“时空量子化”的关键：纠正数学课本一系列重大错误

hxl268

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“时空量子化”的关键：纠正数学课本一系列重大错误
     ——证明实数轴有最小、大正数点推翻百年集论
（公开发表在《科技信息》2011（17））
黄小宁（广州市华南师大南区9-303  邮编510631）
【摘要】破解“时空量子化”难题的关键：须知“点无大小”是初等几何最重大根本错误。近似计算常识凸显R轴相比下是极短直线段，R仅是实数全体的沧海一粟而远不够用，中学“R各点可与全部实数一一配对；…”等是一系列重大根本错误——微积分不能自圆其说的症结。揭示：否定无穷数使极限论的思想极其混乱；R轴由长为R的最小正数的点组成；各相应曲线是由充分短直线段连接成的；没空隙的y=x轴的区间D各点y=x都沿轴保序增距移动变为点y′=2x形成比D长的ZÌy′=2x轴的原因只能是①D～Z各点都弹性变长了②或点与点之间都拉开了一段距离而使其所占据的空间变长了，使Z有许多空隙（各点可变大填补空隙；Z变回D是因…），否则就是点的保距变换了；将大小不同的点或有空隙与无空隙的线混为一谈，就误以为DÌZ而推出：Z的点能与其真子集的点一样多；有半径相等的两圆的点不可一一配对从而不≌更不可重合相等。
[关键词]点有大小；最小正数；无穷大和最大自然数及其倒数；数轴有两端点；推翻百年：集论、“R完备”定理、自然数公理；有空隙的数轴；有序集的元的保序变换

“科学”共识：初等数学绝不会有重大根本错误。“反科学”的太“狂妄”发现来自于太明显事实：①说“对于R+(由一切正数组成)一个不漏的每一元x都有对应y=2x>x>0”就是说有正数y>所有正数x——初数竟一直隐含此类重大病句！②沿R轴负向滚动的点的坐标x是由大到小取值的，这样取值的距离函数x≥0不取尽变域U的一切正数就绝不能取0即必取到无正数可取了才取0；然而有数学定理断定此x由1→0时总与0至少相隔一正数如x/2∈U而始终不能取到无正数可取——从而更不能取0——尖锐矛盾——由数学定理竟推出数学的动点、物理的质点根本不能动！运动存在的事实决定了R轴必有最小正数点。另一方面因轴是连续的，故沿轴动的点x从原点o→x=1处不经过与o只相隔1个、2个、…有穷多个点∈轴的阶段就绝不可进入与o相隔无穷多个点∈轴的阶段，但有数学定理断定动点能到达的各正数点位置x都与o相隔无穷多个正数点∈轴——显然抹杀了x有序渐变的连续变化性（1999.11《扬子晚报》等报曾报道称黄乘规“成功论证了数学史上关于不可分割的连续体的猜想”）。
本文发现引起数学危机的悖论并力图消除之，是[1]的继续，第3节由“一对一”常识仅用13字符就推翻了百年集论。化解“不能动”危机的关键是实现“空间量子化”论证数学史上关于线、面结构的著名猜想为何行之有效。产生引起常规科学危机的真正的科学悖论都是因主观认识与客观实际不符。人们对数学缺乏深刻认识才误以为其“严密精确”，正如古人以为地球是平板状天体一样。
1.中学应有的变量与代数启蒙知识——推翻“x轴各点与全部实数一一对应”定理以及百年自然数公理、“R完备”定理
设各函数的定义域、值域分别都可由D及Z代表；DЭx（读作“D的每一元x”）表示D的元都由x代表，x的变域是D；x、y∈B表示变量x、y所取数x、y都∈B。故x具有既是变量同时也代表D内任一定数的两重性（前、后文联系来看就知此x是变量，彼x是定量）。故若代数式x>y的x代表任何正数则此式代表的内容之一：有数y<任何正数；…。“任意一个”是全称量词，“对于Z的任一（一切）元y=x+1都有正数x<y即ZЭy>x>0”就是说有正数x<Z的一切元y，因式中y可一个不漏地遍取Z的一切数y使代表数的x必可一个不漏地遍比Z一切y都小而代表（取）Z外数。同样“对于任一正数x都有y=x-1<x”就是说有数y<一切正数x。同理“书上x轴所有正数点的坐标数组成的R+Эx>x/2=y1>0”明确表达定义域为R+的y1=x/2的值域Z有R+外正数y1<R+一切元x；同样R+Эx<2x=y2>0表示…。故说R+含一切正数就是说有正数y<（>）一切正数——病句！故“R完备”定理及中学“y1、y2等等的值域Z都=R+且含一切正数，x轴各点与全部实数一一对应。”是极重大错误。后文有严格证明。故中学“常识”：“对于非0自然数集（列）N一个不漏的每一数n都有对应自然数n+1>n”是病句：有自然数>每一非0自然数。应改为“…对应正整数n+1>n”。由上述启蒙知识及逻辑常识“若有序数集B从大到小的一切元y都有对应x∈A<y则A必至少有一数x<B一切元y。”显然有
