数学中国

标题: 素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论 [打印本页]

作者: 愚工688 时间: 2018-12-6 14:05
标题: 素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论
素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论

通常素数的出现概率有二种表示方法：

一. 依据素数定理：
在x→∞时，x之内的素数数量有
π(x)=x/lnx ；（式1）

把（式1）的两边除以x,
  就是π(x)/x=1/lnx;  (式2）
式2的左边就是素数实际发生率；右边就是依据素数定理得出的素数理论发生率；

根据素数定理，x→∞时，π(x)→∞，这是实际能够观察到的现象。
但是，依据素数定理，能否得出素数发生率 1/lnx趋向无穷小吗？

《数论导引》（华罗庚编著）93页定理：x→∞时 π（X)/x →0；
也就是说：x→∞时  1/lnx→0；

可是实际上 x与lnx是完全不同类型的两类数，怎么能把x→∞时1/x→0的极限硬搬到1/lnx上面，轻易得出在x→∞时1/lnx→0 的结论？

x值与lnx的对比：

当x取10^n的指数形式时，由换底公式，lnx=lgx/lge，
即 1/lnx=lge/n ≈0.4342944819/n

因此有：

1/lnx=0.1；n≈4.342944819；lnx/x ≈1/10^3.342944819;
1/lnx=0.01；n≈43.42944819 ；lnx/x ≈1/10^41.42944819；
1/lnx=0.001；n≈434.2944819 ；lnx/x ≈1/10^431.2944819；
1/lnx=0.0001；n≈4342.944819 ；lnx/x ≈1/10^4338.944819；
……
试问：
当x→∞时，lnx在x中的比率急剧减小→0的情况下，在lnx/π(X)也快速趋于零的情况下，怎么能够说lnx随x趋向无穷大？而素数出现率π(X)/x的比值为零？
因此只能说在x→∞时lnx的增大是有限且缓慢的，是不可能趋向无穷大的，也就是1/lnx是不可能趋向无穷小。

而从教科书上对于无穷小量的阶的概念做确切的叙述：（摘自《高等数学》教材28页，书号：13012.096）
设u,v是两个无穷小量，即lim u=0,lim v=0,
(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);
(2)若 lim u/v =∞ ,这说明分母v趋于0的速度比分子u趋于0的速度要快得多，则称为u为比v低价的无穷小量；
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
(4)若 lim u/v =1 ,这说明分子u与分母v趋于0的速度一样，则称为u与v 是等阶的无穷小量，记作u～v。

由于素数出现率π(x)/x实际上就是两个无穷小量的比较：
x→∞时，有 lim 1/x→0；  lim 1/π(x)→0 ；
那么这两个无穷小量的比较是怎么样的呢？
引入一个已知的无穷小量 1/√x ，大家知道1/x 是比1/√x 高阶的无穷小量,(1/x)/(1/√x)=√x/x = 1/√x →0 .
那么1/π(x)的阶与它们比较是怎么样的？
考察一下x→∞的过程中，[1/π(x)] /(1/√x)、 (1/√x)以及π(x)/x 的值变化：

x=10^2, π(10^2)=25;       √x/π(x) = 0.4 ;    (1/√x)=0.1；  π(x)/x = .25 ;
x=10^4,π(10^4)=1229;    √x/π(x) ≈0.08137 ;  (1/√x)=1e-2； π(x)/x = .1229;
x=10^8,π(10^8)=5761455, √x/π(x) ≈0.001736 ; (1/√x)=1e-4； π(x)/x ≈ .0576146;
x=10^10,π(10^10)=455052511 √x/π(x) ≈0.0002198; (1/√x)=1e-5； π(x)/x ≈ .0455053; (0.789822)——1e10与1e8 素数出现率比；
x=10^12,π(10^12)=3760……；√x/π(x) ≈2.659e-5 ; (1/√x)=1e-6； π(x)/x ≈ .0376079; (0.826451)——1e12与1e10素数出现率比；
x=10^14,π(10^14)=3204……；√x/π(x) ≈3.1202e-6; (1/√x)=1e-7； π(x)/x ≈ .0320494; (0.852199)——1e14与1e12素数出现率比；
x=10^16,π(10^16)=2792……；√x/π(x) ≈3.58e-7 ;  (1/√x)=1e-8； π(x)/x ≈ .0279238; (0.871274)——1e16与1e14素数出现率比；
x=10^18,π(10^18)=2473……；√x/π(x) ≈4.042e-8 ; (1/√x)=1e-9； π(x)/x ≈ .02473995;(0.885981)——1e18与1e16素数出现率比；
x=10^20,π(10^20)=2220……；√x/π(x) ≈4.503e-9 ; (1/√x)=1e-10；π(x)/x ≈ .0222082; (0.897665 ——1e20与1e18素数出现率比；
x=10^22,π(10^22)=2014……；√x/π(x) ≈4.964e-10; (1/√x)=1e-11；π(x)/x ≈ .0201467; (0.907174)——1e22与1e20素数出现率比；

从实验比较的数据显示：
1，∵ x→∞时 lim √x/π(x)比值很快的趋小,趋近于0 ；
   ∴1/π(x) 是比1/√x高价的无穷小.

2，因为 1/x与1/π(x)都是比1/√x 高价的无穷小量，且 π(x)/x ≠ 1，故1/x与1/π(x)是同阶无穷小量。
   依据 α(x)与β(x)是同阶无穷小量的比较定理，得出
   x→∞时 lim π(x)/x = C ≠0 ，即具有一个不为0的常数值。

3，随数 x=10^n 的n值的一步步增大，素数出现率的下降速率呈现越来越慢，10^(n+2)与10^n内的素数出现率之比逐渐趋近1的趋势是很明显的，其必然会逐渐达到0.99、0.999、0.9999、……，其时素数出现率π(x)/x 的极限必将趋于一个不为0的常数。

由此可见：“x→∞时 π(x)/x →0” 的结论与教科书上对于无穷小量比较的法则呈现矛盾。

二，素数出现率的另外一种表示方法

  由自然数x中不能被≤√x 的全部素数p整除的数得出的数位素数，可以得出素数出现率
p(x)=π(1-1/p）;-------（式3）
式中： 2≤p≤√x ，π表示随数x变化时括号内素数p值的连乘。

  这里的素数出现率 π(1-1/p）是一个近似数值，其与实际的素数出现率π(x)/x 存在一定的小偏差。这里忽略偏差问题，仅仅讨论概率方式得出的素数出现率 π(1-1/p）的极限问题。
那么当 x→∞时，p→∞,此时 lim π(1-1/p）→？又将如何呢？
  我们同样依据两个无穷小量的阶的概念，来分析π(1-1/p）的极限：

  π(1-1/p）=π[(p-1)/p] =π(p-1)／π(p)；
  在x→∞时，有 p→∞.
  因此有 π(p-1)→∞与π(p）→∞ ,
  它们的倒数 π[1/(p-1)]→0 、π[1/(p)]→0 则是两个无穷小量。
  因此 π[1/(p)]/π[1/(p-1)] 的比值的极限，取决于两个无穷小量相互间阶的高低，也就是它们趋向于0的速度比较。

  现在我们再来看看 x→∞过程中这两个无穷小量它们趋于0的速度的比较是怎么样呢？

实验数据摘录：
p( 2 )= 3  , 1/π(p)= .3333333 , 1/π(p-1)= .5
p( 3 )= 5  , 1/π(p)= 6.667D-02 , 1/π(p-1)= .125
p( 4 )= 7  , 1/π(p)= 9.524D-03 , 1/π(p-1)= 2.083333E-02
p( 5 )= 11  , 1/π(p)= 8.658D-04 , 1/π(p-1)= 2.083333E-03
p( 6 )= 13  , 1/π(p)= 6.660007E-05 , 1/π(p-1)= 1.736111E-04
……
p( 135 )= 761  , 1/π(p)= 1.59E-318 , 1/π(p-1)= 9.469E-318
p( 136 )= 769  , 1/π(p)= 2.07E-321 , 1/π(p-1)= 1.233E-320
p( 137 )= 773  , 1/π(p)= 0 , 1/π(p-1)= 0
（这是电脑在中精度数值运算时做的判断同个p值两个无穷小量等于0 ，在高精度数值运算时相同，如下）

……
p( 135 )= 761  , π[1/(p)]= 1.592007967968415D-318 , π[1/(p-1)]= 9.46898549143166D-318
p( 136 )= 769  , π[1/(p)]= 2.070135056074823D-321 , π[1/(p-1)]= 1.23269378637391D-320
p( 137 )= 773  , π[1/(p)]= 0 , π[1/(p-1)]= 0
p( 138 )= 787  , π[1/(p)]= 0 , π[1/(p-1)]= 0

  显然两个无穷小量π[1/(p-1)]→0 、π[1/(p)]→0 趋于0的速度差不多，但是  π[1/(p)]÷π[1/(p-1)]≠1，故两者必然是同阶无穷小量。
  依据同阶无穷小量比较定理：
x→∞时,（素数 p≤√x ）
  lim{π[1/(p)]/π[1/(p-1)]}=lim x→∞时π(1-1/p)]=lim π(1-1/p）= C ≠0 .
  这就是任意一个鼓吹x→∞时lim[π(1-1/p)]=0 的人，你让他说出π(1-1/p)=0.01的具体p值时都不敢正面回答问题的原因，更别说π(1-1/p)=0.001的具体p值了。

  很显然，依据无穷小量比较法则得出的结论与数学界的在x→∞时π(1-1/p)的极限值→0 的观点是矛盾的。（见王元《谈谈素数》章节12. 素数的出现概率为零）。

也许有人会说：
x→∞时π（X)/x →0；π(1-1/p)的极限值→0 是被国外某著名大师已经证明了的“定理”，
那么为什么这个“定理”会不符合无穷小量比较的极限基本理论呢？
为什么这个“定理”与事实的素数出现是趋于无穷多，素数出现率下降的速率越来越慢的现象矛盾呢？
是无穷小量比较的极限基本理论发生错误的可能性大还是这个素数出现率等于0的“证明”发生错误的可能性大呢？
值得各位有思考能力的读者深思！

作者: 愚工688 时间: 2019-9-13 11:26
本帖最后由愚工688 于 2022-7-29 00:31 编辑

在目前我知道的素数数量是π(10^25)，前面已经发了,π(10^22)=201467286689315906290；
我们可以看看数每扩大10倍时素数的数量扩大的倍数，是否越来越趋近与10倍？
k(10^22)= π(10^23)/π(10^22) ；
x=10^23,π(10^23)=1925320391606803968923, k(10^22)≈9.5568；
x=10^24,π(10^24)=18435599767349200867866，k(10^23)≈9.57534；
x=10^25,π(10^25)=176846309399143769411680，k(10^24)≈9.59265；
……
因此素数出现率趋于0的观点不仅仅不符合完全小量比较的极限判断法则，也是不符合实际上素数出现数量的变化规律的。

当然如果从素数出现率的变化率假设从某数起基本保持不变；比如π(10^24)，
那么可以计算出：
（10-9.57534）/（9.57534-9.5568）=22.91
即只需要指数n再增大23就可以使得K（10^47)=π(10^47)/π(10^46)→10;

而素数出现率的变化率假设π(10^25)起基本保持不变的素数数据计算：
（10-9.59265）/（9.59265-9.57534）=23.5；
则需要指数n在增大24就可以使得K（10^49)=π(10^49)/π(10^48)→10;

可以看到，在n增大以后实际假设素数出现率的变化率不变→10的所需n的增量并没有缩小，由此可以推断出：
假设素数出现率的变化率不变的假设是不成立的。
随数 10^n的指数n的不断增大，素数出现率的变化率会越来越小，但是趋小的变化率会越来越缓慢。
素数数量的比值K（10^n）=[π(10^(n+1)/π(10^n]→10的趋势是不会改变的，
但是永远不会达到 K（10^n）=[π(10^(n+1)/π(10^n]=10 的情况。
这也可以看出所谓的
x→∞时素数发生率：π(x)/ x →0 的观点是不符合事实素数发生情况的。

