再给出几个类似米勒图的构形

雷明85639720

再给出几个类似米勒图的构形
雷  明
(二○一八年十二月二十九日)
（这里我发不出图，请到《中国博士网》中去看）

张彧典先生在《H-M族构形的嵌入放大》一文中认为图1（张先生原文中是图3）是一个不可用连续颠倒法解决的构形，只能用Z—换色程序。不知张先生动手画图了没有，这个图我作图的结果认为该图是一个可以用连续颠倒法解决问题的构形，并不会产生循现象．而且颠倒的次数是17，是小于我认为的最大颠倒次数22的，但又大于张先认为的最大颠倒次数只是16的上限，张先生这一次又错了。

逆时针颠倒17次，可空出颜色B（图下面的数字是颠倒的次数）：

当然图1用Z—换色程序交换C—D链，也可以解决问题，而且很快。且连续颠倒过程中每一步的结果都可以用Z—换色程序进行解决。
我们对图1也进行了顺时针颠倒，它又是一个颠倒20次后，又回到与原来是一模一样的构形，以后又每颠倒20次，便是一个循环周期（如下多个图，同样图下面的数字是颠倒次数）。与敢峰—米勒图有同样的情况。永远也颠倒不完。

现在我们从对图1的顺时针颠倒过程中把第15次颠倒后的图取出，然后再整理成ABA型的构形（如图2），也可得到一个与敢峰—米勒图有同样性质的构形，两个方向的颠倒都是永远也颠倒不完的，且每20次颠倒是一个周期，产生了循环现象。

其逆时针颠倒是（颠倒了20次，回到了原图）：

其顺时针颠倒是（颠倒了40次，第20次和第40次都与原图相同）：

当然该图2用Z—换色程序也是可以解决的，交换A—B链就可以了。同样的，图2在连续颠倒过程中的每一步所得结果，也都可以用Z换色程序进行解决。
由此看来，与敢峰—米勒图同样有20次颠倒是一个循环周期的构形并不是只有敢峰—米勒图一个，可能还有多个。所以张彧典先生认为只有所谓的十折对称构形才有这一无穷循环颠倒的性质是不对的。且张先生只用改变米勒图中的四色四边形的对角线的方法研究所谓的Z—构形也是不能代表一般的，不科学的。
但我说的任何构形颠倒次数的最大值是22的结论则是正确的。每一个H—构形都可以向两个方向的颠倒。每一个方向颠倒到第20次时，必须成为一个可以连续的移去两个同色的K—构形，才不会产生无穷的循环颠倒，也才能空出颜色来。而这个可以连续的移去两个同色的K—构形，到达真正空出颜色时，还需要进行两次交换，才能结束颠倒过程，所以说最大的颠倒次数是不大于22的。
还可以看出，一个构形某一个方向的颠倒次数是X时，其相反方向的颠倒次数与原方向的颠倒次数之和若大于22次时，则相反方向的颠倒，从第（22－X）次颠倒起，以后的中间结果（构形），向两个方向颠倒时，都是一个敢峰—米勒图型的构形，都是无穷的颠倒。
    我们在这里找出了两个与米勒图有同样性质的构形，这是否可以回答万春如先生翻译的《一种试探式的平面图四染色》一文中的两个问题呢。这两个构形也能使“算法2.1”产生循环，但是不是“基于CK图中的Kempe链”而且“能使算法2.1循环的其他平面图”？我还不好说。如果是，就可以回答第一个问题；如果不是，也就能回答第二个问题了。

在《H-M族构形的嵌入放大》一文中张先生又说我所给的图3（张先生文中叫图5）只能用连续颠倒22次解决，而不能用Z—换色程序进行解决。现在我们看一看能不能用Z—换色程序来解决。
图3中有一条环形的A—B链，交换其外的C—D链，图就变成了没有连通且相交叉的A—C链和A—D链的K—构形（如图4），问题也得到了解决。
据此，我认为研究所谓的Z—构形有多少种，以及最大的颠倒次数是多少，是没有什么实际意义的。还是应该回到，按构形中链的结构对H—构形进行分类的原则上来。第一类，第二类，都有环形链，都可以用Z—换色程序进行解决，第三类，只能用转型交换法进行解决。
我们可以看一看，张先生所研究过的Z—构形中，都是在米勒图的基础上经变形得来的，局限性太大了，不能代表一般情况。且张先生所研究过的Z—构形，只是含有A—B环形链和C—D环形链的两种，不含环形链的构形还没有看到。请张先生看一看，你把一个大类漏掉了。

雷  明
二○一八年十二月二十九日于长安

注：此文于二○一八年十二月二十四日在《中国博士网》上发表过，网址是：