h事实：YЭy>x∈X一目了然地表达X有Y外数x<Y一切元y；同样XЭx<y∈Y表Y有数y>X一切元x。故R+Эx>x/2=y∈R+是病句：…；…。
2.起码逻辑学常识表明各无穷数列都有末项
设A～A表示两A的元已一一配对：x x。起码逻辑学常识：无穷多对“夫妻”之间互相任意“换妻”必还是可一一配对。例序列P={□1□2□3...}中各“旅馆房间”□与N各数已一一配对，各数之间无论如何调房都不能改变□与数双方的一一配对性（以下简记为：～性）。鲜明对比的是若任一方单独增减员就必打破～性。例增一□得□□1□2...中的□就没数与之配对，除非拆散某对“夫妻”；此序列各数都左移一格得P′={□1□2□3...}——百年假象：P′=P。殊不知□与1配对，原□1就被拆为□，再拆散□2…，再拆…，…——总保持有一对“夫妻”被挖去数而成□，故在无穷远处必有一肉眼看不到的□。人有逻辑推理能力，慧眼能洞察序列所有成员的配对情况而不被目光太短浅的肉眼所骗，不被“拆东补西”术迷惑。又如给定的无穷序列J各项分别都占有一空间位置“房间”，J的任何非首项都可改为是首项，别的任何项都可改为是项2，...都不能改变项的位置与项数n的～性。
    道理很简单：无穷集C～D而不～E完全是由于C与D分别包含一样多个元而至少比E多或少含一个元，称D与C等容（两集容量相等）。而改变配对方式并没使各集的元有任何增减，当然就不会改变其“一样多”性，当且仅当改变此性才能打破双方的可～性。例如数偶列{（-1，1）}的所有数的和s=（-1+1）+（-1+1）+…=0是因s中的1与-1一样多而可一一配对，谁也不能将各不同位置上的1与-1重新配对而使s≠0。鲜明对比的是在等号两边加1或（-1）就打破了1与-1一样多的格局使s±1=0±1=±1而≠0，两边再+一相应项就恢复了…。盖因只有增减项才能改变序列的项的多少而使...。故以上形象直观地显示以下革命道理：
引理1：若C～D则无论用何配对方式C（D）各元都必可同时都有“配偶”∈D（C），正如集论常识c“若C～N则C的元都可配上非0自然数号码记为元1，元2，...；其中C的任何元都可是元1，确定元1后，其余的任何元都可是元2，…； C任一元可轮换地与N每一元配对即配对的方式与N的元一样多。”一样；若至少有一元不可有配偶∈对方集就证明C～D不真。
证：让C、D的元一一配对后再：⑴让任一方的元互相任意对调位置并没改变双方元的～性。例序列N：1，2，3，...（各数n都在n号位）中的1与2对调得2，1，3，4，...中的1与4对调得2，4，3，1，5，6，...中的3与6对调得2，4，6，1，5，3，7，8，... 中的...——由此可知用对调法则将各2n∈N都调到2n/2号位不改变N各数与各位置号码数n∈N的～性，故各2n-1∈N也都有位置号码an∈N与之配对。因通过对调位置而将N各2n都调到n号位所得数列F包含N全部数，故F由两数列组成：前列含N全部偶数，后列的数都是奇数∈N且都处在一切2n的后面：
2，4，...，2n，...；奇数bn（n=1，2，...）
（虽然不知各奇数之间的前后位置关系）。⑵让任一对子（xa，ya）中的xa改为与（xb，yb）的yb 配为（xa，yb）（即换配对方式）就产生一对而非一个“单身”元ya∈D与xb∈C，xb不与ya而与另一对（xc，yc）的yc配对，同样又产生一对“单身”xc与ya，...——不采用对调方式地换配偶同样能保证各元都必可分到一配偶∈对方集。证毕。