作者: 愚工688 时间: 2019-9-13 11:26
本帖最后由愚工688 于 2019-9-13 03:59 编辑

为什么数学家可以视x→∞时素数发生数π(x)→∞的事实而不见，轻易的作出
x→∞时素数发生率：π(x)/ln x →0
的既不符合事实素数发生情况的也不符合无穷小量比较法则的极限判断结论呢？
搞不懂。

正如卖矛盾者说：
他的矛锋利无比，可以戳穿任意的盾；他卖的盾坚固无比，可以抵抗任意的矛；
但是用他的矛戳他的盾，结果会怎么样呢？

同理，数学家既然要说：π(x)/lnx →0
那么根据无穷小量比较的阶的概念，是否应该证明一下1/lnx 比1/π(x)的阶高呢？
π(x)/lnx=（1/lnx）/（1/π(x)）

教科书上对于无穷小量的阶的概念做确切的叙述：（摘自《高等数学》教材28页，书号：13012.096）
设u,v是两个无穷小量，即lim u=0,lim v=0,
(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);
(2)若 lim u/v =∞ ,这说明分母v趋于0的速度比分子u趋于0的速度要快得多，则称为u为比v低价的无穷小量；
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
(4)若 lim u/v =1 ,这说明分子u与分母v趋于0的速度一样，则称为u与v 是等阶的无穷小量，记作u～v。

作者: njzz_yy 时间: 2019-12-7 09:40
”素数出现率等于零“：是个伪命题，逻辑不通，不值一提

作者: 愚工688 时间: 2019-12-7 20:23

njzz_yy 发表于 2019-12-7 01:40
”素数出现率等于零“：是个伪命题，逻辑不通，不值一提

与数学家建立的极限基础理论无穷小量的阶的判断相互矛盾，正如卖矛者说的那样，没有可信度。

作者: 愚工688 时间: 2019-12-8 21:07

愚工688 发表于 2019-12-7 12:23
与数学家建立的极限基础理论无穷小量的阶的判断相互矛盾，正如卖矛者说的那样，没有可信度。

那些“砖家”一面讲素数无穷多，一面讲素数的出现率趋于0，自相矛盾者也！

作者: wangyangke 时间: 2019-12-9 07:35
愚公移山，预言，千古绝唱！
愚公“素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论”，错了！
熊一兵，傻瓜蛋！

作者: 愚工688 时间: 2019-12-9 10:29

wangyangke 发表于 2019-12-8 23:35
愚公移山，预言，千古绝唱！
愚公“素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论”，错了！
...

请把具体内容写出来，而不是用标题的方法。

我的观点“素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论”
我的观点在3#写清楚了，你说错可以指出哪里错，哪里不符合实际情况？

作者: 大傻8888888 时间: 2019-12-9 19:15
有些人认为自己水平很高，比专业人士都能干，非要去挑战最基本的数学常识和数学问题，结果只能证明自己的愚蠢，搬起石头砸自己的脚而已。'

作者: 愚工688 时间: 2019-12-10 12:53

大傻8888888 发表于 2019-12-9 11:15
有些人认为自己水平很高，比专业人士都能干，非要去挑战最基本的数学常识和数学问题，结果只能证明自己的愚 ...

怎么都是一些标题派人士，不会讲道理的？

若认为我说的“素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论”，那么根据无穷小量比较的极限基础理论，你可以说说素数出现率等于零的观点是怎么符合无穷小量比较的极限基础理论。
当然你也可以否定无穷小量比较的极限基础理论是错误的。

否则的话，如同卖矛者那样，
既要说“素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论”是错误的，
又不能说出“素数出现率等于零的观点“是怎么符合“无穷小量比较的极限基础理论”；
也不能说出“无穷小量比较的极限基础理论”的错误之处——这是教科书上面的理论，没有人士敢公开否定吧！
那么纯属是人云亦云，捣糨糊了。

作者: 大傻8888888 时间: 2019-12-10 20:32

愚工688 发表于 2019-12-10 12:53
怎么都是一些标题派人士，不会讲道理的？

若认为我说的“素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的 ...

对于这个问题我们以前有个交锋，我证明过素数出现率趋近零，当然也有说法等于零。同时王元在“谈谈素数”也证明过。你为了哗众取宠，自以为高明，不论打着什么极限基础理论旗号，结果只能证明自己的无知。对那些自以为水平很高，非要去挑战最基本的数学常识和数学问题的人没有什么道理可讲，只有猛击一掌，才能使之清醒。如不清醒那只能一条道跑到黑了，谁也救不回来。

作者: 愚工688 时间: 2019-12-11 21:14

大傻8888888 发表于 2019-12-10 12:32
对于这个问题我们以前有个交锋，我证明过素数出现率趋近零，当然也有说法等于零。同时王元在“谈谈 ...

你号称证明过素数出现率趋于零，那么拿出来看看。
素数出现率趋于零本来就是一个极限问题，而你对这个无穷小量的极限问题，难道可以不依据无穷小量的阶的概念进行判断？

教科书上对于无穷小量的阶的概念做确切的叙述：（摘自《高等数学》教材28页，书号：13012.096）
设u,v是两个无穷小量，即lim u=0,lim v=0,
(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);
(2)若 lim u/v =∞ ,这说明分母v趋于0的速度比分子u趋于0的速度要快得多，则称为u为比v低价的无穷小量；
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
(4)若 lim u/v =1 ,这说明分子u与分母v趋于0的速度一样，则称为u与v 是等阶的无穷小量，记作u～v。

你自以为水平高，紧紧跟随专家的论点，但是对于数学家的目前世界数学界公认，利用现有的数学理论及工具根本无法论证“歌德巴赫猜想”结论，也不是证明的很起劲？

来到这个论坛的人，没有几个是循规蹈矩的人士，因此发表自己的观点很正常，摆道理，说事实是讨论问题的有效方法，而不是空喊那样的简单。

作者: 大傻8888888 时间: 2019-12-11 23:14

愚工688 发表于 2019-12-11 21:14
你号称证明过素数出现率趋于零，那么拿出来看看。
素数出现率趋于零本来就是一个极限问题，而你对这个无 ...

你说的教科书上是对于无穷小量的阶的概念做确切的叙述。而自然数和素数不是无穷小量而是无穷大量，当然不符合无穷小量比较的极限基础理论，同时无穷大量也有无穷大量的阶。你所引用的“lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高阶的无穷小量”是说无穷小量。我们知道x/y→0，则称x是比y低阶的无穷大量。而素数和自然数都是无穷大量，同时素数/自然数=（x/lnx）/x=1/lnx→0，是因为分子素数趋于∞的速度比分母自然数趋于∞的速度要慢得多，所以素数是比自然数低阶的无穷大量，同时也可以说自然数是比素数高阶的无穷大量，这就是素数出现率等于零的观点的来龙去脉，出现率是指素数在自然数里的出现率。

作者: 愚工688 时间: 2019-12-12 09:37

大傻8888888 发表于 2019-12-11 15:14
你说的教科书上是对于无穷小量的阶的概念做确切的叙述。而自然数和素数不是无穷小量而是无穷大量， ...

无穷大的倒数即是无穷小量，这么简单的知识也不明白？
教科书上面有无穷小阶的阶的判断概念，有无穷大量的阶的判断概念么？
而我们讨论的问题，是素数在自然数中的发生率，也就是在x趋于无穷大时素数π(x)在x中间的比率的问题，
π(x)/x的趋向问题，不就是两个无穷大之比的极限问题，也就是两个无穷小的比的问题？
π(x)/x=(1/x)/[1/π(x)],
那么两个无穷小量的极限不正是无穷小量的阶的概念所阐述的？
极限趋于无穷大、无穷小、常数c 或1的判断，应该依据什么？这是这个概念所做确切的叙述清清楚楚的。
所以说，任何“证明”素数发生率趋于零的论点，是需要依据无穷小阶的阶的判断概念来辨别一下是否正确，这是必须的。

作者: 大傻8888888 时间: 2019-12-12 11:56

愚工688 发表于 2019-12-12 09:37
无穷大的倒数即是无穷小量，这么简单的知识也不明白？
教科书上面有无穷小阶的阶的判断概念，有无穷大量 ...

好像只有愚工688 先生知道无穷大的倒数即是无穷小量。我们是说素数和自然数都是无穷大量它们之比，你非要把它们变成自然数的倒数与素数的倒数之比，当然它们之比极限趋于无穷小，恰恰证明素数与自然数之比的极限也趋于无穷小。这么简单的知识也不明白吗？

作者: 愚工688 时间: 2019-12-13 12:04

大傻8888888 发表于 2019-12-12 03:56
好像只有愚工688 先生知道无穷大的倒数即是无穷小量。我们是说素数和自然数都是无穷大量它们之比，你非要 ...

你就闭着眼睛说瞎话。
“自然数的倒数与素数的倒数之比，当然它们之比极限趋于无穷小，”—— 你依据什么判断的？
用一个自己想当然的“当然它们之比极限趋于无穷小”就“恰恰证明素数与自然数之比的极限也趋于无穷小”，可笑吗？

作者: 大傻8888888 时间: 2019-12-13 17:17

愚工688 发表于 2019-12-13 12:04
你就闭着眼睛说瞎话。
“自然数的倒数与素数的倒数之比，当然它们之比极限趋于无穷小，”—— 你依据什 ...

你就抱着错误的观点不放吧，恕不奉陪啦！谁对谁错我想广大网友大家都心知肚明。坚持错误只能证明自己的无知而已。

作者: 愚工688 时间: 2019-12-15 19:05

大傻8888888 发表于 2019-12-13 09:17
你就抱着错误的观点不放吧，恕不奉陪啦！谁对谁错我想广大网友大家都心知肚明。坚持错误只能证明自己的无 ...

号称自己证明了素数发生率趋于零的你，既然来到我的帖子来质疑我的观点，
那么为什么不敢贴出自己所谓的证明帖子，摆出你的观点呢？
不敢进行具体内容的讨论呢？
难道你说我的观点错误就是错误了？
讲得出错在哪里吗？
我的观点违反了什么数学理论？
只会空喊“你的错误的观点”，不敢进行具体讨论者只能视之懦夫也！
正如一个打擂台者，上了台却不敢打出一拳，不是懦夫？

作者: 大傻8888888 时间: 2019-12-15 21:12

愚工688 发表于 2019-12-13 12:04
你就闭着眼睛说瞎话。
“自然数的倒数与素数的倒数之比，当然它们之比极限趋于无穷小，”—— 你依据什 ...

我的依据是你引用的教科书“(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);”自然数的倒数趋于0的速度比分母素数的倒数趋于0的速度要快得多，所以自然数的倒数是比素数的倒数高阶的无穷小量，因此趋近于0。比如1/100要小于1/25,1/n随着n的增大越来越小于1/π(n)，直至趋近于0。如果你还不懂，那你就保留自己的观点吧，我已经尽力了。另外说句局外话，比较无穷小量是高阶而不是高价。

作者: 愚工688 时间: 2019-12-16 22:45

大傻8888888 发表于 2019-12-15 13:12
我的依据是你引用的教科书“(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多 ...

“(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);”
因此，你要举例在趋向无穷大的过程中，分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，而不是什么“比如1/100要小于1/25,”

比如说：素数的发生率有两个形式：
1，基于艾氏筛法的连乘式得出的素数发生率：π[（p-1)/P]; p系自然数X内的√x内的最大素数。
在x→∞时，p也→∞；

那么你能够举出例子看看分子比分母趋于0的速度要快得多的例子吗？
π[（p-1)/P]=π（p-1)/π(p) =π[1/p]/π[1/(p-1)]

2,基于素数定理得出的素数发生率：π（x)/x ;
同样在x→∞时，π（x)→∞；
1/x、1/π(x)系两个无穷小量，它们的比[1/x]/[1/π(x)]=π(x)/x,
同样你能够举出分子比分母趋于0的速度要快得多的例子吗？

不要拍脑袋瞎说，要用数据来说话。

作者: 大傻8888888 时间: 2019-12-16 23:29

愚工688 发表于 2019-12-16 22:45
“(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量， ...

