试证明：在任何 q 进制（q＞1）计数法中，有理数的小数数字从某一位开始是循环出现的

luyuanhong

题  试证明：在任何 q 进制（q＞1）计数法中，有理数的小数数字从某一位开始是循环出现的。

证  在任何 q 进制（q＞1）计数法中，一个有理数 m/n 要化为小数形式，总可以用竖式除法。

    在竖式除法运算中，每一步都会有一个除法的余数。余数只可能是 0,1,2,…,n-1 中的一个。

    如果余数是 0 ，说明到这一位已经除尽，从这一位开始，后面的小数数字都是 0 ，也就是

说，从这一位开始，小数数字循环出现 0 。

    如果余数中始终不出现 0 ，说明 m/n 不能除尽。这时余数只可能是 1,2,…,n-1 中的一个，

所以竖式除法最多做 n-1 步以后，必定会出现与前面已经出现过的相同的余数，竖式除法再做

下去，与前面相同的余数会继续重复出现。因此，从这一位开始，小数数字会出现循环。