注：两不交的无穷集a、b的并是直和a+b=H是a（b）的真扩集，H-a=b。H～H中若有元还另有配偶&Iuml;H，那就是搞“重婚”了。
引理2：任何无穷集a～a的真扩集H=a+b必不～a，原因是b有多少个元H就比a多多少个元。
证：假设H=a+b～a′=a则据引理1H的一部分a各元都有配偶∈a′～a=a′的同时H另一部分b各元也有配偶∈a′——a′有元“重婚”！故假设不成立。因是增元而打破“一样多”，故必是…。证毕。
h常识：⑴无穷多对“夫妻”中的任一方单独减元后必打破双方的～性；因甲方减了多少个元，乙方立刻就有多少个元无配偶∈对方。⑵x与y配成一对数，配对前后的x是同一x。同样，两N的元n一一配对成数偶集{（n，n）}=N∪N=N，配对前后的N是同一N，因为各配对前后的元是同一元，而各元都相同的两集是同一集。这与P内的N=P外N（各元都没和□配对）是同一道理。将N换为下述D得同样结论。
h定理1：存在最大自然数○n。
证1：据引理1和常识c凡～N的集的元都必可有配偶∈N，一个不漏！对G=N～N进行换偶：G各非1元n+1的新配偶是n（所有n=1，2，…组成V），1的新配偶是V外的○n，显然○n是最大自然数>V一切n。○n+1等是超自然数。
证2：据h事实NЭn<n+1表达必有N外n0+1（>n0∈N）>N一切元n——显然n0就是○n——其后继n0+1&Iuml;N——推翻自然数公理和集论立论的论据：N各元n都有对应n+1、2n、…∈N。证毕。
证1中的N换为“形如{n}的集（数列）G”就可证
h定理2（末项定理）：G有末项。详论见[2]。
不识○n使中学将根本不是N的一部分误为N的一部分，进而使康脱推出康健离脱的病态b论：“部分可=全部”。
3.h定理3：任何无穷集D的任何真子集d都不可～D
证1：据引理2 d的真扩集D不～d——13字符推翻百年集论！证2：据h常识D～D中的一D减元成为d&Igrave;D不可～D。证毕。
h推论：E～d与d一样不可～D=d+f即凡～D 的真子集的集必不可～D。原因是D至少比E～d多含一个元。
证：E～d若也～D=d+f则据引理1d&Igrave;D各元都有配偶∈E～d的同时f&Igrave;D各元也有配偶∈E——E 有元“重婚”！故E～D不真。证毕。
4.让5千年都一直无人能识的自然数一下子暴露出来
N={2n}+{2n-1}，据引理1和…有：
N={n}++{an}。上、下2等式一目了然地显示上N各偶数2n（奇数2n-1）都有自然数配偶n（an）在其“脚下”，下N中：各an都是无穷大自然数>{n}的一切n，故此{n}只是N的一半——对N～N进行换偶：2n n，2n-1 an就让自识自然数5千年来都一直无人能识的自然数an和假N一下子原形毕露。重大核心错误“{n}无上界∈N”等等，会使人以其为核心滚雪球似地推出错上加错的一系列更重大错误。数偶列N={（2n-1，2n）}各数都被其上述“脚下”的配偶置换就有{（an，n）}——5千年来一直都在无穷远处的an一下子变得近在眼前。
设N=A+B={2n}+{2n-1}的元与A′=A={2n}的元2n已一一配对即有N～A′，据引理1和…，A′=A～A&Igrave;N的同时A′还可有一样多的元2n与B&Igrave;N的元2n-1一一配对——矛盾！关键是A={2n}～{n}中的{n}&Igrave;N。
5.否定无穷数使“精确”极限论的思想体系极端混乱
可见存在无穷小正数1/n（n是与1相隔无穷多个n的无穷大正整数）＜任何有穷正数ε。故5千年数学一直对数的认识存在重大缺陷与错误——下述思想混乱的症结。j式：
0＜正无穷小ρ=1/n＜“任意取定”的正数ε
