字数最少的四色猜测证明方法（修改稿）

雷明85639720

字数最少的四色猜测证明方法（修改稿）
雷  明
（二○一八年十二月二十五日）
（这里我发不上图，请到《中国博士网》中去看）

关于四色猜测的证明，坎泊早在1879年证明了K—构形都是可约的；现在证明四色猜测的主要关键则是研究解决H—构形的可约性问题。H—构形是不能用坎泊交换对角链的方法从构形的围栏顶点中空出颜色给待着色顶点的构形。而解决H—构形的可约性问题则必须用交换邻角链的方法才能解决。
在BAB型的H—构形中，A—C链和A—D链是既连通又相交叉的，不能交换，也空不出A、C、D三色之一；B—C链和B—D链又只能交换一条，也空不出两个B；现在唯一能交换的就是A—B链和C—D链了。根据A—B链和C—D链在图中可能的结构分布情况，把H—构形分为三个类型：① 有经过三个相邻围栏顶点的A—B环形链的构形（如图1），② 有经过两个相邻围栏顶点的C—D环形链的构形（如图2），③ 没有任何经过围栏顶点的环形链的构形（如图3和图４）。

图1交换了经过两个相邻围栏顶点的C—D链后，连通且相交叉的A—C链和A—D链均断开（当然也可以交换经过顶点6和7的C—D链），图就变成坎泊的K—构形而可约；图2交换了经过三个相邻围栏顶点的A—B链后，连通且相交叉的A—C链和A—D链也均断开（当然也可以交换经过A—C链和A—D链的交叉顶点8的A—B链），图也就变成坎泊的K—构形而可约。

在图3和图4的第三类构形中，各有两个加大了的4—度顶点，各分位于A—B链和C—D链上。若把其中任一个顶点的颜色改成与其相反的色链中的颜色（也是一次交换），则该图就会变成有环形链A—B的第一类构形，或者变成有环形链C—D的第二类构形。都成为可约的构形。到最终空出颜色时，最大的交换次数只是4。但是，这种有4—度顶点的构形，并不是所有的第三类构形都具备，所以还得要用别的方法再进行证明。
第三类H—构形中，A—B链和C—D链都不是环形的，所以A—B链和C—D链都不能交换，那么，也就只能进行转型交换了。然后再根据转型后的构形类型进行解决。图3和图4只是左、右相反的构形，实际上是同一个构形，所以只要研究图3一个就可以了。这里要注意的是，图3中除了顶点1—2—3—4—5—1间和6—7间的边是单条边外，其他各边都可以是链。所以在交换了一个关于两个同色的链以后，还可以尽量的在平面图范围内，再构造从另一个同色顶点到其对角顶点的连通链，直到在平面图范围内不可能再连通为止。

对图3从顶点1B开始交换B—D链后，虽然移去了一个B，但却生成了从顶点3B到其对角顶点5C的连通链B—C（如图5），不能连续的移去两个同色B；第二次再对图5从顶点4D开始交换D—A链，也可以生成从顶点1D到其对角顶点3B的连通链D—B（如图6），也不能连续的移去两个同色D；第三次再对图6从顶点2A开始交换A—C链，也可以生成从顶点4A到其对角顶点1D的A—D链（如图7），也不能连续的移去两个同色A；到了第四次再对图7从顶点5C开始交换C—B链后，就再不可能生成从顶点2C到其对角顶点4A的C—A连通链（如图8）；这时，已经说明了前面的图7已经是一个可以连续的移去两个同色C的K—构形了。第五次再对图8从顶点2C开始交换C—A链（或者从顶点4A开始交换A—C链）后，就可以空出C（或A）给待着色顶点（如图9）。总共是进行了五次交换。

转型交换是可以分别从两个同色顶点B进行的。把以上从顶点1B开始的交换叫逆时针转型交换，则把从顶点3B开始的交换就叫顺时针转型交换。对图3从顶点3开始交换B—D链后，图就变成了CDC型的有经过顶点1B和2A两个围栏顶点的环形A—B链的第二类可约构形（如图10—1）。再进行两次交换就可空出颜色来。总共只进行了三次交换。虽然如此，但却也生成了从顶点1到其对角顶点4的连通链B—D（如图10—2）。

若对图10继续从顶点5开始交换C—A链的转型交换时（第二次），可以生成从顶点3到其对角顶点1的连通链C—B（如图11），第三次再对图11从顶点2开始交换A—D链时，还可以生成从顶点５到其对角顶点３的A—C链（如图12），第四次再对图12从顶点4交换D—B链后，也就不可能在平面图范围内再生成从顶点2到其对角顶点5的D—A链（如图13），这也说明前面的图12已经是一个可以连续的移去两个同色D的K—构形了。第五次再对图13从顶点2开始交换D—A链（或者从顶点5开始交换A—D链），就可以空出D（或A）给待着色顶点（如图14和图15）。总共也只交换了五次。这也说明了第二类构形是可以经过转型交换解决问题的（赫渥特图也可以这样来解决）。若对图4也象对图3一样，进行两个方向的转型交换，也会得到同样的结果。

以上几种交换中，交换次数分别是3、4、5，最小的是3，最大的是5。这就证明了H—构形着色时的最大交换次数是5。由此可以看出，H—构形着色时的交换次数一定是大于等于3而小于等于5的。这就证明了任何H—构形都是可约的。同样也就证明了四色猜测是正确的。
1890年赫渥特构造的赫渥特图属于第二类构形，其交换的次数是3；1990年前后敢峰和米勒构造的敢峰—米勒图属于第一类构形，其交换的次数也是3；1994年张彧典先生构造的第八构形属于第三类构形，其交换的次数也是3；只有1935年美国人Iirving Kittell构造的有对称轴且属于第三类构形的图，交换的次数最大，也只是5，也没有大于5。

雷  明
二○一八年十二月二十九日于长安

注：此文已于二○一八年十二月三十日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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