1/100要小于1/25。1/25是1/100的4倍.同时1/1000要小于1/168。1/168是1/1000的5.95238......倍。一直算下去1/π(n)则是1/n的任意倍(计算是先生的强项，我就不班门弄斧了)。也就等于在趋向无穷大的过程中，分子1/n趋于0的速度比分母1/π(n)趋于0的速度要快得多，难道不是很明显的吗？
另外关于“基于艾氏筛法的连乘式得出的素数发生率：π[（p-1)/P]; p系自然数X内的√x内的最大素数。在x→∞时，p也→∞；”上面这个素数发生率公式不成立。正如π[（p-2)/P]也不是哥猜素数对的发生率一样。

作者: lusishun 时间: 2019-12-17 06:02
有人说愚工688是熊一兵先生，是吗？不可能吧。

作者: 愚工688 时间: 2019-12-17 19:52
本帖最后由愚工688 于 2019-12-17 12:46 编辑

大傻8888888 发表于 2019-12-16 15:29
1/100要小于1/25。1/25是1/100的4倍.同时1/1000要小于1/168。1/168是1/1000的5.95238......倍。一直 ...

真实的x内的素数发生率是：π(x)/x ；《数论导引》（华罗庚编著）93页定理：x→∞时 π（X)/x →0；
而另外一种素数发生率：在x→∞时π(1-1/p)的极限值→0 。（见王元《谈谈素数》

但是这两种说法，都不符合无穷小量比较的极限基础理论。
先看看π(1-1/p)的极限值：
π(1-1/p)=π[（p-1)/P]=π（p-1)/π(p) =π[1/p]/π[1/(p-1)]
实验数据摘录：
p( 2 )= 3  , 1/π(p)= .3333333 , 1/π(p-1)= .5
p( 3 )= 5  , 1/π(p)= 6.667D-02 , 1/π(p-1)= .125
p( 4 )= 7  , 1/π(p)= 9.524D-03 , 1/π(p-1)= 2.083333E-02
p( 5 )= 11  , 1/π(p)= 8.658D-04 , 1/π(p-1)= 2.083333E-03
p( 6 )= 13  , 1/π(p)= 6.660007E-05 , 1/π(p-1)= 1.736111E-04
……
p( 135 )= 761  , 1/π(p)= 1.59E-318 , 1/π(p-1)= 9.469E-318
p( 136 )= 769  , 1/π(p)= 2.07E-321 , 1/π(p-1)= 1.233E-320
p( 137 )= 773  , 1/π(p)= 0 , 1/π(p-1)= 0

可以看到，这两个无穷小量趋于零的速度是差不多的；
依据(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
它们之比应该是一个不为零的常数c 。

再看看实际素数发生率：π(x)/x 在x趋大过程中的变化情况：
看数x 每扩大10倍时实际素数数量π(x)的倍率变化【倍率k(x)=π(10x)/π(x)】：
x=10, π(10)=4;
x=10^2, π(10^2)=25;k(10)=6.25;
x=10^3,π(10^3)=168;k(10^2)=6.72;
x=10^4,π(10^4)=1229;k(10^3)≈7.315;
x=10^5,π(10^5)=9592;k(10^4)≈7.8047;
x=10^6,π(10^6)=78498,k(10^5)≈8.1837;
x=10^7,π(10^7)=664579,k(10^6)≈8.4662;
x=10^8,π(10^8)=5761455,k(10^7)≈8.6693;
x=10^9,π(10^9)=50847534,k(10^8)≈8.8255;
x=10^10,π(10^10)=455052511,k(10^9)≈8.925;
x=10^11,π(10^11)=4118054813,k(10^10)≈9.050;
x=10^12,π(10^12)=37607912018 ,k(10^11)≈9.132;
x=10^13,π(10^13)=346065536839 ,k(10^12)≈9.2019;
x=10^14,π(10^14)=3204941750802 ,k(10^13)≈9.261;
x=10^15,π(10^15)=29844570422669 ,k(10^14)≈9.312;
x=10^16,π(10^16)=279238341033925,k(10^15)≈9.356;
x=10^17,π(10^17)=2623557157654233,k(10^16)≈9.3954;
x=10^18,π(10^18)=24739954287740860,k(10^17)≈9.42993;
x=10^19,π(10^19)= 234057667276344607,k(10^18)≈9.4607
x=10^20,π(10^20)= 2220819602560918840,k(10^19)≈9.4883
x=10^21,π(10^21)= 21127269486018731928 ,k(10^20)≈9.5132
x=10^22,π(10^22)=201467286689315906290,k(10^21)≈9.5359;
x=10^23,π(10^23)=1925320391606803968923,k(10^22)≈9.5568
……
结论：
很明显的是：依据现有素数数据资料的分析，随数x的增大10^n倍，在n=1→n=23的过程中，素数数量比值K(10^n)逐渐的由6.25不断增大到9.55，
……
显然在指数n进一步增大的过程中，倍率值K(10^n)的趋向将逐渐接近于10。
显然素数发生率π(x)/x将趋于一个不为零的常数c .

同样也可以把素数发生率π(x)/x化成两个无穷小量之比：
π(x)/x=(1/x)/[1/π(x)]
那么怎么比较这两个无穷小量呢？
我们可以引入一个已知的无穷小量：1/√x ;
显然在x→∞时，√x→∞；但是√x是比x低阶的无穷大；
因此1/x是比1/√x高阶的无穷小量；这是已知的。

考察一下x→∞的过程中，[1/π(x)] /(1/√x)、 (1/x)/(1/√x)=1/√x 以及π(x)/x 的值变化：

x=10^2, π(10^2)=25;                   √x/π(x) = 0.4 ;          (1/√x)=0.1；    π(x)/x = .25 ;
x=10^4,π(10^4)=1229;                √x/π(x) ≈0.08137 ;    (1/√x)=1e-2；    π(x)/x = .1229;
x=10^8,π(10^8)=5761455,          √x/π(x) ≈0.001736 ; (1/√x)=1e-4；    π(x)/x ≈ .0576146;
x=10^10,π(10^10)=455052511    √x/π(x) ≈0.0002198; (1/√x)=1e-5；    π(x)/x ≈ .0455053;
x=10^12,π(10^12)=3760……；    √x/π(x) ≈2.659e-5 ;    (1/√x)=1e-6；    π(x)/x ≈ .0376079;
x=10^14,π(10^14)=3204……；    √x/π(x) ≈3.1202e-6; (1/√x)=1e-7；    π(x)/x ≈ .0320494;
x=10^16,π(10^16)=2792……；    √x/π(x) ≈3.58e-7 ;    (1/√x)=1e-8；    π(x)/x ≈ .0279238;
x=10^18,π(10^18)=2473……；    √x/π(x) ≈4.042e-8 ;    (1/√x)=1e-9；    π(x)/x ≈ .02473995;
x=10^20,π(10^20)=2220……；    √x/π(x) ≈4.503e-9 ;    (1/√x)=1e-10； π(x)/x ≈ .0222082;
x=10^22,π(10^22)=2014……；    √x/π(x) ≈4.964e-10; (1/√x)=1e-11； π(x)/x ≈ .0201467;

从实验比较的数据显示：
1，∵ x→∞时 lim √x/π(x)比值很快的趋小,趋近于0 ；
   ∴1/π(x) 是比1/√x高价的无穷小.

2，因为 1/x与1/π(x)都是比1/√x 高价的无穷小量，且 π(x)/x ≠ 1，故1/x与1/π(x)是同阶无穷小量。
   依据 α(x)与β(x)是同阶无穷小量的比较定理，得出
   x→∞时 lim π(x)/x = C ≠0 ，即具有一个不为0的常数值。

作者: 大傻8888888 时间: 2019-12-17 23:02
本帖最后由大傻8888888 于 2019-12-17 23:28 编辑

   在x→∞时π(1-1/p)的极限值→0 。(见王元《谈谈素数》)是说p通过所有素数的无穷乘积等于0，而不是素数发生率。恰恰王元证明上面的极限值是为了证明素数出现的概率为0。
   你的“数x 每扩大10倍时实际素数数量π(x)的倍率变化【倍率k(x)=π(10x)/π(x)】”跟1/π(n)是1/n的倍数完全是两码事。虽然列举了一大堆数据，和我们讨论的问题一点也不相干。
   另外两个无穷小量之间阶的高低，跟第三个无穷小量无关。只是看这两个无穷小量u和v“lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高阶的无穷小量”就行了。别的都是诡辩。就好比咱们两个我比你高，你非要找一个比咱们都低的人，说我比那个人高，你也比那个人高，所以咱们两人一样高了，难道不荒唐吗？

作者: 愚工688 时间: 2019-12-18 12:59
本帖最后由愚工688 于 2019-12-18 05:08 编辑

大傻8888888 发表于 2019-12-17 15:02
在x→∞时π(1-1/p)的极限值→0 。(见王元《谈谈素数》)是说p通过所有素数的无穷乘积等于0，而不是素 ...

见王元《谈谈素数》章节12的标题是：《素数的出现概率为零》
素数发生率与素数出现率有什么原则区别？不就一回事？

我的帖子就是谈论素数在自然数中的发生率，与素数在自然数中的出现率有什么原则上的区别？
你在极限的判断依据的是什么？怎么总是言顾其他的？
∵ x→∞时 lim √x/π(x)比值很快的趋小,趋近于0 ；
∴1/π(x) 是比1/√x高阶的无穷小，1/x是比1/√x高阶的无穷小；有错吗？
因为1/π(x) 与1/x都是比1/√x高阶的无穷小，所以1/π(x) 与1/x是同阶的无穷小量。有错吗？
因为1/π(x) 与1/x是同阶的无穷小量，所以它们之比的极限limx→∞时，有π(x) /x=c,(c≠0),有错吗？

但是我说过1/π(x)与1/x是相同的无穷小量么？
若lim α(x)／β(x)= c ≠0, 则α(x)与β(x)是同阶无穷小.
特别 lim α(x)／β(x) = 1 ，则α(x)是β(x)是等阶无穷小，记为 α~β
等阶无穷小与同阶无穷小的概念不要混同啊。

你号称证明了素数出现率等于零的理论，既然来此讨论这个问题，不妨把你的证明也贴出来给大家欣赏欣赏。

作者: 大傻8888888 时间: 2019-12-18 22:44

愚工688 发表于 2019-12-18 12:59
见王元《谈谈素数》章节12的标题是：《素数的出现概率为零》
素数发生率与素数出现率有什么原则区别 ...

   “因为1/π(x) 与1/x是同阶的无穷小量，所以它们之比的极限limx→∞时，有π(x) /x=c,(c≠0),有错吗？”当然有错。
   第一：说1/π(x) 与1/x是同阶的无穷小量是错误的，因为1/π(x) 与1/x不是同阶的无穷小量，1/x是比1/π(x) 高阶的无穷小量。随着x趋近无限大，1/π(x) 是1/x的任意倍，也就是[1/x]/[1/π(x)]→0。我在22楼举了x=100和x=1000的例子，你在24楼不遵循我的例子计算[1/x]/[1/π(x)]，反而计算与这个问题毫不相关的π(10x)/π(x)，所以得出错误的结论。
   第二：“1/π(x) 与1/x它们之比的极限limx→∞时，有π(x) /x=c,(c≠0)”也是错误的，“1/π(x) 与1/x它们之比的极限limx→∞时，有[1/π(x)]/[1/x]→∞。另外π(x) /x=c,(c≠0)它们之比不可能是常数c，不论这个常数多么小，[1/x]/[1/π(x)]也就π(x) /x是随着x增大都可以小于这个确定的常数。所以你也不可能确定这个常数的实际值是多少，如不相信你可以计算，我确定你找不到这个常数。
   素数出现率等于零，我的证明很简单，根据素数定理素数的出现率π(x) /x=[x/lnx]/x=1/lnx，很明显当x→∞，则有lnx→∞，所以1/lnx→1/∞→0，也就是π(x) /x→0。

作者: 愚工688 时间: 2019-12-19 22:12

大傻8888888 发表于 2019-12-18 14:44
“因为1/π(x) 与1/x是同阶的无穷小量，所以它们之比的极限limx→∞时，有π(x) /x=c,(c≠0),有错 ...