表示正实变量ρ所取各正数ρ都＜ε——极限论本身不得不肯定有无穷小正数<ε；数列{1/n}“从某项起以后的各正数项1/n都<ε”也明确表示..。显然正数x＜ε的极限都是0＜ε的极限0，但同时也是正数x本身。然而“任何正数x的极限都是x而非0”“定数中只有0才是无穷小”暗含此意：任何正数都不能<ε,即否定有<ε的正数——构成百年糊涂话：有总取正数的ρ<ε却又无正数ρ＜ε。书上特意有“ρ是变量而不是数”。但至少可取两数的ρ是变量而不可取数的“鬼魂”ρ不是变量，数与数之间才能比较大小，而非数ρ竟也>0和＜ε，且据变量定义ε也是可固定一下的变量，怎么又说其是数？有编书者答疑：ε非具体的数。但常识：各字母代表的数和数集的元都是具体的数。越辩解就越是一片混乱啊！耐人寻味的是后来的编书者刻意将j式中的“0＜”隐去以配合...。固定的数列C本身不是随n→∞的变而变的变数即非n的函数且与数之间没距离关系；y→b是说y与b趋于重合相等，变数y只能与数而不能与非数的猫狗趋于…，同样，C本身非变数，与b没距离关系如何能→非数列的b？数列与非数列有减法运算吗？{1/n}-5=？可见数列是不能以非数列为极限的！{1/n}与其项1/n有根本区别。但国内外竟有不少书有：{1/n}是n的函数即是→0的变数。这是把学生给搞糊涂的常识性错误啊！鲜明对比的是随x的不同而不同的变数列{n+（1/x）}→固定的{n}（x→∞时）。康脱将基本数列：无穷多个各不相同的非0数：1010，109，…，1011/10n，…定义为一个数0。“皇帝新装”中的小孩一定指出这是与数学所要求的严密精确性背道而驰的离题万丈的错误。
否定客观存在的起关键作用的无穷小正数∈R+及其倒数犹如医学否定前所未见的非典病毒，是致命错误。详论见[3]。
6.定义域为R+的y=x2、y=2x、…的值域≠R+
放大镜将点集——放大为——；橡皮筋（橡皮点集）拉长后各点都变长了，但各点的前后顺序关系没变。这都是有序集的元的保序变换。“R各点（数）”显示R是点（数）集。R各点x均保序变为点y=x得元为点y=x的y=x轴=R。
同序元概念：有序集如数轴A各数x在A内分别都有一定的大小“名次”。AЭx均保序变为y=g（x）（变量y是增函数）就得A的保序变换集B=g（A），x∈A在A中的大小名次与g（x）∈B在B中的大小名次是一样的，称y与x互为同序元。显然有
h定理4：元为x的有序数集A保序变为B=g（A），A=B的充要条件是恒有x=g（x）（凡同序元必相等）；显然必要条件：变换是保距变换（x轴与y轴的保序变换式y=kx（k是有穷正数）中的k=1时是保距变换，两轴若不全等就更不可重合相等）。
故R各点x均保序变为点y（x）=x/k（有穷数k>1）得元是点y=x/k的y=x/k轴就≠R了，因x与其同序元y=x/k不可恒相等；…；同理R各点x均保序保距变为点y=x+a>x（a>0）得y=x+a轴Z≠R（h事实表明RЭx<y=x+a∈Z表达Z中有数y>R一切元x，后文证明数轴有两端点。）；…。故定义域为R或R+的增函数y（x）=kx（正数k≠1）等的变域必≠R或R+，中学将y=x轴与用而不知的y=2x轴、y=x/2轴等无穷多各根本不同的轴误为同一轴：y=x轴。故y（x）=kx（k=有穷正数如1，1.2，1.3，…）∈R的定义域是各不相同的。
RЭx都×有穷正数k≠1变为kx得元是kx的集可记为kR。因R≠kR，…，故R2≠kR×R，…。故定义域为R的直线y（x）=kx并非R2的子集而是R×kR的子集，y的值域是kR；…。kR各元kx都改号为-kx所得集=kR，故±kx都∈kR，
7.“点无大小，更不可膨胀、缩小”违反逻辑学常识
x轴子部（0，10）各点坐标x的全体组成L=（0，10）&Igrave;R，L的一小部分D=（0，1）Эx均保序变为y=10x>x>0得元为y的
L′=（0，10）（&Igrave;10R）～D&Igrave;L&Igrave;R
问题是中学重大错误“L=L′”是因将两异集10R与R误为同一集的连锁反应。事实上①h事实表明L′Эy=10x>x∈D&Igrave;L表达L有L′外数x<L′的一切数y。②据h推论由上式的 L′～L（=D+[1，10））的一小部分：D=（0，1）知L′不可～L——谁也不能将L与L′双方的数x与10x一一配对的原因（注：L′各数10x的对应数x的全体组成D&Igrave;L而非L）；其不对等即不等容就更谈不上相等。
x轴所有正数点x全都离开原位置地沿轴正向右移至新位置x′=2x>x>0形成元为点x′的Z，x轴显然就至少空出一正数位置x落在一切前移了的点的后面——形象直观显示点x=0与点x′组成的射线是有空隙的，显示h事实“ZЭx′>x>0表达…”的正确性。
