设 a,b,c 为正实数，a+b+c=1 ，求 √(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2) 的最小值

luyuanhong

这是台湾网友 winnie 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

llshs好石

2^(1/2)

luyuanhong

llshs好石

luyuanhong 发表于 2018-11-27 17:22

直接 (a^2+b^2)^(1/2)≥(2ab)^(1/2)    (当且仅当a=b时取等号)
       (b^2+c^2)^(1/2)≥(2bc)^(1/2)    (当且仅当b=c时取等号)   
       (c^2+a^2)^(1/2)≥(2ca)^(1/2)     (当且仅当c=a时取等号)
三式相加即得

波斯猫猫

设 a,b,c 为正实数，a+b+c=1 ，求 √(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2) 的最小值
另法提示：√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)≥(2ab)^(1/2)+(2bc)^(1/2+(2ca)^(1/2)
               ≥√2×3（abc）^(1/3)     (当且仅当a=b=c=1/3时等号成立)
               =√2.