1/x是比1/π(x) 高阶的无穷小量。——这是你想当然得出的结论，而经不起实际的验证的。
24#的[1/π(x)] /(1/√x)、π(x)/x 的比值变化显示：
在x→∞的过程中，
无穷小量[1/π(x)] 比无穷小量(1/√x)高阶；
没有显示出无穷小量1/x比无穷小量[1/π(x)] 高阶。

你举的例子：随着x趋近无限大，1/π(x) 是1/x的任意倍，（22楼举了x=100和x=1000的例子）——这么小的数能够说明什么？

素数出现率等于零，我的证明很简单，根据素数定理素数的出现率π(x) /x=[x/lnx]/x=1/lnx，很明显当x→∞，则有lnx→∞，所以1/lnx→1/∞→0，也就是π(x) /x→0。 —— 这就是我的帖子的题目所说的：不符合无穷小量比较的极限基础理论。

作者: 大傻8888888 时间: 2019-12-20 09:54

愚工688 发表于 2019-12-19 22:12
1/x是比1/π(x) 高阶的无穷小量。——这是你想当然得出的结论，而经不起实际的验证的。
24#的[1/π(x)] ...

你说不符合无穷小量比较的极限基础理论就不符合了吗？你的本事都超过数学专家了，咱们之间在这个问题上没有共同语言再讨论下去也没有什么意义，就此打住吧。

作者: 愚工688 时间: 2019-12-20 10:38

大傻8888888 发表于 2019-12-20 01:54
你说不符合无穷小量比较的极限基础理论就不符合了吗？你的本事都超过数学专家了，咱们之间在这个问题上没 ...

素数的发生率π(x)/x 本来就是两个无穷大之比，也就是两个无穷小量（1/x)/[1/π(x)]之比。
极限基础理论已经就两个无穷小量之比的结果做了明确的定义。
你要来找错，欢迎。但是请按照极限基础理论讨论。
违反极限基础理论，自以为聪明的证明素数发生率趋于零的证明，不仅方法不符合极限理论，也不符合事实——素数趋于无穷多。

作者: 大傻8888888 时间: 2019-12-20 20:38

愚工688 发表于 2019-12-20 10:38
素数的发生率π(x)/x 本来就是两个无穷大之比，也就是两个无穷小量（1/x)/[1/π(x)]之比。
极限基础理论 ...

我只觉得可笑。素数趋于无穷多和素数的发生率π(x)/x →0根本不矛盾。自然数也趋近无限大，但是比起自然数的平方，x/（x^2）→0是你不能否认的，这是两回事并不矛盾。你口口声声说“1/π(x) 与1/x是同阶的无穷小量，所以它们之比的极限limx→∞时，有π(x) /x=c,(c≠0)”，现在请你给出c的具体值，你如果拿不出来，你说的一切不过是废话而已。违反极限基础理论，自以为聪明的证明素数发生率趋于c(c≠0)恰恰是你，而且又不知道c的具体值，不过是睁着眼说瞎话，毫无逻辑可言。

作者: 愚工688 时间: 2019-12-20 22:17
你好可笑。举的例子与论点毫无关系。
x/（x^2）→0是你不能否认的，
1/x^2是比1/x 高阶的无穷小量；1/x是比1/√x 高阶的无穷小量；
但是1/x是比1/π(x) 高阶的无穷小量吗？
谁告诉你，极限趋向不为零的常数c 就一定能够求出具体值的？
两个无穷小量的比值的极限理论告诉你的？

之所以说：1/π(x) 与1/x是同阶的无穷小量，只是比较它们与低价无穷小量1/√x的比值时，趋于0的速度差不多；
而1/π(x) 与1/x 的比值趋小的速度相对很慢。（详见24#的数据）
x=10^20,π(10^20)=2220……； √x/π(x) ≈4.503e-9 ; (1/√x)=1e-10； π(x)/x ≈ .0222082;
x=10^22,π(10^22)=2014……； √x/π(x) ≈4.964e-10; (1/√x)=1e-11； π(x)/x ≈ .0201467;

根据无穷小量阶的概念理论，当然1/π(x) 与1/x 属于同阶无穷小量。

作者: 愚工688 时间: 2019-12-20 23:02
教科书上对于无穷小量的阶的概念做确切的叙述：（摘自《高等数学》教材28页，书号：13012.096）
设u,v是两个无穷小量，即lim u=0,lim v=0,
(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);
(2)若 lim u/v =∞ ,这说明分母v趋于0的速度比分子u趋于0的速度要快得多，则称为u为比v低价的无穷小量；
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
(4)若 lim u/v =1 ,这说明分子u与分母v趋于0的速度一样，则称为u与v 是等阶的无穷小量，记作u～v。

无穷小与极限资料（https://wenku.baidu.com/view/f4e265d476eeaeaad1f33023.html）
8、无穷小量的比较

  设α(x),β(x)都是对应于某同一极限过程的无穷小量.
若lim α(x)／β(x)= c ≠0, 则α(x)与β(x)是同阶无穷小.
若 lim α(x)／β(x) =0，则 α(x)是β(x)的高阶无穷小，记为 α=ο(β);
特别 lim α(x)／β(x) = 1 ，则α(x)是β(x)是等价无穷小，记为 α~β

无穷小量的比较，都是对应于某同一极限过程的无穷小量.

在x→∞的极限过程中：
x=10^22,π(10^22)=2014……；    √x/π(x) ≈4.964e-10; (1/x)/(1/√x)=1e-11；趋小的速度相差无几，它们都是比(1/√x)高阶的无穷小量；
但是 π(x)/x ≈ .0201467;趋小的程度是极其有限的，两者之间不可能有阶的高低区别；

不按照无穷小量阶的概念理论，得出的两个无穷小量的极限比值，会正确吗？

作者: 大傻8888888 时间: 2019-12-21 20:53

愚工688 发表于 2019-12-20 22:17
你好可笑。举的例子与论点毫无关系。
x/（x^2）→0是你不能否认的，
1/x^2是比1/x 高阶的无穷小量；1/x是 ...

   1/x就是比1/π(x) 高阶的无穷小量，因为(1/x)/[1/π(x)]=π(x) /x，我已经证明了π(x) /x→0，不会因为你说不符合两个无穷小量的比值的极限理论就不成立。
   1/x与1/π(x)的比值趋小的速度比1/x与1/√x趋小的速度确实相对较慢。但是当x趋近无限大时它们两个之比都趋近0。
   我让你求极限趋向不为零的常数c是因为我知道根本就没有这样的常数c存在，所以你压根就不可能得到常数c的值。
   有些话不知说了不少遍，普通学过高中极限理论的学生都明白的道理，不知为什么学过《高等数学》教材的人却不明白，让人百思不得其解。那就祝你钻进死胡同，一条道走到黑吧。

作者: 愚工688 时间: 2019-12-25 20:55

大傻8888888 发表于 2019-12-20 12:38
我只觉得可笑。素数趋于无穷多和素数的发生率π(x)/x →0根本不矛盾。自然数也趋近无限大，但是比 ...

可笑之极！
1/x就是比1/π(x) 高阶的无穷小量，—— 就凭你的认为就可以了？那么还要遵守无穷小量比较阶的概念么？
在x→∞的同一极限过程中：
为什么x=10^22,π(10^22)=2014……； √x/π(x) ≈4.964e-10; (1/√x)=1e-11；两个无穷小量之比都很快接近0，显示出有阶的高低现象；
而 1/x与1/π(x)之比仅仅只是 π(x)/x ≈ .0201467;趋小的速度很慢呢？哪里有阶的高低现象？
不要说趋于无穷小接近0，哪怕是 π(x)/x ≈1e-3，也就是0.001的x值你能够计算吗？

作者: 大傻8888888 时间: 2019-12-25 22:58

愚工688 发表于 2019-12-25 20:55
可笑之极！
1/x就是比1/π(x) 高阶的无穷小量，—— 就凭你的认为就可以了？那么还要遵守无穷小量比较 ...

因为x=10^22,π(10^22)=2014……；所以1/x与1/π(x)之比就是 π(x)/x ≈ .0201467;虽然趋小的速度很慢，但是一直无限的趋小就可以趋近0,这是毫无疑问的。
至于π(x)/x ≈1e-3，也就是0.001的x值是x=e^1000。举个例子想让π(x)/x ≈0.00000000001时x值是x=e^100000000000。还可以一直这么下去当x=e^∞时π(x)/x=1/∞→0，也就是(1/x)/[1/π(x)]→0。

作者: 愚工688 时间: 2019-12-28 14:57

大傻8888888 发表于 2019-12-25 14:58
因为x=10^22,π(10^22)=2014……；所以1/x与1/π(x)之比就是 π(x)/x ≈ .0201467;虽然趋小的速度 ...

可笑之极！
在x→∞的同一极限过程中x=10^22时：
(1/x )/(1/√x) =1/√x=1e-11 ,而(1/x )是已知的比(1/√x) 高阶的无穷小量；
[1/π(x) ]/(1/√x)≈4.964e-10; 与1/√x=1e-11接近，因此判断1/π(x) 也是比(1/√x) 高阶的无穷小量；
而 π(x)/x ≈ .0201467，就是(1/x )与[1/π(x) ]的趋于0的速度相近，不存在阶的差别，属于同阶无穷小量；

所以说，本帖子的标题“素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论”是没有错的！

顺便说一下：
你帖子下面的“n*1/2*[1/3*3/5*5/7......(1-2/p)]”正是利用连乘式近似计算偶数的素数对低位数量的公式；
而“1/2*[1/3*3/5*5/7......(1-2/p)]”则是也是两个无穷小量之比：
  π(1-2/p）=π[(p-2)/p] =π(1/p)/π[1/(p-2)]；
当偶数N→∞时，p→∞，
但是π(1/p)与π[1/(p-2)]同样是两个同阶的无穷小量，它们的比值趋于一个不为零的常数c ，因此任意大偶数的素对低位数量接近于“n*1/2*[1/3*3/5*5/7......(1-2/p)]”而不为零，哥猜是成立的。

而我在1楼所述的
同样依据两个无穷小量的阶的概念，来分析π(1-1/p）的极限：
  π(1-1/p）=π[(p-1)/p] =π(p-1)／π(p)；
实验证明，两个无穷小量π(1/p)与π[1/(p-1)]趋于零的速度是相似的；
实验数据摘录：
p( 2 )= 3  , 1/π(p)= .3333333 , 1/π(p-1)= .5
p( 3 )= 5  , 1/π(p)= 6.667D-02 , 1/π(p-1)= .125
p( 4 )= 7  , 1/π(p)= 9.524D-03 , 1/π(p-1)= 2.083333E-02
p( 5 )= 11  , 1/π(p)= 8.658D-04 , 1/π(p-1)= 2.083333E-03
p( 6 )= 13  , 1/π(p)= 6.660007E-05 , 1/π(p-1)= 1.736111E-04
……
p( 135 )= 761  , 1/π(p)= 1.59E-318 , 1/π(p-1)= 9.469E-318
p( 136 )= 769  , 1/π(p)= 2.07E-321 , 1/π(p-1)= 1.233E-320
p( 137 )= 773  , 1/π(p)= 0 , 1/π(p-1)= 0
（这是电脑在中精度数值运算时做的判断同个p值时两个无穷小量同时趋于0 ）
因此它们是同阶无穷小量。
因此哪怕素数p再大， π(1-1/p）也是不为0的常数。

考察一下 p1=πp/(p-1)的值与素数p的对应关系：（p0=π(1-1/p)）—— 也就是依据筛法得出的素数出现率。

p( 1 )= 2 , p1= 2 , p0= .5
p( 2 )= 3 , p1= 3 , p0= .3333333333333333 ————开始阶段，p1与素数p同步增大；
p( 3 )= 5 , p1= 3.75 , p0= .2666666666666667
p( 4 )= 7 , p1= 4.375 , p0= .2285714285714286
p( 5 )= 11 , p1= 4.8125 , p0= .2077922077922078
p( 6 )= 13 , p1= 5.213541666666667 , p0= .1918081918081918
p( 7 )= 17 , p1= 5.539388020833334 , p0= .1805253569959452
p( 8 )= 19 , p1= 5.847131799768519 , p0= .1710240224172113
p( 9 )= 23 , p1= 6.112910517939816 , p0= .1635881953555934
p( 10 )= 29 , p1= 6.331228750723381 , p0= .1579472231019522 ----仅仅到第10个素数，p1的增大速率降低了，p1值仅仅为p值的21.8%；
p( 100 )= 541  ,  p1= 11.26762038958268 ,p0= 8.874988377532984D-02 ,
p( 1000 )= 7919  , p1= 16.00855677936198 , p0= 6.246659294666633D-02 ,
p( 10000 )= 104729  , p1= 20.59351703447172 , p0= 4.855897117166011D-02 ,
p( 100000 )= 1299709  , p1= 25.0748126240785 , p0= 3.988065693618515D-02 ,
p( 1000000 )= 15485863  , p1= 29.48664645332186 , p0= 3.391365652866394D-02 ,
p( 3000000 )= 49979687  , p1= 31.57358211303948 , p0= 3.16720477397835D-02 ,
p( 4000000 )= 67867967  , p1= 32.11845787028502 , p0= 3.113474513747165D-02 ---此时一百万个素数仅仅使得p1值增大了0.54，所谓的p1=πp/(p-1)→∞只是一个臆想！
……

作者: 大傻8888888 时间: 2019-12-28 23:22
本帖最后由大傻8888888 于 2019-12-29 08:31 编辑

愚工688 发表于 2019-12-28 14:57
可笑之极！
在x→∞的同一极限过程中x=10^22时：
(1/x )/(1/√x) =1/√x=1e-11 ,而(1/x )是已知的比(1/ ...