x轴子部L（0，10）的子部D（0，1）各点x都绕原点旋转90度形成y=x轴子部D′（0，1）后再都沿y轴保序上移至点y′=10y>y>0处变为点y′才能形成比D′长的线段L′（0，10）&Igrave;y′=10y轴。可见y=x轴A保序变为y′轴B是：A的正数点y 都保序上移到y′=10y>y处变为点y′，负数点-y都保序下移到y′=-10y处。
x轴线各点分别都占据一空间位置，挖去大部分点使轴线只剩下整数点x=n，就有许多位置空了出来；现各点n都以己为中心保形同速膨胀变大到点与点之间没空隙为止，就得没空隙的“整数轴”。其点可是□，两点间的距离是它们的中心的连线的长。y′轴若有空隙则其点都作类似的膨胀就没空隙了。可见A变为没空隙的B，以及点集D′变为没空隙的L′的几何解释可是：A是橡皮直线，其以原点为中心向正、负两个方向均匀拉长变换，于是点y都被拉长为点y′了；而B变为A是B以原点为收缩中心的均匀收缩，点y′都收缩变短为点y；或“放大镜”将A（D′）放大为B（L′）；...。
点集：......是由点集：……的左（右）半部分点都保序左（右）移一段距离而得。逻辑学常识s：直线段d作保序保距变换不改变d长，因没改变点与点间的距离；但没空隙的d各点作保序增距变换就必使各点彼此都拉开一段距离而形成比d长的D～d，D的点显然不可充满相应空间的一切位置（除非点都变大）而致D有许多空隙（只不过空隙的长度<一切已知正数，没无穷小思维显微镜就无法察觉罢了。）。否则就不合逻辑了。违反常识s的理论必是错误的。集论不成立表明轴A两异点a与b之间有多少个点∈A是与a——b的长成正比的。
故数轴也有使点变长（短）的保序不保距的伸缩变换——这是“化学变化”：改变了组成线的“分子”。将“分子”不同的线混为一谈就有病态b论。点有大小的严格证明见：
8.各实数轴都有最小正数点且R2面存在有空隙的直线
设数学内的一切正数组成Q，计算中有认定a：Q的任何正数y，×k得ky再÷k>1必得y，就是认定y≡k（y/k）而必有对应数ky>y与y/k<y即认定y必介于2个正数之间。问题是并非所有对应数都∈Q。因由h事实“QЭy<ky∈Q”和“QЭy>y/k∈Q”分别都是病句：…；应去掉“∈Q”——存在用而不知的Q外另类正数。对此，本文不作详谈。
y>y/k>0中的k>1至少能取一数（下文表明k能取多少个数与y到0的距离有关，y距0越近，k能取的数就越少）。K=（0，k>1）&Igrave;Q内满足y>y/k=x∈K的数y=kx（k>1）称为K 的凡数而有性质a：y与0之间至少有一正数x∈K。文[1]证明K有非凡的最小元而没性质a，现再作一简要证明：设K=（0，k>1）的所有凡数y组成Z，下式
由0<y<k得0<y/k<1（y=kx是y/k=x的函数）
表明Z各元y=kx的对应数x都∈D=（0，1），故D有一类元x分别都是kx∈Z的配偶x，表明Z最多只能与K=D+[1，k）的一部分：D等容，据h推论K至少比Z（由K所有凡数组成，最多只能～D）多一个元而必有Z外的非凡正数x=0′没性质a而无对应数0′/k∈K；且由h事实ZЭy=kx>x∈K表达K有Z外数x<Z的一切元y（故中学“K=Z”等等是重大错误）。证毕。
显然0′/k要么①不代表数无意义；要么②是数学研究范围以外的另类正数<0′，正如比普朗克长度短的非0长度是物理学外的长度一样；二者必居其一，没有③。为方便研究可设②，于是相应允许Q各元x都有对应数x/2，允许所有x/2组成的Z有非Q数，等等。两另类数的和等可∈Q，例如2（0′/2）=0′。故DЭx都有对应正数x/k<x与kx>x（k>1），但并非所有对应数都能∈Q；但可放心地据认定a进行计算，最终能得正确结果。但若不知其中的y/k不都∈Q就有病态b论。
上述证明0′中的K等，换为“x轴线段（0，k>1）各点的坐标的全体组成的K′=（0，k）&Igrave;R”等，就证有
