对雷明和张彧典两人的构形集的分析

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对雷明和张彧典两人的构形集的分析
雷  明
（二○一八年十一月五日）

坎泊已经证明过的用对角链交换是可约的K—构形在这时就不再说了，只说坎泊还没有证明的用邻角链交换可变成K—构形的H—构形。现在仍是BAB型构形为例进行说明。
雷明先生把H—构形分为三类，如图1。

图1，a有经过5—轮的1B，2A和3B三个轮沿顶点的环形A—B链的构形，是第一类。解决该类构形时是交换该环内、外的一条经过5—轮的4D和5C两个轮沿顶点的C—D链，图中连通且交叉的A—C链和A—D链就变得不再连通，使构形转化为K—构形而得解；图1，b有经过5—轮的4D和5C两个轮沿顶点的环形C—D链的构形，是第二类。解决该类构形时是交换该环内、外的一条经过5—轮的1B，2A和3B三个轮沿顶点的A—B链，图中连通且交叉的A—C链和A—D链也就变得不再连通，使构形也转化为K—构形而得解；第三类是没有任何环形链的构形，解决这一类构形时是交换任一条经过5—轮轮沿顶点1B的B—D链，或交换经过5—轮轮沿顶点3B的B—C链，使构形直接转化为K—构形，者或先转化成上面的第二种H—构形，再转化为K—构形而得解。
张彧典先生由把H—构形分为两个大类，一类是十折对称的，一类是非十折对称的。解决十折对称的构形时，用的是他的Z—换色程序；解决非十折对称构形时则用他的连续颠倒法。
首先看一看张先生的十折对称的米勒图的四姐妹图，如图2。

图2，a就是米勒图原图，图中有经过5—轮的1B，2A和3B三个轮沿顶点的A—B环形链，用张先生的Z—换色程序则是交换A—B环外的经过4C和5D的C—D链，构形就变成为K—构形；图2，b就是米勒图进行了一次颠倒后的图，只是把原来的DCD型的构形转化成了BAB型的构形了，原来图中的环形链是经过5—轮的两个轮沿顶点的A—B链，交换的是C—D链，而现在图中的环形链则是经过了5—轮的两个轮沿顶点的C—D链，交换的却是A—B链；图2，c就是米勒图进行了两次颠倒后的图，也只是把原来的ABA型的构形转化成了BAB型的构形了，原来图中的环形链是经过5—轮的三个轮沿顶点的A—B链，交换的是C—D链，而现在图中的环形链仍是经过了5—轮的三个轮沿顶点的A—B链，交换的仍是C—D链；图2，d就是米勒图进行了三次颠倒后的图，只是把原来的CDC型的构形转化成了BAB型的构形了，原来图中的环形链是经过5—轮的两个轮沿顶点的A—B链，交换的是C—D链，而现在图中的环形链则是经过了5—轮的两个轮沿顶点的C—D链，交换的却是A—B链。
再看看张先生对非十折对称构形的解决方法——连续颠倒法。在这一颠倒法的对象中，有可以通过两次对角链交换，连续的移去两个同色B的K—构形，也有上面说的雷明先生分类中的第一类H—构形、第二类H—构形和第三类H—构形。张先生认为最多颠倒十六次，所有的这种非十折对称的构形都可以解决问题的。
既然十折对称构形中的有A—B环形链的构形可以通过交换邻角链C—D进行解决，有C—D环形链的构形可以通过交换邻角链A—B进行解决，为什么不把这一方法也用来解决非十折对称构形中同样有A—B环形链的构形和有C—D环形链的构形呢，实践的确已证明了用同样的方法是可以解决的非十折对称构形中同样有A—B环形链和有C—D环形链的构形的。把非十折对称构形中的可以通过两次对角链交换，连续的移去两个同色B的K—构形，仍按K—构形对对待。非十折对称构形中所剩的一种无任何环形链的构形，就只能用转形交换（即张先生的颠倒法）进行处理了，但只要交换一次，就可以使构形的类型得到变化，而不需要连续的多次交换。但这种交换的结果有两个，一是得到一个可以连续的移去两个同色的K—构形，问题就得到了解决；一是得到一个有经过了5—轮两个轮沿顶点的环形链的H—构形，这就是上面说的协明先生的第二类H—构形。然而这种构形已有现成的解决办法，即交换与环形链是相反色链的经过5—轮三个轮沿顶点的色链，问题也就可以得到解决。但张先生总是不能及时的解决问题，以致最后多达十六次颠倒。随便拿一个张先生认为是非十折对称的构形（如张先生认为需要七次颠倒的构形（如图3）），都可以看出这一问题。

