在 1 到 100 的正整数中，有几个数无法写成两个正整数的平方差？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

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题  在 1 到 100 的正整数中，有几个数无法写成两个正整数的平方差？

解  假设一个正整数 n 可以写成两个正整数 a,b 的平方差，则必有

                 n = a^2-b^2 =(a+b)(a-b) 。

   如果 a,b 奇偶相同，则 a+b 和 a-b 都是偶数，都有一个 2 的因数，所以这时

n = (a+b)(a-b) 必定是 2×2 = 4 的倍数。

   如果 a,b 奇偶不同，则 a+b 和 a-b 都是奇数，这时 n = (a+b)(a-b) 必定是

一个奇数。

   反过来，如果 n = 4k 是一个大于 4 的 4 的倍数，则有 n = 4k =(k+1)^2-(k-1)^2 ，

n 可以表示为两个正整数 k+1,k-1 的平方差。

   但是 n = 4 不能表示成两个正整数 a,b 的平方差，因为假如有

4 = n = a^2-b^2 = (a+b)(a-b) ，则必须要有 a+b = a-b = 2 ，这时必须有 b = 0 ，

与 b 是正整数矛盾。可见 n = 4 不能写成两个正整数的平方和。

   如果 n = 2k+1 是一个大于 1 的奇数，则有 n = 2k+1 = (k+1)^2 - k^2 ，n 可

以表示为两个正整数 k+1,k 的平方差。

   但是奇数 n = 1 不能表示为两个正整数 a,b 的平方差，因为假如有

1 = n = a^2-b^2 = (a+b)(a-b) ，则必须要有 a+b = a-b = 1 ，这时必须有 b = 0 ，

与 b 是正整数矛盾。可见 n = 1 不能写成两个正整数的平方和。

   由上面的分析可知，一个正整数 n 能写成两个正整数平方差的充分必要条件是：

或者 n 是一个大于 4 的 4 的倍数，或者 n 是一个大于 1 的奇数。

   在 1～100 中，大于 4 的 4 的倍数有 100/4-1 = 24 个，大于 1 的奇数有 100/2-1 = 49 个，

所以，在 1～100 中，能写成两个正整数平方差的数，共有 24+49 = 73 个。

   在 1～100 中，无法写成两个正整数平方差的数，有 100-73 = 27 个。