h定理5：x轴有最小正数点x=⊕使一切⊕/k（k>1）都&Iuml;R。相应y=kx（正数k≠1）轴有最小正数点y=k⊕。
因R+的各一般数x与⊕的和x+⊕∈R+是R+中最靠近x的数之一，故R+中有最靠近⊕的正数⊕+⊕=2⊕；…。故轴R是由相对于R不可再分的大小都一样的“分子”点：长为⊕的点组成。凡长≠⊕的点都非R的“分子”。于是R+各数可排为：⊕,2⊕,…，n⊕，…。当然⊕＜ε，1/⊕是>一切有穷正数的无穷大数。将⊕放大1/⊕倍就看见x轴由长度都为1的点组成（参见上述“整数轴”）。
h发现：R+的数都是正整数个⊕的和而=n⊕。故0.01=（0.01/⊕）⊕中的0.01/⊕必是无穷大正整数n；x=n⊕中的n=1.2/⊕时x=1.2；…。故限制x、y均∈R时即使是直线y=1.2x>0的定义域D和值域都≠R+。例x=⊕、2⊕、3⊕所分别对应的1.2x都&Iuml;R+而使⊕、2⊕、3⊕都&Iuml;D；…。
x、y分别都可形象化为R或kR（k可=1）轴的点，（x，y）才可形象化为R×kR面的点。因有⊕故R×kR（k>1）中有长为⊕的最短直线段，不明此理就会出现许多怪、悖论。R2的直线e：y=x/2与R×R/2面的直线y=x/2有根本区别。由h发现R2中的x轴的群点x=⊕、x=3⊕、x=5⊕、…分别都无对应y=⊕/2、3⊕/2、5⊕/2、…∈R，同样，点x=1+⊕也无对应y=（1+⊕）/2∈R；…。故直线e等如蛋壳那样是“漏洞百出”的，故“y=x/2∈R的定义域是R，…”是重大错误。故R2中过原点的直线中只有两轴和直线y=±x才是无空隙的。

古人曾猜想几何面是和布那样由一根根线交织而成。由h发现，R2可是由上示意图中有宽度的直线的正交点□组成。图1（从左到右）表示无穷小思维显微镜下的R2面的局部，其由一个个点□组成，黑点的集合是射线y=x≥0的一段。图1显示R2的任一点□的周围一般都有R2的8个点与其最近。故R2的一般点p(x ,y)都存在p的最小的h邻域h内只能有9个点∈R2！原点o的h邻域h内只有两轴和直线y=±x的点。图1显示x轴绕原点旋转45度形成的直线与图1的直线y=x是有区别的。
图2的y=x轴的点y都沿轴保序移动变为（黑）点y′=2y=2x，所有（黑）点y′组成y′=2y轴，其中有部分黑点y′同时也是y=x轴的点y0=2x（x=0，±⊕，±2⊕，…）∈R）。图2是xy′面即R×2R的局部。显然y′轴有无穷多空隙，但其点都沿轴变长不变宽的相应膨胀变大就…。图2另一相应的黑点（各黑点的点心的连线不⊥x轴）就是R×2R的射线y=2x≥0的一段。
设想图2的y′轴的点□都作沿轴变长不变宽的相应膨胀变大为2倍于□的长方形，就变为图3的y′=2y轴，图3是R×2R的局部，其没空隙的y′=2y轴的点是如图所示的长方形；图中黑点的集合是射线y=2x≥0的一段。图4表示：有同心而大小不同的两□点重叠在一起，或一小□相应膨胀变大为大□。
以上表明存在“h邻域效应”：R2面一动点p的运动范围若小到是点p的h邻域h，则其由点p处偏移到另一处的运动路线只能是直线且只能是4条过点p的分别∥x、y轴与直线y=±x的直线的任一条，故其运动方向最多只有8个。
9.近似计算常识凸显R轴相比下是极短直线段
y（∈Q）=1010x+误差余项x≈1010x+0>>x>0
（y的定义域为R+）说x与1010x相比实在是总距0太近了以致于可视其为0而忽略即x的变域R+Эx相比下全都是微不足道的可视其为0的极小正数。故必有Q的正数>>R+的一切x。上述启蒙知识与h事实表明：该式表达y可>>R+一切数x而取R+外正数，R+Эx<<y∈Q表达Q有正数y>>R+一切元x。可见中学数学断定可视其为0而可忽略的x≈0可取一切正数显然是其无法消除的违反数学、逻辑学常识的重大自相矛盾。症结是R仅是实数全体的沧海一粟，须重新认识数轴概念。
x=n⊕=○n中的n=○n/⊕是1/⊕个○n的和>>>（无穷大倍于）○n。由末项定理因R+={n⊕}故其必有末项元n⊕=○d，其中n=○d/⊕是1/⊕个○d的和，可见已知正整数全体仅是正整数全体的沧海一粟而远不够用；2R的最大元是2○d，…。故（kR）2（k>0）是正方形□而别的平面就非□；…；R2可放大、缩小也可伸缩变换为长方形R×2R、R×R/2、…。2R+各元y=2x=2n⊕≤2○d=○d+○d，其满足y=2n⊕≤○d的点y同时也∈R+。      
