趣味几何－又见等边三角形

ccmmjj

如图：过三角形ABC顶点在内作三线AD、BE、CF它们依次交于D、E、F。满足AF＝BD＝CE
（1）如果三角形DEF是正三角形，那么三角形ABC也是正三角形。这是简单的初中几何证明题。
但（2）如果三角形ABC是正三角形，那么三角形DEF也是正三角形。那就要考验智慧了。

常量

非几何证明，分两步：第一步，证明三角形DEF是唯一的；第二步，证明这个唯一的三角形就是正三角形。

ccmmjj

只要能证出来都算数。呵呵。

常量

分别以AF＝BD＝CE为半径作圆A、圆B、圆C
第一步，显然F只能在三角形ABC内的圆A的圆弧F0F1上。（D、E类似，下略）
第二步，令F2为线段AD1与圆A交点，则F只能在圆弧F1F2上。
……
经过n步后，F只能在圆弧Fn-1Fn上。
每一步从Fi-1Fi到FiFi+1收缩极快，呈等比数列趋势收缩，因其公比显然大于F0C/E1C > 1，因此，经过无限多步后，Fn收敛于F
同理，Dn收敛于D，En收敛于E
因此三角形FDE唯一。

常量

太晚了，下次证明FDE是正三角形

常量

现证明三角形FDE是正三角形。
（反证法）假定三角形FDE不是正三角形。
则旋转三角形ABC，使A在B位，B在C位，C在A位
因FDE不是正三角形，则旋转后F、D、E三点至少有两点不重合，这与三角形FDE唯一相矛盾。
因此原假定不成立。

注：１、本证明无法作出三角形FDE，只能近似作图；
　　2、非正三角形ABC或者AF、BD、CE不相等时都唯一确定三角形FDE，但FDE又跟ABC什么关系呢？

ccmmjj

这个“证明”有想法，但不对。

常量

是不严谨，说的太轻巧了，过程模糊。

常量

增加作图题：过三角形ABC顶点分别向内作三线AD、BE、CF满足AF＝BD＝CE为定长，它们依次交于D、E、F，且三角形DEF为正三角形。

常量

过正三角形ABC顶点分别向内作三线AD、BE、CF满足AF＝BD＝CE为定长，它们依次交于D、E、F，且三角形DEF为正三角形。