“(1/x )/(1/√x) =1/√x=1e-11 ,而(1/x )是已知的比(1/√x) 高阶的无穷小量；
[1/π(x) ]/(1/√x)≈4.964e-10; 与1/√x=1e-11接近，因此判断1/π(x) 也是比(1/√x) 高阶的无穷小量；
而 π(x)/x ≈ .0201467，就是(1/x )与[1/π(x) ]的趋于0的速度相近，不存在阶的差别，属于同阶无穷小量。”
上面的论述纯属诡辩，[1/π(x) ]/(1/√x)≈4.964e-10; 与1/√x=1e-11的值之比已经小于1/2了，有这样的接近吗？照这个逻辑(1/x )是已知的比(1/√x) 高阶的无穷小量，同时(1/x^2 )是已知的比(1/√x) 高阶的无穷小量，难道可以说(1/x^2 )和(1/x )是属于同阶无穷小量吗？
还有既然是讨论问题，应该是一问一答，你的问题我都有回答。而你对我的问题不敢正面回答，反而转移话题，我按你的逻辑举例子，你喜欢反驳我，实际上你在反驳你自己。既然这样，再讨论下去也是我说东你是西，我让你赶狗你抓鸡，那就再见吧。啥时候你得出(1/x)/[1/π(x)]=c(c≠0)的值望告知，祝你成功。

作者: 愚工688 时间: 2020-1-4 23:24

大傻8888888 发表于 2019-12-28 15:22
“(1/x )/(1/√x) =1/√x=1e-11 ,而(1/x )是已知的比(1/√x) 高阶的无穷小量；
[1/π(x) ]/(1/√x)≈4 ...

本来我的帖子就是讲“素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论”，
你既然认为我的观点不对，那么就应该在无穷小量比较的极限基础理论基础上进行讨论。
教科书上面说：
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
但是谁告诉你，这个不等于0的同阶的无穷小量之比值的常数a一定能够计算出来？
我们已知的自然常数e,圆周率π等都是无限不循环的不等于零的常数，难道它们的倒数必须趋于0么？

同样，π(x)/x的比值，你证明了它们有阶的高低没有？
两个无穷大之比，也就是两个无穷小量之比，难道可以不按照无穷小量比较的极限基础理论进行讨论吗？

所以说，要按照无穷小量比较的极限基础理论进行讨论，而不是用自己自以为是的方法讨论两个无穷大的比的极限值。
当然你不愿意按照无穷小量比较的极限基础理论进行讨论问题，那是你的自由，但是在我的这个帖子中，有那么一点不符合题意。
你说对吗？

作者: 愚工688 时间: 2020-1-4 23:24

大傻8888888 发表于 2019-12-28 15:22
“(1/x )/(1/√x) =1/√x=1e-11 ,而(1/x )是已知的比(1/√x) 高阶的无穷小量；
[1/π(x) ]/(1/√x)≈4 ...

作者: wangyangke 时间: 2020-1-5 07:24
本帖最后由 wangyangke 于 2020-1-4 23:53 编辑

-——————同样，π(x)/x的比值，你证明了它们有阶的高低没有？————

我证明了它们有阶的高低。

————————两个无穷大之比，也就是两个无穷小量之比，——————

我用一些无穷小量的轮换变化比较作为镜子，照见一些对应的无穷大量的比较。

你在论坛，展示了你的验算功力，佩服！我上面的吹牛，信不信随你。

作者: wangyangke 时间: 2020-1-5 08:13
本帖最后由 wangyangke 于 2020-1-5 00:24 编辑

---------------------------------------------

作者: wangyangke 时间: 2020-1-5 08:21
---------------------------------

作者: wangyangke 时间: 2020-1-5 08:21
我论证的：
定理：素数的平均间距趋于无穷大.素数占正整数的比率趋于零.
定理：素数可以是其平均间距的不定阶次高阶无穷大.
引理：等平均间距的素数的个数是此平均间距的不定阶次高阶无穷大.所说的不定阶次其阶次本身可以趋于无穷大.

作者: 愚工688 时间: 2020-1-5 15:29

wangyangke 发表于 2020-1-5 00:21
我论证的：
定理：素数的平均间距趋于无穷大.素数占正整数的比率趋于零.
定理：素数可以是其平均间距的不 ...

是否符合无穷小量的比较原则？
π(x)/x的比值，我的观点是没有阶的高低的，
原因很清楚：
1楼中：
而从教科书上对于无穷小量的阶的概念做确切的叙述：（摘自《高等数学》教材28页，书号：13012.096）
设u,v是两个无穷小量，即lim u=0,lim v=0,
(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);
事实是在x→∞的过程中，没有看到π(x)/x的比值很快趋小，
相反的是，对于比1/x低阶的无穷小量1/√x,1/π(x)同样是比1/√x高阶的无穷小量。
我们看问题，不是要依据某某专家怎么说的，而是要依据实验数据反映的是怎么现象，否则，怎么讨论？
对于教科书上面有明确定义的无穷小量的阶的概念做确切的叙述，讨论两个无穷小量的比值，却非要脱离无穷小量的阶的概念，用自己不靠谱的方法去讨论，怎么辨别是非？

作者: 愚工688 时间: 2020-1-5 17:05

wangyangke 发表于 2020-1-4 23:24
-——————同样，π(x)/x的比值，你证明了它们有阶的高低没有？————

我证明了它们有阶的高低。

因为π(x)的数据有限，我不可能计算x趋于无穷大的情况，只能相对的比较1/π(x)与已知的比1/x低阶的无穷小量1/√x的趋于0的速度。判断1/π(x)与1/x的阶是差不多的，都是比1/π(x)高阶的无穷小量，属于同阶无穷小量。

对于另外一种素数出现率：
由自然数x中不能被≤√x 的全部素数p整除的数得出的数位素数，可以得出素数出现率
p(x)=π(1-1/p）;-------（式3）
式中： 2≤p≤√x ，π表示随数x变化时括号内素数p值的连乘。
这里的素数出现率 π(1-1/p）是一个近似数值，其与实际的素数出现率π(x)/x 存在一定的小偏差。这里忽略偏差问题，仅仅讨论概率方式得出的素数出现率 π(1-1/p）的极限问题。
那么当 x→∞时，p→∞,此时 lim π(1-1/p）→？又将如何呢？
  我们同样依据两个无穷小量的阶的概念，来分析π(1-1/p）的极限：

  在x→∞时，有 p→∞.    .
  因此有 π(p-1)→∞与π(p）→∞ ,
素数出现率 π(1-1/p）=π（p-1)/ π（p）
  它们的倒数 π[1/(p-1)] 、π[1/(p)]→0 则是两个无穷小量。
  因此 π[1/(p)]/π[1/(p-1)] 的比值的极限，取决于两个无穷小量相互间阶的高低，也就是它们趋向于0的速度比较。
  我知道王元说的： x→∞时，素数出现率 π(1-1/p）=0. 那么是否符合无穷小量阶的概念呢？

π(1-1/p）=π[(p-1)/p] =π(p-1)／π(p)；
这个两个无穷小量的比较，它们趋向于0的速度比较，是比较容易验证的：
实验数据：
数据说明：
p(n)—— 第n个素数；
p1 —— 1/π(p);
p2 —— 1/ π(p-1)

程序运行数据：
p( 2 )= 3  , p1= .1666667 , p2= .5
p( 3 )= 5  , p1= 3.333334E-02 , p2= .125
p( 4 )= 7  , p1= 4.761905E-03 , p2= 2.083333E-02
p( 5 )= 11  , p1= 4.329004E-04 , p2= 2.083333E-03
p( 6 )= 13  , p1= 3.330004E-05 , p2= 1.736111E-04
p( 7 )= 17  , p1= 1.958826E-06 , p2= 1.085069E-05
p( 8 )= 19  , p1= 1.030961E-07 , p2= 6.028164E-07
p( 9 )= 23  , p1= 4.482438E-09 , p2= 2.740074E-08
p( 10 )= 29  , p1= 1.545668E-10 , p2= 9.78598E-10
p( 11 )= 31  , p1= 4.986027E-12 , p2= 3.261993E-11
p( 12 )= 37  , p1= 1.347575E-13 , p2= 9.061092E-13
p( 13 )= 41  , p1= 3.286768E-15 , p2= 2.265273E-14
p( 14 )= 43  , p1= 7.643647E-17 , p2= 5.393507E-16
p( 15 )= 47  , p1= 1.626308E-18 , p2= 1.172501E-17
p( 16 )= 53  , p1= 3.068506E-20 , p2= 2.254811E-19
p( 17 )= 59  , p1= 5.200857E-22 , p2= 3.887604E-21
p( 18 )= 61  , p1= 8.525995E-24 , p2= 6.479341E-23
p( 19 )= 67  , p1= 1.272537E-25 , p2= 9.817183E-25
p( 20 )= 71  , p1= 1.792305E-27 , p2= 1.402455E-26
p( 21 )= 73  , p1= 2.455212E-29 , p2= 1.947854E-28
p( 22 )= 79  , p1= 3.107864E-31 , p2= 2.497248E-30
p( 23 )= 83  , p1= 3.744414E-33 , p2= 3.045425E-32
p( 24 )= 89  , p1= 4.207207E-35 , p2= 3.46071E-34
p( 25 )= 97  , p1= 4.337327E-37 , p2= 3.604906E-36
p( 26 )= 101  , p1= 4.294383E-39 , p2= 3.604906E-38
p( 27 )= 103  , p1= 4.169283E-41 , p2= 3.534215E-40
p( 28 )= 107  , p1= 3.89561E-43 , p2= 3.333689E-42
p( 29 )= 109  , p1= 4.203895E-45 , p2= 3.082857E-44
p( 30 )= 113  , p1= 0 , p2= 0
p( 31 )= 127  , p1= 0 , p2= 0
p( 32 )= 131  , p1= 0 , p2= 0
p( 33 )= 137  , p1= 0 , p2= 0
p( 34 )= 139  , p1= 0 , p2= 0
p( 35 )= 149  , p1= 0 , p2= 0
p( 36 )= 151  , p1= 0 , p2= 0

可以看到，在x趋大的过程中，两个无穷小量趋于零的速度是差不多的，因此两个无穷小量是同阶无穷小量，是符合无穷小量比较的阶的概念的。

两个无穷小量的比较的Basic 程序文本：

2 'The program can list all prine numbers & numbers in [A,B].