10.微积分一直无法自圆其说的症结：不识R外实数及⊕而搞错变量的变域
高精确度的近似计算中凡有正实变量不可忽略，必表明其相比下总距0极远使其变域U各数相比下全都是极大正数而必有（未知）正数<U所有数。“台劳级数逼近法”断定
y=x+x2≈一次项x<b=0.00…01且>0……B
是说式中x→0总不能小到微不足道而可视其为0而忽略的程度，相反，其总大到总占举足轻重地位而不可略的程度，显示其变域DЭx>>x2>0相比下全都是距0太远从而远不可视其为0而忽略的极大正数。0←x>>x2>0直接显示x>0与x2总大小极悬殊即x>0总距x2>0极远，当然就总距0极远而总有>>0性。这就与“x可取M=（0，b）内一切数，y的定义域D=M”激烈“打架”了。此x→0的一面掩盖了其有相比下总距0极远的无限变大（x/x2=1/x→∞显示分子x→0与分母x2相比越变越大，无穷变大）的另一面；对数的认识的极重大缺陷使人们不能察觉其有总极大不小的本来面目而误以为其能任意变小绝无…。自相矛盾理论是有头脑人无法接受的，从而极难学难教。
症结是实际上y的定义域D≠M，而是R轴的（0，b）即D&Igrave;R，且y的值域不可&Igrave;R，即B式的x并非可取b以内的一切正数，x能取的最小正数x=⊕>>>x2=⊕2（⊕具有既小又大的两重性）使x2所取数并非都∈R。认识R外实数及⊕才能用数来定量表达此x→0有相比下无穷变大的变化规律，从而真正弄懂近似常识和曲线积分论立论的依据。“未识（认识）无理数时（后）数学（又）一直以为已知数全体已够用。其实都是重大误解[4]。”
11.对多元函数的认识存在重大缺陷与错误
与0充分近的位移△r=dr+d2r/2！+…往往是很复杂函数，不懂其≈dr，力学等就寸步难行，力学常有“△r=dr”，若两者异号，那就搞错了点的运动方向而会得出面目全非结果。微积分断定点o（0，0）的某充分小去心邻域T内的点p（x,y）恒使定义域是R2面的曲面z=y-2x2≈y=切平面dz(0，0)=g（x，y）且T越小，近似的程度就越高，即当x、y都与0充分近时必有z≈y≠0且...。项武义指出[5]：在…下△z与它的近似值dz≠0同号，即T内点（去y=0的点）恒使z≈y与y同号：
z&#8226;y=（y-2x2）y>0……C
（因x=0时z=y当然与y同号，故只需考虑 C式中的x≠0。）将y=x2>0代入C式则该式不成立说明几百年“△f≈df”揭示曲线q：y=x2>0的点(x ,y)都&Iuml;T！换言之z≈y论凸显T内x轴的点x≠0的对应y=x2都&Iuml;R。然而数学断定T必含q的点，断定沿q运动的点p=p1(x ,x2) →（0，0）必能进入T内。从而构成“△f≈df反例”尖锐矛盾。
症结是中学重大错误“定义域为R+的y=x2的值域{（n⊕）2}=R+”等，其实值域为R+的y=x2=n⊕（x= ）的定义域{ }与R+有重大差别。曲线q：y=x2中的|x|与y各能取的最小正数分别是|x|= （假设 ∈R）和y=x2=⊕；点 >>>⊕与点⊕相比距0无限远，点（x= ，y=x2=⊕）与点（⊕，⊕）相比距(0，0)无限远，于是q的点当然就都远在T外。
h原理：当h/i=无穷大（小）数时（h，i）就不可形象化为R×kR的点了。y=6.3⊕±⊕2&Iuml;R也&Iuml;6.3R从而不可形象化为R、6.3R轴的点，但因6.3⊕>>>⊕2故可视其为y=6.3⊕±0而形象化6.3R的点。设y=x±x2→y=x±0∈kR（k是有穷正数且可=1）表示可将前y视为后y而可形象化为kR的点y。其余类推。若|x|是可表示长度的正数且>>>|y|>0则有（x，y）→点（x，0）∈相应平面。
