再论三次平面图都是3—边着色的不能说明四色猜测就是正确的

雷明85639720

再论三次平面图都是3—边着色的不能说明四色猜测就是正确的
雷  明
（二○一五年五月二日）
1、太平天下对我的求助的回复
我在发出了请教那位能对所谓的泰特“定理”进行证明并成立的求助后，得到了“太平天下”朋友的回复，其回复说泰特定理的英文原文“译成中文为：无桥的三次平面图G是4—面可着色的，当且仅当G是 3—边可着色的。”后接着又补充说泰特定理即“如果无桥的3—正则平面图（正规地图）是3—边着色的，则任意平面图是4—面可着色的！”并且介绍我去看韦斯特的《图论导引》第240页（87654321也指出了这本书，但我当时没有注意这回事）。我立即取出韦斯特的书翻看，发现了我在以前看这本书时的批注（该书中维独就是这里的两页加满了批注，而书中别的地方则很少加有批注。我在徐俊杰先生的《数学四色问题证明》一书中也是这一部分的批注最多），说的都是自已认为该书证明中存在的问题。
2、泰特定理几种不同的叙述方法
韦斯特《图论导引》一书中的泰特定理是这样叙述的：“一个2—边连通的3—正则平面图是3—边可着色的当且仅当它是4—面可着色的。”徐俊杰《数学四色问题证明》一书中的泰特定理则是这样说的：“四色问题成立，当且仅当每一个三次平面图都是3—边着色的。”这样，这里对同一个所谓定理就有三种不同的说法。产生这种不同的叙术方法可能就是因为“若A成立，当且仅当B成立”，并把该句解释成了“若A成立，则B也成立；反之，若B成立，则A也成立”的原因所致吧。
3、韦斯特书中的结论
韦斯特的书中说：“1878年，Tait证明了一个定理，该定理将平面图中的面着色与边着色联系起来。”书中韦斯特把3—正则图的3—边着色称作Tait着色，但证来证去，最后还是只是得出了“四色定理就归约为寻找3—连连通3—正则可平面图的Tait着色。对Tait着色存在性的论断就是Tait猜想，它与四色定理等价。”这不还是说明了Tait定理并没有被证明是正确与否，而只是一个猜想吗。它与四色问题相同，目前还都只是一个猜想而已。韦斯特在这里把把Tait猜想与四色猜测等同起来，真的是不是每一个三次平面图都是3—边着色的，就等同于任意的平面图都是4—可着色的，我们还要好好的进行分析。
4、韦斯特证明中所存在的问题
韦斯特说：“为了证明四色定理，只需证明所有三角剖分均是4—可着色的，即证明所有三角剖分的对偶图是4—面可着色的。平面三角剖分G的对偶图G*是一个3—正则2—边连通平面图。对于这些图，Tait证明了：真4—面着色等价于真3—边着色。”这个2—连通的3—正则平面图就是地图，其中包括“两国夹国”型的区域，如图1。（所有图均见最后）
㈠  韦斯特首先假设以上的2—连通3—正则图G是可4—面着色的，且用了四种颜色，c0＝00，c1＝01，c2＝10，c3＝11（这好象是颜色0，1，2，3的二进制数的表示方法），他在表示两面的边界线时所用的颜色是这样获得的，“把ci和cj按位相加并对2 取模（例如c2＋c3＝c1）”。这里的“按位相加并对2 取模”是什么意思呢。又如何使得c2＋c3＝c1呢，韦斯特没有说明。
边着色与面着色虽然可能存在着一定的联系，但的确又是互不相干的两回事，对其面着色用0，1，2，3表示四种颜色，对边着色用4，5，6，7，……或都仍为0，1，2，3，4，……等表示颜色，又有什么关系呢，它又不是既边着色又面着色嘛。既是“按位相加”,那么四种颜色两两“按位相加”则是六种，而并不只是他下面所用的三种。在边着色中可能用不到c0＝00，但不能说00“洽好是不在｛ci,cj,ck｝中的那种颜色”，更不能说“决不会作为和出现”，也不知这里的“和”又是什么意思。
韦斯特这里的证明并没有说得到该2—连通的3—正则的平面图（地图）就一定是3—边着色的结论。而只是证明了每一个顶点所连的三条边都只是由三种不同颜色所染的。
㈡  韦斯特在证明其逆定理时，又首先假设上述图G是真3—边着色的，颜色分别是a，b，c（图中分别用细实线，粗实线和虚线表示，如图2，这个图是韦斯特书中的原图），Ea，Eb，Ec分别是具有三种颜色的边所构成的集合。他在证明时说：“由于G是3—正则的，每种颜色均在每个顶点处出现且Ea， Ec中任意二者的并是2—正则的，它是若干个不相交的环的并。这个子图的每个面是原来那个图的一些面的并。令H1＝Ea∪Eb而H2＝Eb∪Ec（这里为什么不也令H3＝Ea∪Ec呢，难道Ea和Ec不能形成并吗，即就是以后的证明中用不到 H3构成的环数及其奇偶性，但H3＝Ea∪Ec却是一定存在的。——笔者注）。对于G中的每个面，为它指定一种颜色，颜色的第i（i∈｛0，1｝）个坐标是Hi中包含该面的环个数的奇偶性（0表示偶数，1表示奇数）。”这里的所谓坐标i为什么只属于只有两个无素｛0，1｝的集合，而没有H3＝Ea∪Ec构成的环的个数及其奇偶性呢。