4  OPEN "pi(p-1).txt" FOR OUTPUT AS #8
5  PRINT "if b<10, then end ."
6 INPUT " a, b="; a, b
7 IF b < 10 THEN 98
8 k$ = TIME$
10 S = 0: s0 = 0: a1 = a: p1 = .5: p2 = 1
13 s0 = s0 + 1: S = S + 1
20 IF INT(a / 2) = a / 2 THEN a = a + 1
21 FOR j = a TO b STEP 2
38 FOR i = 2 TO b ^ (1 / 2)
40 IF INT(j / i) = j / i AND j / i > 1 THEN 70
42 NEXT i
45 p1 = p1 / j: p2 = p2 / (j - 1)
50 p0 = p0 * (j - 1) / j
60 PRINT j;
62 S = S + 1: s0 = s0 + 1
65  PRINT #8, "p("; S; ")="; j; " , p1="; p1; ","; " p2="; p2
70 NEXT j
80 PRINT TAB(0); "s="; S
88  PRINT #8, "p("; S; ")="; j; " ,p1="; p1; " ,p2="; p2, "p0= "; p0
90 S$ = TIME$
92 PRINT #8, "start time:"; k$; " ,end time :"; S$
95 GOTO 5
98 END

110  PRINT #8, "p("; S; ")="; j; " , p1="; p1; ","; " p2="; p2, "p0= "; p0
112  a1 = j + 2: s0 = 0
160 GOTO 70

如果有兴趣，可以实际验证一下。

作者: wangyangke 时间: 2020-1-5 17:19
素数问题的研究就是有那些不可思议、不合常规、甚至是与常规概念矛盾或者水火不容的方法；如果与之较劲较真，就是笑话就是寸步难行；不信，你看：

函数可微可积的话，那么函数连续，是必要条件吧？可是，数论数学界硬是用自然对数函数的倒数的积分来表示素数的个数π(x)，，，，毫无疑问，是正确的。素数的分布是间断的，而且间断间距通常为无穷大；能积分吗？，，，，你能较真吗？

作者: wangyangke 时间: 2020-1-5 17:50
关于x lnx π（x）之阶次比较，在我那定理、引理证明的前提下，已经没有证明的了，明确不过了。

作者: 任在深 时间: 2020-1-5 18:47
本帖最后由任在深于 2020-1-5 19:32 编辑

《中华单位论》给出以下问题的证明。

   定理7：素数单位在单位中出现的概率为零

                              π(2n)
            即 (1)  lim---------- =0
                     2n→∞  2n
   证                               2n+12(√2n-1)
                                    ---------------------
                  π(2n)                √2n-1                   2n+12(√2n-1)
         lim--------------=lim---------------------- =lim--------------------
         2n→∞ 2n    2n→∞       2n          2n→∞ 2n(√2n-1)

                                             2n                   12(√2n-1)
                              =lim------------------- + lim--------------------
                              2n→∞ 2n(√2n-1)    2n→∞ 2n(√2n-1)

                                             1                            12                                                 1             12
                           =lim---------------------- + lim-------------, 因为2n→∞,所以 √2n→∞, ———— →0,---------- →0
                              2n→∞ √2n-1          2n→∞ 2n                                              √2n-1             2n

                     即 = 0+0=0

         证毕。

                        欢迎广大网友提出批评指正！

作者: wangyangke 时间: 2020-1-5 20:12
刘忠友，空军司令部战士，牛，，，，

作者: wangyangke 时间: 2020-1-6 21:54
-------------------------------------------------------------
π(x)/x的比值，我的观点是没有阶的高低的
-------------------------------------------------------------

愚公，你没有体会我在上面的那些话，即没有体会

----------------------------------------------------------------------------
我论证的：
定理：素数的平均间距趋于无穷大.素数占正整数的比率趋于零.
定理：素数可以是其平均间距的不定阶次高阶无穷大.
引理：等平均间距的素数的个数是此平均间距的不定阶次高阶无穷大.所说的不定阶次其阶次本身可以趋于无穷大.
---------------------------------------------------------------------------------------------
你看，第一句隐含：素数的平均间距是一阶无穷大.
第一句和第二句隐含：素数的平均间距是一阶无穷大.素数本身是其平均间距的高阶次无穷大。
第一句，第二句，第三句隐含：这个高阶次的本身可以是无穷大和素数的个数是素数平均间距的不定价次无穷大，此素数个数的高阶次的本身也可以是无穷大；——但，素数的个数是素数平均间距的不定价次无穷大的无穷大的次数比素数本身是素数平均间距的不定价次无穷大的次数低一个阶次；

你没有体会那些，就随意一句“π(x)/x的比值，我的观点是没有阶的高低的”，有些草率吧，，，

作者: 任在深 时间: 2020-1-6 22:22
本帖最后由任在深于 2020-1-6 22:35 编辑

《中华单位论》之定理8：合数单位Wn在所有单位2n中出现的概率是1.

      证

            设Wn是2n中的合数单位的个数，则 Wn=2n-π(2n)

            所以

                        Wn                2n- π(2n)
         （1）lim---------- =lim-------------------
               2n→∞ 2n    2n→∞ 2n

                                             2n             π(2n)
                                 =lim------------- -lim--------- :定理7以证明素数出现的概率为0
                                    2n→∞  2n    2n→∞ 2n

                                 =1-0=1

            定理证毕。

                                    欢迎批评指正！

作者: 愚工688 时间: 2020-1-7 15:43

wangyangke 发表于 2020-1-6 13:54
-------------------------------------------------------------
π(x)/x的比值，我的观点是没有阶的高低 ...

我的观点，π(x)/x的比值，是按照两个无穷小量的比较的阶的概念判断出来的。
1/√x,是已知的比1/x低阶的无穷小量；
而1/π(x)，实验数据证明也是比1/√x高阶的无穷小量；
并且实验数据证明π(x)/x的比值并没有很快趋近0；
因此判断两个无穷小量是同阶无穷小量是符合无穷小量阶的概念准则的。
在一楼中，真实的素数出现率π(x)/x的比较也可以看出：
在x趋大的过程中，x=10^(n+2)与x=10^n中的素数出现率的比值，是逐渐向0.999接近的，就是说，当x趋于无穷大时，x=10^(n+2)与x=10^n 中的素数出现率几乎相同。
在x趋大的过程中，没有看出有素数出现率趋于0的现象。

作者: wangyangke 时间: 2020-1-7 16:58
我说过了，是以无穷小的变化变换为镜子，照出来的；我的全文很长，贴出很难，不贴了。

作者: lusishun 时间: 2020-1-7 17:45
老w是老弯啊

作者: wangyangke 时间: 2020-1-7 21:19
定理：鲁思顺是个二百五！

作者: 愚工688 时间: 2020-1-8 19:53
本帖最后由愚工688 于 2020-1-8 11:57 编辑

wangyangke 发表于 2020-1-7 08:58
我说过了，是以无穷小的变化变换为镜子，照出来的；我的全文很长，贴出很难，不贴了。

实践是验证理论的唯一手段。
提出素数出现率趋于0的论者，应该验证一下在x趋大的过程中，实际素数出现率的变化趋势是什么？

素数的发生率与高斯的素数定理
用什么样的规律来表达自然数中的素数呢？高斯思索过这个问题，并预想过素数定理，即
当自然数x趋向无穷大时 Lim[π(x) /(x/ln x)]= 1
对自然数x而言，π(x)是表示p≤x 的素数个数。

高斯的素数定理计算得出素数个数在 x变化过程中π(x)=x/ln(x) 的相对误差变化情况：
x=10, π(10)=4;
x=10^2, π(10^2)=25； x/ln(x)≈ 22，Δ≈-0.1314；
x=10^3,π(10^3)=168；x/ln(x)≈145 ，Δ≈-0.1383；
x=10^4,π(10^4)=1229；x/ln(x)≈1086 ，Δ≈-0.11635；
x=10^5,π(10^5)=9592；x/ln(x)≈ 8686，Δ≈-0.09445；
x=10^6,π(10^6)=78498；x/ln(x)≈72382 ，Δ≈-0.07791；
x=10^7,π(10^7)=664579；x/ln(x)≈620421 ，Δ≈-0.066445；
x=10^8,π(10^8)=5761455；x/ln(x)≈5428681 ，Δ≈-0.057759；
x=10^9,π(10^9)=50847534,x/ln(x)≈ 48,254,942，Δ≈-0.050988；
x=10^10,π(10^10)=455052511；x/ln(x)≈434,294,482 ，Δ≈-0.045617；
x=10^11,π(10^11)=4118054813；x/ln(x)≈3,948,131,654 ，Δ≈-0.041263；
x=10^12,π(10^12)=37607912018 ；x/ln(x)≈36,191,206,825 ，Δ≈-0.03767；
x=10^13,π(10^13)=346065536839 ；x/ln(x)≈334,072,678,387 ，Δ≈-0.034565；
x=10^14,π(10^14)=3204941750802 ；x/ln(x)≈3,102,103,442,166 ，Δ≈-0.032087；
x=10^15,π(10^15)=29844570422669 ；x/ln(x)≈28,952,965,460,216 ，Δ≈-0.029875；
x=10^16,π(10^16)=279238341033925；x/ln(x)≈ 271,434,051,189,528，Δ≈-0.027948；
x=10^17,π(10^17)=2623557157654233；x/ln(x)≈2,554,673,422,960,262 ，Δ≈-0.0262559；
x=10^18,π(10^18)=24739954287740860；x/ln(x)≈24,127,471,216,846,922 ，Δ≈-0.024568；
x=10^19,π(10^19)= 234057667276344607；x/ln(x)≈228,576,043,106,970,842 ，Δ≈-0.023420；
x=10^20,π(10^20)= 2220819602560918840；x/ln(x)≈2,171,472,409,516,223,002 ，Δ≈-0.0222203；
x=10^21,π(10^21)= 21127269486018731928 ；x/ln(x)≈20,680,689,614,440,219,071 ，Δ≈-0.0211376；
x=10^22,π(10^22)=201467286689315906290；x/ln(x)≈ 197,406,582,683,293,000,222，Δ≈-0.0201556；
x=10^23,π(10^23)=1925320391606803968923；x/ln(x)≈1,888,236,877,840,193,915,163 ，Δ≈-0.019261；

随x的增大，计算值的相对误差愈来愈小，素数定理计算的x/ln(x)值从下界逐渐的逼近真值π(x)。
这里有个素数的发生率问题，显然实际的素数发生率p(x)=π(x)/x 。
当x→∞时，素数发生率10^n=π(x)/x的变化趋势会怎么样呢？
由于在x→∞时，π(x)/x=1/ln(x) , 并且x/ln(x)值无限逼近真值π(x) ，这是素数定理所证明的定论。
而这里的1/ln(x) 则为理论素数发生率。
因此当数采用指数形式表示时，对于两个大数：
x1=10^n ；x2=10^(n+1) ，
两者的实际素数发生率之比值近似于两者的理论素数发生率之比。
比值≈ 1/ln(x2)：1/ln(x1) =ln(x1)/ln(x2) ,

在x→∞时, x=10^n 的指数同样有n→∞ ,有 lim [n/(n+1)]=1 。
因此在x→∞时,素数发生率π(x)/x的下降会愈来愈缓慢，π(x)/x的极限应该略微的比一个能够计算的大数x的π(x)/x 小；这个比值乃是两个不等阶的无穷大的比，是不可能等于零的。

看看实际的素数发生率的数据bi={π[10^(n+1)]/10^(n+1)} / {[π(10^n)/10^n]} 的数据，是否正是显示这样趋势呢？
x=10, π(10)=4;
x=10^2, π(10^2)= 25；bi=0.625
x=10^3,π(10^3)= 168；bi=0.672
x=10^4,π(10^4)= 1229；bi≈0.73155
x=10^5,π(10^5)= 9592；bi≈0.78047
x=10^6,π(10^6)= 78498；bi≈0.81837
x=10^7,π(10^7)= 664579；bi≈0.84662
x=10^8,π(10^8)= 5761455；bi≈0.86693
x=10^9,π(10^9)= 50847534,bi≈0.882547
x=10^10,π(10^10)= 455052511；bi≈0.894935
x=10^11,π(10^11)= 4118054813；bi≈0.904963
x=10^12,π(10^12)= 37607912018 ；bi≈0.913245
x=10^13,π(10^13)= 346065536839 ；bi≈0.920193
x=10^14,π(10^14)= 3204941750802 ；bi≈0.926108
x=10^15,π(10^15)= 29844570422669 ；bi≈0.931205
x=10^16,π(10^16)= 279238341033925；bi≈0.935642
x=10^17,π(10^17)= 2623557157654233；bi≈0.9395402
x=10^18,π(10^18)= 24739954287740860；bi≈.94299277
x=10^19,π(10^19)= 234057667276344607；bi≈0.9460715
x=10^20,π(10^20)= 2220819602560918840；bi≈0.9488344
x=10^21,π(10^21)= 21127269486018731928；bi≈0.9513276
x=10^22,π(10^22)= 201467286689315906290；bi≈0.9535889
x=10^23,π(10^23)= 1925320391606803968923；bi≈0.9556491

