请教一个n个圆的覆盖面积的期望值问题

tuzkee

一个X×Y的矩形区域内有N个随机分布的圆，每个圆的半径为R。圆心在矩形区域均匀分布。
求这些圆覆盖面积的期望值。

warboy

我也想知道，大家谁解答一下哈！！！！！！！

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/02/14 02:33pm 第 1 次编辑]

    这个问题是非常复杂困难的，原因在于：当圆心位置靠近矩形的边界时，圆面有一部分落在矩形内，有一部分落在矩形外，
所以，想要精确计算圆在矩形内覆盖的面积大小，是一件极其复杂困难的事情。
    但是，如果矩形非常大，圆的半径非常小，那么，圆面有一部分落在矩形外的概率就会变得非常小，小到几乎可以忽略不计，
在这种情况下，此题就可以近似求解如下：

warboy

但我在实际中要求的恰恰是x，y很小而圆的半径很大，也就是说所有圆覆盖面积的一部分都超出了矩形。矩形实际上只是确定了圆心分布的一个范围。

warboy

计算虚线圆形总的覆盖面积，其中小圆圈表示圆心，圆心均在矩形范围内。

warboy

当圆心随机均匀分布式，计算总的圆面积的数学期望

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/02/14 02:34pm 第 1 次编辑]

在 warboy 遇到的问题中，要求的被圆覆盖的面积，既包括在矩形内的面积，也包括在矩形外的面积。
在这种情况下，问题还是容易求解的，我的解法如下：

warboy

问题补充：
假设存在一个圆C半径为R，有k个以圆心在R中以r(r<=R)为半径的小圆存在，计算这些这些小圆对圆C之外区域的的覆盖率。

warboy

[这个贴子最后由warboy在 2010/01/10 08:13pm 第 1 次编辑]

我有一个思路，但不知对不对。请老师指教：

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/02/14 02:36pm 第 2 次编辑]

楼上推导的公式，如果是正确的话，那么还可以用二项展开式化简。
但是，这个公式，其实是不对的：