韦斯特书中的这个图，这只是一个非常具体的图，不能代表所有3—正则图，更不能代表任意的平面图。这里所谓的包含某面的由两种颜色的边构成的二色环的个数是随着图的拓扑变形而有所不同的，不能这样定义包含某个面的二色环的个数及其奇偶性。读者可以把这个图进行一下拓扑变形试试看一下。
同样，韦斯特在这里的证明也并没有得出2—连通3—正则平面图就一定是4—面着色的结论。而只得出了两相邻的面具有不同的颜色。他说：一条边e两边的两个面分别是F和F＇，“包含F和F＇的环个数的奇偶性是各不同的。故在我们构造的面着色中，F和F＇获得了不同的颜色（这还需要再证明吗，它不就是着色的最低要求吗。——笔者注）。”根本就没有说到这个图是不是可4—面着色的问题。
㈢  我认为韦斯特在证明时，首先假设图G是4—面着色的或是3—边着色的是不合适的，而应是首先要证明该图G是不是3—边着色的或者是不是4—面着色的。然后再研究两种着色之间的联系。
韦斯特在这里的证明结果是：一没有得出2—连通3—正则平面图一定都是3—边着色的结论，二也没有得出2—连通3—正则平面图一定就都是4—面着色的结论，三也没有得出该图3—边着色与4—面着色之间道底是一个什么样的联系。
5、我对3—正则平面图都是3—边着色的证明结果
我们把对3—正则平面图的边着色变成对其线图的顶点着色。现在我们把三次平面图变动一下，把它的各边作为新的顶点，把属于同一个面的边界的、且相邻的边所形成的新顶点用边连接起来。这样所得到的新图就三次平面图的线图（严格来说应该叫线对偶图，因为3—正则图的线对偶图与其线图是完全相同的，所以我这里才说是线图。该图中的顶点数等于原图中的边数，面数等于原图中的顶点数与其面数的和。其中三边形面数一定大于等于原图的顶点数（因为原图的顶点在线对偶图中表现出的也是三边形面），其余的面则等于原图的面数），如图3。
图3中小黑点和细实线表示的图是3—正则图（即地图），其边上的园圈和粗实线表示的则是该图的线对偶图。可见3—正则图的线对偶图中的最大团的顶点数（密度）最大只能是3（当原图中不含三角形面时就只能是2），是所有面都是边数大于等于3的多边形面的平面图。这个线对偶图着色的色数是：按我的同化理论，该图中只有圈而没有轮，所以也不存在奇轮中心顶点必须着第四种颜色的可能性。所以该图的色数是其中最大团的顶点数3；这就是说3—正则平面图的边着色的色数一定都是3，即3—正则平面图都是3—边着色的。
6、我对3—正则平面图的4—面着色的研究结果
上面的研究已得到了3—正则平面图一定都是可3—边着色的结论。现在再看一下3—正则平面图的面着色。3—正则平面图的面着色就是对其对偶图的顶点着色，如图4。很明显该对偶图是一个极大图，所在的面均是三角形面。
韦斯特说：“为了证明四色定理，只需证明所有三角剖分均是4—可着色的，即证明所有三角剖分的的对偶图是4—面可着色的。”图4 就体现了这一点。现在只要证明这个三角剖分的极大图是可4—着色的，就可以说任何地图都是4—可面着色的。这就是对四色猜测的证明。
我对四色猜测的证明结论是：猜测是正确的。任何平面图的色数都是不大于4 的。有关证明可见我的论文《四色猜测证明方法集锦》一文及其他论文。
7、3—正则平面图的边着色与其面着色的联系
通过以上两个证明，从把边着色和面着色两种着色都转化为对平面图的顶点着色看，二者都是给图的顶点着色。把3—正则平面图的对偶图（极大图）中的某些边和顶点取掉后，就会得到一个任意的平面图，其色数只会减少面不会增加。所以说任意平面图的色数都是不会大于4 的。而3—正则平面图的线对偶图则是平面图中的一种，任意平面图的色数都不会大于4 ，那么它的色数也一定不会大于4，实际上是等于3的，是小于4 的。但是不能从3—正则图的线对偶图的色数不大于4而得到任意平面图的色数也不大于4 。也就是说不能从3—正则图的边色数不大于4而得到3—正则图的面色数（地图的色数）也不大于4的结论。从这一结果看Tait猜想是不对的。只能说2—连通的3—正则的平面图是可3—边着色的。由此并不能得到四色猜测是正确的结论。
在目前各种对四色问题的证明方法及其所得到的任何平面图的色数都不大于4的结论还没有被承认是正确之前，如果说Tait猜想是正确的，而我们已经证明了3—正则平面图都是3—边着色的，是不是就相当于四色猜测也被证明是正确的了呢，恐怕还不能这么说。因为目前人们都认为Tait猜想是正确的，且已作为定理使用，但仍然认为四色猜测是没有被证明是正确的。


雷  明
二○一五年五月三日于长安

注：此文已于二○一五年五月三日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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