而依据两个不同x时的素数发生率的比值≈ 1/ln(x2)：1/ln(x1) =ln(x1)/ln(x2)
以此计算一下:
ln(10^22)/ln(10^23)=50.656872/52.959475≈0.956521416,与上面实际素数出现率之比0.9556491也是相近的。
因此在x→∞时, x=10^n 的指数同样有 n→∞ ,有 lim [n/(n+1)]=1
而bi=π[10^(n+1)]/10^(n+1)/[π(10^n)/10^n]必然趋近于0.9999…。
此时素数发生率 π(10^n)/10^n 在扩大10倍的情况下也几乎不变，可以看作是极限。显然没有看出丝毫素数发生率趋于0的迹象。

作者: 任在深 时间: 2020-1-8 22:08
本帖最后由任在深于 2020-1-8 22:53 编辑

[attach]81250[/attach]

愚工688 发表于 2020-1-8 19:53
实践是验证理论的唯一手段。
提出素数出现率趋于0的论者，应该验证一下在x趋大的过程中，实际素数出现 ...

n

显然楼主不懂得纯粹数学是属于结构数学？！

请看无穷大的单位数2n"的结构图！

宇宙单位数是边长为√2n,n→∞时的正方形的面积2n"（单位）。

0--------1--------2--------3......n
                                          n→∞时，当仅当n+1之后都是无穷大的数，是无法表示的具体数值！因此2n"中只有
2n----2n-1----2n-2---2n-3.....n                0-n"是可数的单位数，n"-2n"已经是无穷大的不可数的单位数！
                                                         虽然0"-n"可数，其中只剩下1/4的奇数单位，因此素数单位出现的概率几乎是零！

作者: wangyangke 时间: 2020-1-9 05:06
愚工688懂理论，善于实践；在愚工688“素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论”中胜出！

作者: wangyangke 时间: 2020-1-9 05:07
愚工688懂理论，善于实践；在愚工688“素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论”中胜出！

作者: 任在深 时间: 2020-1-10 11:50
《中华单位论》之中华素数单位定理。

   1.定理5：任意偶合数单位含有素数单位Pn的个数是π(2n).

                              2n+12(√2n-1)
         (1) π(2n)= ----------------------
                                    An

      再看一看西方的错误定理？！

         *** π(X)≈X/lnX,是个什么玩意？？？？？？

作者: 愚工688 时间: 2020-1-11 11:21

任在深发表于 2020-1-10 03:50
《中华单位论》之中华素数单位定理。

1.定理5：任意偶合数单位含有素数单位Pn的个数是π(2n).

任大师的理论，虽然冠名了“中华”两个字，但是又几个中国人能够看懂？

作者: 任在深 时间: 2020-1-11 12:56

愚工688 发表于 2020-1-11 11:21
任大师的理论，虽然冠名了“中华”两个字，但是又几个中国人能够看懂？

楼主你好！
   你说的很对！！
   就目前而言，确实没有几个中国数学人看得懂！！！
   因为你们都被错误的西方数学“理论”所迷惑；而忘记了中国的数学思想！！！！
   这与历史，学术......很多问题有关，所以很多人忘记了祖宗的教诲，忘记了“天圆地方”，忘记了
   “勾股定理”，忘记了中华民族的数学思想，致使本末倒置！崇洋媚外！致使数学停滞不前！！！
   这是数学的悲哀！是中国数学思想的悲哀！！同时也是世界数学的悲哀！！！
   您以为如何？

作者: 大傻8888888 时间: 2020-1-12 21:36
设m≥1，n﹥a≥1
则有[1/x^(n/m)]/[1/x^(a/m)]=1/x^[(n-a)/m]
当时x→∞ 1/x^[(n-a)/m]→0
所以[1/x^(n/m)]是比[1/x^(a/m)]高阶的无穷小
因此在x→∞时,[1/x^(n/m)]/[1/x^(a/m)]的下降会根据这两个比值越接近愈来愈缓慢，但是不影响[1/x^(n/m)]是比[1/x^(a/m)]高阶的无穷小
所以用[1/x^(n/m)]/[1/x^(a/m)]的下降会根据这两个比值越接近愈来愈缓慢，而认为[1/x^(n/m)]和[1/x^(a/m)]是同阶无穷小则是错误的，无论列举多少数据也无济于事

作者: 愚工688 时间: 2020-1-13 11:24

大傻8888888 发表于 2020-1-12 13:36
设m≥1，n﹥a≥1
则有[1/x^(n/m)]/[1/x^(a/m)]=1/x^[(n-a)/m]
当时x→∞ 1/x^[(n-a)/m]→0

不要自以为是的修正判断两个无穷小量的阶的概念。
无穷小量阶的概念指明：
(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);
但是你的证明却并没有证明着一点，而是证明与两个无穷小量无关的东西。
即使是(n-a)/m=1，那么1/x^[(n-a)/m]也是→0的。
严格按照阶的概念的内容去证明，而不是按照自以为是的东西来“证明”两个无穷小量的阶的高低。

作者: 愚工688 时间: 2020-1-13 11:34

任在深发表于 2020-1-11 04:56
楼主你好！
你说的很对！！
就目前而言，确实没有几个中国数学人看得懂！！！

你纯属是臆想。
你的“理论”纯率是胡说八道，与中国数学思想没有丝毫关系。
与 “勾股定理”，“天圆地方”有什么联系？
哥猜的主题就是计数：任何大偶数分成的素数对数量能否一定存在，与你的宇宙结构“天圆地方”有什么搭界？

作者: 任在深 时间: 2020-1-13 12:29
本帖最后由任在深于 2020-1-13 12:33 编辑

愚工688 发表于 2020-1-13 11:34
你纯属是臆想。
你的“理论”纯率是胡说八道，与中国数学思想没有丝毫关系。
与 “勾股定理”，“天圆 ...

迷迷糊糊混春秋，
不懂数理胡乱诌？
天圆地方是国粹！
中华单位万数首！

作者: 大傻8888888 时间: 2020-1-13 22:05
“(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);”
设m≥1，n﹥a≥1
则有[1/x^(n/m)]/[1/x^(a/m)]=1/x^[(n-a)/m]
当时x→∞ 1/x^[(n-a)/m]→0
上面[1/x^(n/m)]=u，[1/x^(a/m)]=v 并且 lim u/v =0 ，这说明分子[1/x^(n/m)]趋于0的速度比分母[1/x^(a/m)]趋于0的速度要快得多，则称为[1/x^(n/m)]为比[1/x^(a/m)]高价的无穷小。我的证明完全符合无穷小量阶的概念。
不管怎么说承认“(n-a)/m=1，那么1/x^[(n-a)/m]也是→0的”也算有进步，可喜可贺了。

作者: 愚工688 时间: 2020-1-14 12:25

大傻8888888 发表于 2020-1-13 14:05
“(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记 ...

设α(x),β(x)都是对应于某同一极限过程的无穷小量.
若lim α(x)／β(x)= c ≠0, 则α(x)与β(x)是同阶无穷小.
若 lim α(x)／β(x) =0，则 α(x)是β(x)的高阶无穷小，记为 α=ο(β);
特别 lim α(x)／β(x) = 1 ，则α(x)是β(x)是等价无穷小，记为 α~β

显然，两个无穷小量的比较，都是对应于某同一极限过程的无穷小量.
那么你所谓的证明是什么？
1/x^(n/m)是无穷小量吗？请先确定n,m值吧！
[1/x^(a/m)是无穷小量吗？请先确定a,m值吧！
若在x→∞的过程中，a,n,m都是变量的话，怎么进行比较？
怎么比较两个无穷小量的阶的高低？
所以所谓的证明只能是瞎证。一厢情愿的证明。

作者: 任在深 时间: 2020-1-14 12:42
本帖最后由任在深于 2020-1-14 12:43 编辑

愚工688 发表于 2020-1-14 12:25
设α(x),β(x)都是对应于某同一极限过程的无穷小量.
若lim α(x)／β(x)= c ≠0, 则α(x)与β(x) ...

不懂数理关系，不懂结构关系，不懂比列关系！
果然都是瞎证！！

作者: 任在深 时间: 2020-1-14 20:46
本帖最后由任在深于 2020-1-14 20:54 编辑

愚工688
哇塞！任大师不愧为大师啊！你的中华素数单位定理（见63楼）什么时候又进化为“中华宇宙单位数”啦（见69楼）？牛皮不怕吹爆吗？  发表于 2020-1-14 14:02
********************************************************************************
      你既然知道《中华单位论》，你应该好好看看！
               欢迎你批评指正！！
               不要拿西方的错误理论当狗头金！否则你必将一事无成！！

作者: 大傻8888888 时间: 2020-1-14 21:59
1/x^(n/m)是无穷小量，随便举个例子n=5，m=3 即1/x^(5/3)，当x→∞，1/x^(5/3)→0
同样1/x^(a/m)也是无穷小量，如a=1，m=3，即1/x^(1/3)，当x→∞，1/x^(1/3)→0
[1/x^(n/m)]/[1/x^(a/m)]=[1/x^(5/3)]/[1/x^(1/3)]=1/x^(4/3)，当x→∞，1/x^(4/3)→0
所以[1/x^(n/m)]是比[1/x^(a/m)]高阶的无穷小量。
只要是符合m≥1，n﹥a≥1上面的公式都成立。没有必要确定m，n，a的具体值。
正如先生说1/x^[(n-a)/m]中[(n-a)/m]=1时，即n=2，m=a=1，1/x^[(n-a)/m]，当x→∞，1/x→0是无穷小量一样。
另外说一句题外话，我不知道什么是瞎证，只能是说这话的人理屈词穷无话可说罢了。

作者: 愚工688 时间: 2020-1-15 13:19

大傻8888888 发表于 2020-1-14 13:59
1/x^(n/m)是无穷小量，随便举个例子n=5，m=3 即1/x^(5/3)，当x→∞，1/x^(5/3)→0
同样1/x^(a/m)也是无穷 ...