注：因⊕2&Iuml;kR轴故R的正数c±⊕2=t&Iuml;kR。|x|=n⊕须距0充分远，远到≥ 时才能使x2也还∈kR+。区间D（0， ）&Igrave;R与（0，⊕）&Igrave;R相比是无穷长直线段，D各元x＜ 的对应x2＜⊕都&Iuml;R使数对（x∈D，y=x2）&Iuml;R2，但因x>>>y=x2故数对→点（x∈D ，0）∈R2。
y=kx轴是可伸缩变换的y轴。可设z=f(x ,y)的定义域不是较单一的正方形（kR）2面而是可弹性伸缩变换的复合面R×kR等。点（x+△x，y+△y）同时也是相应△x△y面的点（△x，△y）（△x∈R，△y∈kR）。
y=x2，△y=dy+d2y/2！+…=2xdx+dx2。设R一切有穷数组成的集是r，n∈r充分小就能使n2等也∈r。当x+△x中的x=n⊕∈r（2x也∈r&Igrave;R）且dx=△x=⊕时，x+△x∈R，而△y=2x⊕+⊕2都&Iuml;kR而不可形象化为相应△y轴的点，但由h原理△y→点△y=2x⊕+0∈△y轴；当x=⊕，2⊕，…均＜ε且△x=⊕时△y中连dy=2x⊕也是比⊕高级的无穷小而都&Iuml;kR，但由h原理（△x=⊕，△y）→点（△x=⊕，0）而可形象化…。故点（x，y=x2）（x、y∈R或kR）的全体组成的抛物线I是有许多空隙的，但可由…，视相应△y=dy+0∈kR或…而将I变为没空隙的I′。但须清醒认识I′是由各充分短的直线段连接成的，切于I′的一般点p的切线的以p为心的充分短的切线段同时也&Igrave;I′。
故…的症结是对二元函数的认识有重大缺陷与错误：将非R2面的曲线y=x2（定义域为R使值域有许多元y都&Iuml;R）与I（限制x、y均∈R）混为一谈。同理正数|x|∈R+充分小时关系y=x±x2∈R不成立（例⊕±⊕2不∈R）。R2根本不能有点（x,y=x+x2）（x=⊕等等）。故相应空间的光滑曲线（面）实际上是由充分小直线段（曲面块）连接而成。关键是不是什么样的数量关系都可形象化为相应空间中的点的，数组（x,y，z）与几何空间R3的点有重大差别。例定义域为R2的z=xy当x=y=⊕时z就&Iuml;R了，不能要求z所取数z都∈R。R3的点都可有对应（x,y，z），但其逆不真，即并非任何3个实数都有一对应点∈R3。
12.半径相等的两圆盘不可重合相等的原因
R2的点□的面积是⊕2，（2R）2的点的面积是4⊕2。z面的点z=x+iy都放大为点w=2z=u+iv就得w=2z面～z面。但点w的大小是点z的4倍——故z（w）面变为w（z）面是扩张（压缩）变换。z面有圆A：|z|≤1与包含它的圆K：|z|≤2；A各点z都放大为点w=2z就得w面的圆K′（～A）：|w=2z|≤2。K′是≠K的。因圆K是圆A的真扩集，而圆K′～圆A&Igrave;圆K，据h推论～圆A的圆K′不可～圆K，从而使K′不可≌K；盖因K′是A在放大镜下的像，其点w=2z都>圆K的点z。故点的坐标与点本身有根本区别。
13.结束语
以上颠覆传统的全新几何学冰山一角也许有益于给“时空原子化”研究提供全新数学工具。百年集论百年来浪费了亿亿万学生大量的宝贵时间与精力以及亿亿万元宝贵学费，更要命的是它的重大误导作用：误人推出更重大错误。育人课本的重大错误造成的重大经济损失一点也不亚于经济建设的重大错误造成的经济损失；是否及时纠正与每一人的切身利益息息相关。
   参考文献
[1]黄小宁，发现最小正数推翻百年集论消除2500年芝诺悖论——中学重大错误：将无穷多各根本不同的点集误为同一集[J]，中国科技信息，2010（18）。
[2]黄小宁，中学极重大根本错误：无穷数列必无末项——“一对一”常识推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息，2011（1）。
[3]黄小宁，极限论总极难学真因：人有抵制思想混乱学说本能[J]，科技信息，2010（33）。
[4]黄小宁，几何常识凸显已知数全体仅为数宇宙的一颗星球[J]，科技信息，2010（11）。
[5]项武义，微积分大义[M]，北京：人民教育出版社，1979：376。
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