图3，a进行一次颠倒后，得到图3，b，仍是一个H—构形，但二次颠倒后，得到的图3，c却是一个可以连续的移去两个同色A的K—构形。对图3，c再颠倒一次后，得到图3，d，对图3，d再从顶点4进行一次对角链A—D的交换，就可以连续的移去两个同色D。可是，张先生不这样做，而是对图3，d继结的进行颠倒，一直进行了七次颠倒，才空出了颜色来。

从图3，a中还可以看出，这个图仍是一个有经过5—轮的1B，2A和3B三个轮沿顶点的环形的A—B链的一类构形，可以直接交换A—B环形链外的过5—轮的4D和5C两个轮沿顶点的C—D链，直接就可使构形变成峰点仍是顶点2A的K—构形（如图4）。这多么方便呢，张先生，你为什么要进行七次以上的颠倒呢？
    只所以这个构形颠倒一次后不能直接得到K—构形，或者雷明先生的第二类H—构形，就是因为该构形本来是雷明先生的第一类构形，而张先生却没有按解决该类构形的单独办法去交换，而是施行了颠倒法，所以也就得不到应该得到的结果，而得到的仍是雷明先生的第三类H—构形，也即是张先生所说的非十折对称的构形。这一现象说明了，不按事物的发展规律去办事，一定不会得到应得的结果。最后虽也能取得成功，但要费时，费事，费人，费物。
够了，一个例子就够了。张先生的五十多个非十折对称的构形中，几乎都存在着这种情况。若不信，请张先生随便给出你的一个构形来，我给你做一做。而且张先生只是在一个米勒图的基础上，改变了其中的四色四边形的对角线，而得出的这五十多个非十折对称的构形，是否还有别的非十折对称的构形呢，张先生却并没有进行证明。
可以不可以把张先生的十折对称构形中的有A—B环和有C—D环的两类，与非十折对称构形中的有A—B环与有C—D环的构形分别合并起来，这是因为解决时，都是用的邻角链的断链交换（也即张先生的Z—换色程序），直接使构形由H—构形变成了K—构形，但构形峰点并不发生变化；而把非十折对称构形中的无任何环形链的构形单独列为一类，因为解决这种构形时，一定都要用到也是邻角链的转型交换（也即张先生的颠倒），并且也只要颠倒一次，即可使构形变成峰点变化了的可以连续的移去两个同色的K—构形，或者使构形变成属于上面所说的有经过5—轮两个轮沿顶点的环形链、并属于雷明先生的第二类H—构形。
交换，颠倒，实质上都是相同的概念，只是叫法不同而已。是同样的概念，不在于叫什么名称，而在于它们的实质是否相同。张先生的Z—换色程序，实际上也是邻角链的交换；张先生的颠倒，其实质也是邻角链的交换。所以说，解决H—构形的着色问题，用的都是邻角链的交换。而解决K—构形的着色问题，用的却都是对角链的交换。解决可以连续的移去两个同色的构形，用的是两次对角链的交换，所以可以连续的移去两个同色B的构形是属于K—构形。
对构形分类的原则应是：每类构形应该有自已的结构特点，并且有自已的独特的解决办法。不能混合使用。雷明先生的构形集中，各类构形就具有这种明显的特点。而张先生的构形集中则存在着混用的情况。在十折对称构形类中已存在含有A—B环形链和C—D环形链的两种类型的构形，他并没有证明在非十折对称的构形类中就不可能再出现含有A—B环形链和C—D环形链的构形。然而这一情况也是必然会出现的，我们在上面的图4中所举的例子就充分的说明了这一点。而对于同样都是含有A—B环形链和C—D环形链的构形，解决的办法却各不相同。在十折对称的构形类中采用的是Z—换色程序，而在非十折对称的构形类中却采用的是连续的颠倒法。一致同样的一个构形，本来两次交换就可以解决问题，却变成了必须七次交换才能解决了（上面的图3和图4的比较就是一例），甚至高大十六次交换。而且，是否最大的颠倒次数就是16呢，张先生仅用对一个米勒图中的四色四边形的对角线的改变所得到的构形去证明，恐怕还不能令人满意。

雷  明
二○一八年十一月五日于长安

注：此图已于二○一八年十一月五日在《中国博士网》上发表过，网址是：