趣味几何－平面上一点与正三角形

ccmmjj · 发表于 2015-4-10 12:15

常量老师觉得太简单的题不值得做，出一题比较难的吧？
P是正三角形ABC所在平面上任一点，求证PA+PB≧PC，并指出等号成立的条件。

ccmmjj · 发表于 2015-4-12 12:32

先挂网一星期。另出一题，挂3天，会做请从速。

kanyikan · 发表于 2015-4-12 20:11

P在△ABC外接圆上时等号成立。

ataorj · 发表于 2015-4-13 17:16

提供一种思路:
三角形的边与内部上的P点,主要可用"三角形中大角对大边"来证明.

其余是要证明图中黄色区域的P点.BD上取P',使P'B=PB,只要证明PA+PC<P'A+P'C,而P'A+P'C<P'B即可,我估计这是容易的.

ccmmjj · 发表于 2015-4-13 17:38

我基本可以肯定，你的方法行不通。

ataorj · 发表于 2015-4-13 19:54

更正:取消“,而P'A+P'C>P'B”

ccmmjj · 发表于 2015-4-13 20:28

不管怎么说，试试吧。

wangyangkee · 发表于 2015-4-13 20:32

本帖最后由 wangyangkee 于 2015-4-13 12:42 编辑

kanyikan的发言，对本人一个提示。
试解，博师长娱笑；烦请纠错——
(PA+PB)固定，P点的轨迹是一个椭圆；maxPC=minPC+椭圆短轴；(PA+PB)的两个极端大小是(PA+PB)=2PA或2PB趋于无穷和(PA+PB)=AB.(PA+PB)=PC时如kanyikan的发言。

ccmmjj · 发表于 2015-4-13 20:58

有想法，但你利用了直观感觉，比如说maxPC=minPC+椭圆短轴，且不说它是不正确的，即便是对的，也需要证明。还有你后一句更令人不解了，kanyikan所说等号成立的条件是准确的，而你是模糊描述性的，还是有逻辑有真相，正确地写出来吧。

wangyangkee · 发表于 2015-4-13 21:19

本帖最后由 wangyangkee 于 2015-4-13 13:38 编辑

谢谢纠错；不过，本人不知错处所在；待看师长展示。
直觉在于：平面上有一点和一个园；点到圆周的距离，自然与点和圆心的连线相关；椭圆与点，类同；maxPC=minPC+椭圆短轴仅适用于P在AB侧；P在另侧，PA+PB显然大于PC.

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