六论华罗庚的《从杨辉三角谈起》 ——杨辉首创垛积术 倪则均，2015年4月1日。

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在长达一个半世纪的宋金南北对峙时期，杨辉是南宋数学的领军人物。在宋元中国数学的第三个巅峰时期，杨辉是这个最光辉时代数学的代表人物。在几千年我国的古代数学史上，杨辉是少见的一个全才型人物。然而，华罗庚在他的《从杨辉三角谈起》里，对于杨辉的数学贡献，根本没有作什么深入地介绍，这样能激发起学生们专研中国数学的热情吗？
1，中国数学的全才。
杨辉字谦光，浙江杭州人。杨辉约生于宋理宗嘉熙二年（1238年），约终于元成宗大德二年（1298年）。张红的《数学简史》，仅根据陈几先的：“钱塘杨辉以廉饬己，以儒饰吏，吐胸中之灵机，续前贤之奥旨。……”就说杨辉曾做过地方官，这是不对的，因为吏只是一种没有品级的小公务人员而已。杨辉为了推广他的数学成果，以及广泛汲取民间的数学营养，他的足迹可谓是遍及江浙一带，他在苏州和杭州等地经常设馆收徒教授数学。
应该是为了教育的需要，杨辉从1261年到1275年的15年中，先后完成了5种21卷数学著作，它们是《详解九章算法》12卷、《日用算法》2卷、《乘除通变本末》3卷、《田亩比类乘除捷法》2卷、《续古摘奇算法》2卷，后三种又合称为《杨辉算法》。这些数学著作的显著特点是深入浅出，图文并茂，多有创新。因此，杨辉对于中国数学的贡献，不管是从其深度上来讲，还是从其广度上来说，似乎没有谁可以与之相比拟。
根据杨辉自己所写的序言可知，《详解九章算术》乃取魏刘微注、唐李淳风等注释、北宋贾宪细草的《九章算术》中的80问，所作的详解。此书在《九章算术》9卷的基础上，又增加了以下3卷：一卷是图，一卷是讲乘除算法的，居九章之前；一卷是纂类，居书末。《详解九章算法》现传本已非全帙，编排也有错乱。今卷首图、卷l乘除，卷2方田、卷3粟米、卷4衰分的衰分、反衰诸题、卷6商功的诸同功问题已佚。卷4衰分下半卷、卷5少广存《永乐大典》残卷中，其余存《宜稼堂丛书》中。
从残本的体例看，该书对《九章算术》的详解可分为：一、解题。内容为解释名词术语、题目含义、文字校勘以及对题目的评论等方面。二、明法、草。在编排上，杨辉采用大字将贾宪的法、草与自己的详解明确区分出来。三、比类。选取与《九章算术》中题目算法相同或类似的问题作对照分析。四、续释注。在前人基础上，对《九章算术》中的80问进一步作注释。杨辉的“纂类”，突破《九章算术》的分类格局，按照解法的性质，重新分为乘除、分率、合率、互换、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股九类。
2，算理算法的祖师。
《日用算法》原书失传，仅有几个题目留传下来。从《算法杂录》所引杨辉自序可知该书内容梗概：“以乘除加减为法，秤斗尺田为问，编诗括十三首，立图草六十六问。用法必载源流，命题须责实有，分上下卷。”该书无疑是一本通俗的实用算书。《田亩比类乘除捷法》，其上卷内容是《详解九章算法》方田章的延展，所选例子非常贴近实际。下卷主要是对刘益工作的引述，征引了《议古根源》22个问题，主要是二次方程和四次方程的解法。
《乘除通变本末》的上卷叫做《算法通变本末》，这是全世界最早的一份数学教学大纲——“习算纲目”，具有非比一般的重要意义。中卷叫做《乘除通变算宝》，论以加减代乘除、求一、九归诸术。杨辉在此卷创立了“九归”口诀，介绍了筹算乘除的各种速算方法，这些在中国数学史上，都占有重要的地位。例如，杨辉在前人的基础上，他提出了“相乘六法”：一曰“单因”，即乘数为一位数的乘法；二曰“重因“，即乘数可分解为两个一位数的乘积的乘法；三曰“身前因”，即乘数末位为一的两位数乘法，比如257×21＝257×20十257，实际上，身前因就是通过乘法分配律将多位数乘法化为一位数乘法和加法来完成。四曰相乘，即通常的乘法；五曰“重乘”，就是乘数可分解为两因数的积，作两次相乘；六曰“损乘”，是一种以减代乘法，比如，当乘数为9、8、7时，可以10倍被乘数中，减去被乘数的—、二、三倍。下卷叫做《法算取用本末》，是对中卷的注解。
杨辉在他的《续古摘奇算法》上卷中，制作了13幅纵横图，其中有10幅是两两同阶的阴图和阳图，并且还具体给出了三阶和四阶纵横图的构造方法。明代的王文素和程大位，清代的方中通、张潮及保其寿，尽管他们对于纵横图也都有研究，然而他们谁也搞不清楚，杨辉的阴图和阳图到底有何区别。为此，我专门写了一篇名为“探究杨辉纵横图的算理算法”的文章，系统的论述了杨辉的纵横图问题。由此，我又写出了“传统纵横图里的奇偶阶问题”、“规则纵横图的构建原理介绍”、“高次纵横图与自然数等幂和”等一系列更为深入的文章。
