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A；四维空间几何图形——太
一、几何基本名词：
零维空间几何图形曰：点；
一维空间几何图形曰：线；几何量曰：长度；
二维空间几何图形曰：面；几何量曰：面积；
三维空间几何图形曰：体；几何量曰：体积；
四维空间几何图形曰：太(取“以太”之意)；几何量曰：太积。
二、修正几何名词上的混乱：
原来的“四维空间多面体”，应修正为“多体太”。
三、两种多体太的“四数”：
1、五体太：是最简单的多体太。
（1）顶点数：5
（2）棱 数：10
（3）面 数：10
（4）体 数：5
2、八体太：包含平行八体太、长方太、正方太。
（1）顶点数：16
（2）棱 数： 32
（3）面 数： 24
（4）体 数： 8
四、平行八体太、长方太、正方太的几何性质：
（1）平行八体太：每个面是平行四边形，每个体是平行六面体；
（2）长方太：每个面是矩形，每个体是矩体(长方体或正方体)；
（3）正方太：每个面是正方形，每个体是正方体。
五、“太积”的定义：
（1）长方太的32条棱分为四组，每组的棱平行且长度相等；
（2）长方太四组棱长的代表名称分别用“长a、宽b、高c、极d”表示，其“太积”用“W”表示；
（3）长方太的太积=长×宽×高×极， 即：W=abcd.
（4）长方太的表体积V=2(abc+abd+acd+bcd)；
（5）长方太的表面积S=4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)；
（6）长方太的表棱长L=8(a+b+c+d)。
六、简单多体太的李氏定理：
（1）简单多体太的定义：每个面是简单多边形，每个体是简单多面体的多体太，叫简单多体太。
（2）李氏定理： 顶点数+面数=棱数+体数。
B：四维空间直角坐标系中的长方太
一、16个顶点的坐标：
（1）原点顶点：O(0,0,0,0)；
（2）坐标轴顶点：A(a,0,0,0)、B(0,b,0,0)、C(0,0,c,0)、D(0,0,0,d)；
（3）轴平面顶点：
E(a,b,0,0)、F(a,0,c,0)、G(a,0,0,d)、H(0,b,c,0)、I(0,b,0,d)、J(0,0,c,d)；
（4）轴立体顶点：K(a,b,c,0)、L(a,b,0,d)、M(a,0,c,d)、N(0,b,c,d)；
（5）太顶点：P(a,b,c,d).
二、对称中心及对称点：
（1）对称中心：Q(a/2,b/2,c/2,d/2)；
（2）对称点：O—P、A—N、B—M、C—L、D—K、E—J、F—I、G—H.
三、32条棱：（分四组、每组平行且相等、每组第一棱为轴棱）
（1）a组：OA、CF、DG、JM、BE、HK、IL、NP；
（2）b组：OB、AE、FK、CH、DI、GL、MP、JN；
（3）c组：OC、AF、GM、DJ、BH、EK、LP、IN；
（4）d组：OD、AG、FM、CJ、BI、EL、KP、HN.
四、24个面：（分六组、每组平行且全等、每组第一面为轴面）
（1）ab组：OAEB、DGLI、MJNP、CFKH；
（2）ac组：OAFC、DGMJ、BEKH、ILPN；
（3）ad组：OAGD、CFMJ、BELI、HKPN；
（4）bc组：OBHC、DINJ、GLPN、AEKF；
（5）bd组：OBID、AELG、FKPM、CHNJ；
（6）cd组：OCJD、AFMJ、BHNI、EKPL.
五、8个体：（分四组、每组平行且全等、每组第一体为轴体）
（1）abc组：OAFC—BEKH、 DGMJ—ILPN；
（2）abd组：OAFC—BELI、 CFMJ—HKPN；
（3）acd组：OAFC—DGMJ、 BEKH—ILPN；
（4）bcd组：OCJD—BHNI、 AFMG—EKPL.
C；四维空间解析几何
(一）、四维空间两点之间的距离：
D=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2+(u1-u2)^2]
（二）、四维空间的立体方程：（一般式）
ax+by+cz+du+e=0 （a、b、c、d为立体法线的方向数）
（三）、四维空间的平面方程：（交体式）
a1x+b1y+c1z+d1u+e1=0
a2x+b2y+c2z+d2u+e2=0
（四）、四维空间的直线方程：（两点式）
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)=(u-u1)/(u2-u1)
（五）、四维空间点到立体的距离(简称“极”)：
D=｜ax0+by0+cz0+du0+e｜/√(a2+b2+c2+d2)
（1）五体太的太积：W=(1/4)VD（V为底体积，D为底体上的极）
（2）平行八体太的太积：W=VD（V为底体积，D为底体上的极）
（六）、四维空间矢量：
A=x1i+y1j+z1k+u1p、 B=x2i+y2j+z2k+u2p
（1）数积的运算：A·B=x1x2+y1y2+z1z2+u1u2.
