 18:19

继续唠嗑旁心三角形。
如图；三角形ＡＢＣ的内心是Ｉ，旁心三角形是ＤＥＦ，点Ｏ’是旁心三角形的外心。
求证：ＩＯ’的中点Ｏ是三角形ＡＢＣ的外心。

风花飘飘 · 发表于 2018-9-25 23:16

Ｏ’——>Ｏ——>I ，外外得内，对应算术的负负得正。呵呵，跟您那道作图题有牵连吧。
结论没问题，关键从哪下手呢？

风花飘飘 · 发表于 2018-9-26 01:44

本帖最后由风花飘飘于 2018-9-26 01:50 编辑

果然没有脱离直觉，几何问题有时老来直觉是为什么？
以绿圆半径为直径的红圆玩儿飘移，，，
（证法还没找到啊。。）

U、V、W是 I 到绿圆线段的中点。

denglongshan · 发表于 2018-9-26 13:00

本帖最后由 luyuanhong 于 2018-9-26 15:38 编辑

下面证明把DEF三点重命名为IaIbIc,假设DEF分别是三边对应切点，内切圆心与原点重合，并且是单位圆

denglongshan · 发表于 2018-9-26 22:53

内心换成旁心结论同样成立，其实内心与旁心没有本质区别。

Ysu2008 · 发表于 2018-9-27 01:21

denglongshan 发表于 2018-9-26 13:00
下面证明把DEF三点重命名为IaIbIc,假设DEF分别是三边对应切点，内切圆心与原点重合，并且是单位圆

计算机证明？

风花飘飘 · 发表于 2018-9-27 07:42

本帖最后由风花飘飘于 2018-9-28 08:11 编辑

感谢CCMMJJ老弟给我提供了再次领略几何演绎之美的机缘！
这道题实在是漂亮！

【真相已经搞清楚】：
1、三角形ABC的外接圆就是其旁心三角形DEF的九点圆（欧拉圆）。
2、Ｏ’——Ｏ——I 就是旁心三角形DEF的四心欧拉线。
3、【定义】三角形ABC的旁心为D、E、F，则旁心三角形DEF的外接圆
称为三角形ABC的旁心圆。
旁心圆的半径R是三角形ABC的外接圆半径r的2倍，即 R=2r。
（百度上找不到旁心圆的定义，故【定义】之。）

ccmmjj · 发表于 2018-9-27 12:07

大部分讲欧拉线的文章都只谈到重心分垂心和外心的比，我这个帖子将谈到九点圆心分它们的比。而且根据R=2r的结论，可以推知两圆是以Ｉ点为位似中心比为２的位似变换。
有个问题想问风花兄，你图上画出不少平行四边形，不知怎么来的？

denglongshan · 发表于 2018-9-27 23:05

旁心三角形的垂心也是三角形ABC的内心。

风花飘飘 · 发表于 2018-9-28 05:48

ccmmjj 发表于 2018-9-27 12:07
大部分讲欧拉线的文章都只谈到重心分垂心和外心的比，我这个帖子将谈到九点圆心分它们的比。而且根据R=2r的 ...

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