杨辉在他的《续古摘奇算法》下卷中，也讨论了“孙子定理”的问题。杨辉将“孙子定理”之类的问题称为“秦王暗点兵”，显然他认为孙武的“物不知数”问题，犹如古代领军统帅的“排兵布阵”，解决这类问题，难如攻城破阵。如果误入“死门”，必定全军覆灭，只有从“生门”发起攻击，才有取得胜利的希望。任何一个数学问题，都可以从多个不同的角度去予以认识，当你感到“山穷水尽疑无路”的时候，只要换一个角度去重新思考，一定可以看到“柳暗花明又一村”的美景。
3，杨辉的恒等关系。
杨辉在他的《详解九章算法》的商功章，给出了以下三个垛积公式：
三角垛——1+3+6+…+n（n+1）/2= n（n+1）（n+2）/6；
四隅垛——12+22+32+…+n2= n（n+1）（n+1/2）/3；
方垛垛——a2+（a+1）2+（a+2）2+…+（b-1）2+b2=h[a2+b2+ab+（b-a）/2]/3，其中a、b为上、下方，h为高。
张红的《数学简史》上说杨辉的垛积术，是在沈括隙积术的基础上发展起来的。上面的三个垛积公式，是杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系之后，由多面体体积公式所推导出来的。我则认为上面的三个垛积公式，是杨辉为了验证沈括罂积公式，所创造出的一种崭新的算理算法。如果说四隅垛和方垛垛的公式，还可以根据多面体体积公式，运用出入相补方法予以推导，然而三角垛的公式，似乎是不能根据多面体体积公式，也运用出入相补方法可以推导出来的。
由于卷6商功的诸同功问题已佚，现在我们已经无法知道，杨辉得到上面三个垛积公式的确切方法。华罗庚应该是根据在《详解九章算法》，和《算法通变本末》中记叙了若干二阶等差级数求和公式，而认为杨辉一定已经掌握了，“易卦三角”的斜向变化规律。所以华罗庚的《从杨辉三角谈起》，从一开始就已经开门见山的指出，如果将“易卦三角”的n+1行的通项数列表示为：0Cn，1Cn，2Cn，……，Cn，……，n-2Cn，n-1Cn，n-0Cn。
则有杨辉恒等式：r-1Cn-1+rCn-1=rCn，其中r=1，2，…，n。根据这个杨辉恒等式，就不难推出“易卦三角”的斜列之和公式为：rCr+rCr+1+rCr+2+…+rCn-1=r+1Cn，其中n＞r。华罗庚的看法应该说基本上还是对的，然而他对于杨辉恒等式的证明，似乎有些不太好懂，显得有点玄。其实，对于组合问题来说，我们也是可以通过多种不同的角度，去予以认识的。我们不仅可以从《周易》的卦符变化规律，去认识组合问题，还可以从排列的角度，二项式的角度，合数环的角度去认识组合问题。
我总觉得只有从合数环的角度去认识组合问题，才能使问题变得最为清晰明了。对于Hm合数环来说，如果m=p1p2…pn-1为n-1个不同素数的乘积，那么这个合数环里的因子数集合为Dm=（1，p1）（1，p2）…（1，pn-1），这是各个素数域因子数的笛卡尔乘积。其中的0阶因子数为1，其数量为0Cn-1，1阶因子数为p1，p2，…，pn-1，其数量为1Cn-1，……，n-1阶因子数为p1p2…pn-1，其数量为n-1Cn-1。显然，对于Hmpn合数环来说，其中的r阶因子数，应该是由Hm合数环的r阶因子数，和其r-1阶因子数与pn的乘积所共同组成，因此它们的数量关系为：r-1Cn-1+rCn-1=rCn。
我一直认为“易卦三角”是我们中国数学发展一条主线，我国杨辉之前的数学家们，可谓是只是在“易卦三角”的横向下足了工夫，应该说完全是杨辉首先开创了，对于“易卦三角”的斜向研究。我国宋元以后的数学，尽管已经开始走向衰落，但是由杨辉所开创的垛积术，经朱世杰、汪莱、董祐诚、李善兰，直到华罗庚，绵延上千年的不断发展，形成了一道极为独特的壮丽奇观。

lusishun

大家就重点研究，当q  为任意大的合数时，3/7*10/18*4/2*6/4*8/6*9/7*10/8*12/10*14/12*15/13*16/14*******q  /(q  -2)的值是无穷大,对吗？

一览众山小

求(a+b)^n展开式的系数，比如求n=101的系数，杨辉的算法是从n=2的展开式算起，一步一步推算到n=101才能求出系数，而用英国数学家牛顿的算法直接就能求出n=101的系数，由此看来西方人比东方人的智慧技高一筹，不服不行。