=｜A｜｜B｜cosθ（θ为矢量A、B的夹角）
（2）矢积的运算：（略）
（七）、四维空间的圆：例如，u=0、z=0、x^2+y^2=R^2.
（八）、四维空间的圆面：例如，u=0、z=0、x^2+y^2≤R^2.
（九）、四维空间的球面：例如，u=0、x^2+y^2+z^2=R^2.
（十）、四维空间的球体：例如，u=0、x^2+y^2+z^2≤R^2.
（十一）、四维空间的珍体：例如，x^2+y^2+z^2+u^2=R^2，其体积V=2π^2R^3.
（十二）、四维空间的珍太：例如，x^2+y^2+z^2+u^2≤R^2，其太积W=(1/2)π^2R^4.
注：“珍”和“球”的关系，类似于“球”和“圆”的关系。
D；四维空间中的直线
一、直线公理：两点决定一条直线。
二、两直线的位置关系及性质：
（一）主要性质：两直线共体。（三条直线不一定共体）
（二）两直线位置关系：
1、异面：(确定一个共体)①无公共点，②相离不平行，③有异面垂直。
2、共面：(有无穷个共体)
（1）平行：①无公共点，②方向数成比例，③直线上每一点到平行直线的距离相等。
（2）相交：①有一个公共点，②有垂交(共面垂直)。
三、直线平行公理：
（1）过直线外一点，决定一条平行直线；
（2）若两直线分别与第三条直线平行，则这两条直线平行。
四、直线垂直公理：
过一条直线上(外)一点的所有垂线，组成一个立体；在通过该直线和过点的一个立体内，组成一个平面；在通过该直线和过点的一个平面内，有且只有一条垂线。
五、在四维空间中，存在一个球面，与一直线无公共点，而球心在该直线上。
例如，直线：x=y=z=u；球面：u=0，x^2+y^2+z^2=R2.
E;一、平面公理：不共线三点决定一个平面。
（1）推论1：一直线与直线外一点确定一个平面；
（2）推论2：两平行直线确定一个平面；
（3）推论3：两相交直线确定一个平面。
二、直线与平面的位置关系及性质：
（一）异体：①无公共点，②相离不平行，③有异体垂直。
（二）共体：
1、包含：直线在平面内；
2、平行：①无公共点，②直线上每一点到平面的距离相等；
3、相交：①有一个公共点，②有垂交(共体垂直)。
（三）直线与平面垂直公理：
1、过一平面外一点有无数垂线，其中只有一条垂线共体垂直；
2、过一直线外一点有无数垂面，其中只有一个垂面共体垂直；
3、过一平面内一点有无数垂线，每条垂线都共体垂直；
4、过直线上一点有无数垂面，每个垂面都是共体垂直。
三、平面与平面的位置关系及性质：
（一）异体：
1、异体相离：①无公共点，相离不平行；
②存在异体相离垂直。
2、异体相切：①有且只有一个公共点；
②存在异体相切垂直。
（二）共体：
1、平行：①无公共点，②平面内每一点到平行平面的距离都相等；
2、相交：①公共部分为一条直线，②存在共体相交垂直。
（三）平面平行公理：
1、过平面外一点，确定一个平行平面；
2、若两平面与第三个平面平行，则这两个平面平行；
3、若两平面S1与S2异体相离，过平面S2上一点做第三平面S3//S1，则平面S3与S2共体相交；
4、若两平面S1与S2异体相切，过平面S2上一点做第三平面S3//S1，则平面S3与S2共体相切。
（四）两平面垂直方式：
1、共体相交垂直；
2、异体相切垂直；
3、异体相离垂直。
四、在四维空间中，存在一个圆，与一个平面无公共点，而圆心在该平面上。
例如，平面：x=y=z；圆：u=0，z=0，x^2+y^2=R^2
F;四维空间中的立体
一、立体公理：不共面四点决定一个立体。
（1）推论1：一平面与平面外一点，决定一个立体；
（2）推论2：两平行平面确定一个立体；
（3）推论3：共体相交两平面决定一个立体；
（4）推论4：两异面直线决定一个立体。
二、直线与立体的位置关系：
1、包含：直线在立体内。
2、平行：①无公共点；②直线上每一点到立体的距离相等。
3、相交：①有且只有一个公共点，②立体沿法线方向的厚度为零，所以立体又叫平体。
三、平面与立体的位置关系：
1、包含：平面在立体内。
2、平行：①无公共点，②平面内每一点到立体的距离相等。
3、相交：①公共部分为一条直线，②有垂交，平面与立体法线平行。
四、立体与立体的位置关系：
1、平行：①无公共点，②两法线平行，③一立体内每一点到平行立体的距离相等。
2、相交：①公共部分为一个平面，②有垂交，两法线垂直。
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发表于 2015-4-13 17:29
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