1/x^(n/m)并不是无穷小量，只是你自以为是认定的无穷小量。

在你的1/x^(n/m）中，在x→∞时，n,m都是不定值，因此1/x^(n/m）不一定是个无穷小量。
谬论：只要是符合m≥1，n﹥a≥1上面的公式都成立。没有必要确定m，n，a的具体值。
这是极其荒谬的结论。
在x趋大时，如果m，n的具体值不确定，那么必然1/x^(n/m）的极限也不能确定。只要 n/m比较小，那么1/x^(n/m）的极限必然趋近于1，而不是0.
举例：
1），m=10000,n=2时;
x趋大的过程中：
1/1000^0.0002=0.99862
1/100000^0.0002=0.9977
1/10000000^0.0002=0.99678
1/1000000000^0.0002=0.99586
……
显然，即使是x值百倍、百倍的扩大，1/x^(n/m）的值仅仅是缓慢的缩小，根本没有趋于0的趋向；
如果n/m的比值更小，则1/x^(n/m）的值更趋近于1 。

2，m=100000000,n=2时;
x趋大的过程中：
1/1000^0.00000002=0.99999986
1/100000^0.00000002=0.99999977
1/10000000^0.00000002=0.999999678
1/1000000000^0.00000002=0.999999586
……
由于任意大数的0次幂等于1，因此不管x趋向无穷大，只要n/m的比值足够小，1/x^(n/m）的值必然趋近于1，而不是无穷小。

素数出现率的1/π(x),是与x关联的无穷小量；
同样连乘式的素数出现率的p(x)=1/2*π(1-1/p);p是≤√x的奇素数。中间的p，也是被x所限定。

对于无穷多的素数视而不见，如同鸵鸟般的把头盯着自己的理论，搞出个多变量的不定式，却妄称是无穷小量，以此妄图证明素数出现率趋于无穷小，可笑啊！

作者: 大傻8888888 时间: 2020-1-15 21:30
1/x^(n/m）中，在x→∞时，n,m只要是符合m≥1，n﹥a≥1的值，1/x^(n/m）一定是个无穷小量。
没有必要确定m，n，a的具体值，是说只要符合m≥1，n﹥a≥1的值都可以。
比如m=100000000,n=2时;
x趋大的过程中：
1/1000^0.00000002=0.99999986
1/100000^0.00000002=0.99999977
1/10000000^0.00000002=0.999999678
1/1000000000^0.00000002=0.999999586
......
可以明显看出随着x变大，1/x^(n/m）在变小，x→∞时，则1/x^(2/100000000）→0
因为x是正整数，所以x的任何大于0次的幂都大于1，即使n/m的比值足够小，都可以保证 1/x^(n/m）中 (n/m）的值大于0。当x→∞，x的任何大于0次的幂都趋近无限大，当然它的倒数趋近0。
至于素数出现率趋于无穷小我已经证明过了，这个问题已经解决了，不是你说不成立就不成立。
我现在是进一步给出判定两个无穷小量哪个是高阶无穷小量的一般公式，从这个公式可以当x→∞看出有些高阶无穷小量除以低阶无穷小量变小的速度很快，而有些高阶无穷小量除以低阶无穷小量变小的速度比较慢，但是最后都趋近0。所以变小速度的快慢不是判定无穷小量阶的标准。只有limu/v=0，则称为u为比v高阶的无穷小量，这时分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度快得多。

作者: 愚工688 时间: 2020-1-16 15:15

大傻8888888 发表于 2020-1-15 13:30
1/x^(n/m）中，在x→∞时，n,m只要是符合m≥1，n﹥a≥1的值，1/x^(n/m）一定是个无穷小量。
没有必要确定m ...

无穷小量的比较，阶的高低，就应该遵守无穷小量阶的概念，而不是篡改无穷小量阶的概念：
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
(4)若 lim u/v =1 ,这说明分子u与分母v趋于0的速度一样，则称为u与v 是等阶的无穷小量，记作u～v。

谬论：当x→∞看出有些高阶无穷小量除以低阶无穷小量变小的速度很快，而有些高阶无穷小量除以低阶无穷小量变小的速度比较慢，但是最后都趋近0。所以变小速度的快慢不是判定无穷小量阶的标准。

无穷小量阶的高低的概念由你要重写了！

作者: 大傻8888888 时间: 2020-1-16 23:31
无穷小量阶的高低的判断标准就是limu/v=0，则称为u为比v高阶的无穷小量。
只所以“变小速度的快慢不是判定无穷小量阶的标准”，举一个最简单的例子1/x^4是比1/x高阶的无穷小量，同样1/x^2也是比1/x高阶的无穷小量。可以明显看出(1/x^4)/(1/x)=1/x^3变小的速度比(1/x^2)/(1/x)=1/x变小的速度快得多，这时不能因为(1/x^2)/(1/x)=1/x比(1/x^4)/(1/x)=1/x^3变小的速度慢得多，就认为当x→∞ (1/x^2)和(1/x)是同阶的无穷小，这才是真正的谬论。

作者: 任在深 时间: 2020-1-17 22:16
楼上二位不懂数理，乱呛汤！
有意思吗？

作者: 大傻8888888 时间: 2020-1-17 23:20
真理越辩越明
错误寸步难行
网友互相切磋
你来我往争雄
快哉快哉

作者: 愚工688 时间: 2020-1-19 21:49

大傻8888888 发表于 2020-1-16 15:31
无穷小量阶的高低的判断标准就是limu/v=0，则称为u为比v高阶的无穷小量。
只所以“变小速度的快慢不是判定 ...

瞎比较，有用吗？

我们讨论的是素数出现率。
因此要比较两个无穷小量的阶的高低，只能是关于素数出现率的有关无穷小量。
1，在x→∞时，素数出现率 π(x)/x=1/ln(x)中的两个无穷小量：1/π(x),1/x的比较；
2，在x→∞时，p(x)=π(1-1/p)=π[(p-1)/p]=π(1/p)/π[1/(p-1)];  p≤√x的素数。
因此就是比较π(1/p)与π[1/(p-1)]两个无穷小量的趋于0的速度来判断阶的高低。
而不是如同你那样使用无关的无穷小量来进行比较。
因为即使你判断了下面的无穷小量的阶的高低：
  1/x 的阶低于  1/x^2 ;
  1/x^2  的阶低于 1/x^3;
  1/x^3 的阶低于 1/x^4;
……
那么这些比较与素数出现率有什么关系？
既然你认为素数出现率的两个无穷小量的阶的高低与它们趋于0的速度无关，那么我们之间还有什么讨论的基础与必要呢？
看清楚我的帖子的题目《素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论》
当然你也可以公开发表你认为“无穷小量比较阶的概念的极限基础理论”是错误的，教科书上面的极限理论是错误的帖子，那与我无关，我也不会同你讨论这种奇谈怪论。

作者: 大傻8888888 时间: 2020-1-20 23:11
再说一遍在x→∞时，素数出现率 π(x)/x=[x/ln(x)]/x=[1/x]/[1/π(x)]=1/ln(x)→0
完全符合无穷小量比较的极限基础理论limu/v=0，则称为u为比v高阶的无穷小量，这里u=1/x，v=1/π(x)，所以题目《素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论》是一个彻底的错误观点，必将扔进垃圾堆，遗臭于这个数学论坛。
这个问题到此为止，对于胡搅蛮缠，死不认错的人恕不奉陪。并祝你不要以为自己的观点被否认影响春节的愉快。愿你在新的一年学习进步。如果你死抱着错误观点不改那与我无关，我也不会再同你讨论这种奇谈怪论。

作者: yangchuanju 时间: 2022-7-3 19:58
顶起来，观摩观摩、浏览浏览！

作者: 任在深 时间: 2022-7-3 21:31
本帖最后由任在深于 2022-7-3 21:52 编辑

《中华单位论》证明：
定理7：素数单位π(2n)在单位数Mn中出现的概率为0.
         其中：
         证
               因为  (1) π(2n)={[Mn+12(Mn-1)]/(√Mn-), Mn=2n
               所以  (2)  lim[π(Mn)/Mn]=lim{[Mn+12(√Mn-1)]/(√Mn-1)}/Mn
                           n→∞                   n→∞
                                                   =lim(Mn/(√Mn-1)Mn+lim[12(√Mn-1)/Mn(√Mn-1)
                                                      n→∞                         n→∞
                                                   =lim1/(√Mn-1)+lim12/Mn
                                                      n→∞             n→∞
                                                   = 0+0
                                                   =0
                           証毕。
  注意！你们怎么用极小值去证明？无穷之后应该是求极大值呀？

作者: 大傻8888888 时间: 2022-7-4 21:41
和愚工688先生争论使我得出以下结果：
发表于 2020-3-16 11:24
设m≥1，n﹥a≥1 　（m，n，a都是大于1的自然数）
则有[1/x^(n/m)]/[1/x^(a/m)]=1/x^[(n-a)/m]
当时x→∞ 1/x^[(n-a)/m]→0
上面[1/x^(n/m)]=u，[1/x^(a/m)]=v 并且 lim u/v =0 ，这说明分子[1/x^(n/m)]趋于0的速度比分母[1/x^(a/m)]趋于0的速度要快得多，根据 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，则称为[1/x^(n/m)]为比[1/x^(a/m)]高价的无穷小量。
这个公式是我根据愚工688先生提供无穷小量阶的高低定义得出的公式。

作者: 大傻8888888 时间: 2022-7-4 22:07
“我只依据现有的极限理论、极限运算法则去解决具体的极限问题”，结果得出了素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论，岂不是玷污了极限理论和极限运算法则？

作者: 大傻8888888 时间: 2022-7-4 22:37
是的，这个问题大家都心知肚明，是愚工688先生坚持说他是对的，才造成现在这个局面。

作者: 重生888@ 时间: 2022-7-5 07:38
求助：这个等式1/1000^0.00000002=0.99999986是怎么得出的？我不会，求好友们给出步骤，谢谢！

作者: 重生888@ 时间: 2022-7-5 10:17
顶上来，我实在搞不懂88楼式子！

作者: yangchuanju 时间: 2022-7-5 12:06

重生888@ 发表于 2022-7-5 07:38
求助：这个等式1/1000^0.00000002=0.99999986是怎么得出的？我不会，求好友们给出步骤，谢谢！

1/1000^0.00000002=0.99999986
1000^0.00000002= 1.000000138
1/1.000000138= 0.999999862

作者: 重生888@ 时间: 2022-7-5 13:44

yangchuanju 发表于 2022-7-5 12:06
1/1000^0.00000002=0.99999986
1000^0.00000002= 1.000000138
1/1.000000138= 0.999999862

谢谢杨先生！先将指数计算出来，然后再计算。谢谢！

作者: 愚工688 时间: 2022-7-5 15:40
本帖最后由愚工688 于 2022-7-5 07:47 编辑

大傻8888888 发表于 2022-7-4 13:41
和愚工688先生争论使我得出以下结果：
发表于 2020-3-16 11:24
设m≥1，n﹥a≥1 　（m，n，a都是大于1 ...

和愚工688先生争论使我得出以下结果：
发表于 2020-3-16 11:24
设m≥1，n﹥a≥1 　（m，n，a都是大于1的自然数）
则有[1/x^(n/m)]/[1/x^(a/m)]=1/x^[(n-a)/m]
当时x→∞ 1/x^[(n-a)/m]→0
上面[1/x^(n/m)]=u，[1/x^(a/m)]=v 并且 lim u/v =0 ，这说明分子[1/x^(n/m)]趋于0的速度比分母[1/x^(a/m)]趋于0的速度要快得多，根据 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，则称为[1/x^(n/m)]为比[1/x^(a/m)]高价的无穷小量。
这个公式是我根据愚工688先生提供无穷小量阶的高低定义得出的公式。

胡编乱造一个公式，仅仅口说一句“说明分子[1/x^(n/m)]趋于0的速度比分母[1/x^(a/m)]趋于0的速度要快得多”是不够的，一要拿出具体的比较的数据来显示阶高低的判断正确性，二要说明你造出的这个公式与素数定理的素数发生率1/ln X的关系。——为什么能够判断素数定理的π（X）/X的比值？

现在阿狗阿猫都能够造出公式来媲美无穷小量比较的法则，来取代无穷小量阶的判断等极限基础理论了！
今天又不是愚人节啊！怎么会有人试图挑战极限基础理论：
无穷小量的比较
设α(x),β(x)都是对应于某同一极限过程的无穷小量.

若lim α(x)／β(x)= c ≠0, 则α(x)与β(x)是同阶无穷小.
若 lim α(x)／β(x) =0，则 α(x)是β(x)的高阶无穷小，记为 α=ο(β);
特别 lim α(x)／β(x) = 1 ，则α(x)是β(x)是等价无穷小，记为 α~β

挑战无穷小量阶的概念判断准则：
教科书上对于无穷小量的阶的概念做确切的叙述：（摘自《高等数学》教材28页，书号：13012.096）
设u,v是两个无穷小量，即lim u=0,lim v=0,
(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);
(2)若 lim u/v =∞ ,这说明分母v趋于0的速度比分子u趋于0的速度要快得多，则称为u为比v低价的无穷小量；
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
(4)若 lim u/v =1 ,这说明分子u与分母v趋于0的速度一样，则称为u与v 是等阶的无穷小量，记作u～v。

试图用自己造出来的公式来取代它们？

作者: lusishun 时间: 2022-7-28 13:06

愚工688 发表于 2022-7-5 07:40
和愚工688先生争论使我得出以下结果：
发表于 2020-3-16 11:24
设m≥1，n﹥a≥1 　（m，n，a都是 ...

这是愚工688的贴子

作者: 重生888@ 时间: 2022-7-28 15:58
愚工先生在计算偶数素数对方面是领军人物！

欢迎光临数学中国 (http://www.mathchina.com/bbs/)