从“逐点收敛”和“依测度收敛”之间的关系看极限理论的荒谬性

fm1134

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本例中{fn}逐点收敛于f，但却不依测度收敛于f的论证，可以参见http://www.mathchina.com/bbs/for ... id=34159&extra=
和
http://www.mathchina.com/bbs/for ... id=34144&extra=
这两个帖子。

elim

谈不上什么荒谬。只是与朴素的直觉不同而已。由此也得不出什么悖论。

函数列的收敛性的内涵是丰富的。如果涉及的集合测度有限，情况就大大不同，另外一致收敛也能避免这种不合直觉的现象。

fm1134

elim 发表于 2015-5-10 23:49
谈不上什么荒谬。只是与朴素的直觉不同而已。由此也得不出什么悖论。

函数列的收敛性的内涵是丰富的。如 ...

“某集合A中所有元素都满足条件B，同时，集合A中不满足条件B的元素有无穷多个”，这仅仅只是违反了直觉吗？我怎么感觉这是逻辑上的矛盾呢？

elim

你的感觉是直觉的另一种说法。

你的两个‘满足’说对应的条件不是一致的。

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elim 发表于 2015-5-11 13:03
你的感觉是直觉的另一种说法。

你的两个‘满足’说对应的条件不是一致的。

1、{fn}逐点收敛于f，表明{fn}定义域内所有点都收敛于f，不收敛点一个也没有，不收敛点的测度当然为0。
2、{fn}不依测度收敛于f，表明fn}定义域内，不论n有多大，不收敛于f的点的测度也不为0。
如果某{fn}同时满足1、2两条，那么其中的逻辑矛盾还不够明白无误吗？

elim

fm1134 发表于 2015-5-12 20:42
1、{fn}逐点收敛于f，表明{fn}定义域内所有点都收敛于f，不收敛点一个也没有，不收敛点的测度当然为0。
...

"{fn}不依测度收敛于f，表明fn}定义域内，不论n有多大，不收敛于f的点的测度也不为0。"

你那个"表明"错误的。那些点不是不收敛。

luyuanhong

fm1134

luyuanhong 发表于 2015-5-13 06:15

陆老师的解答非常清晰明了，看后使人豁然开朗！
不过，这只是人为地规定了两个“无穷大”：Ω（无穷单位元）和+∞。对于这些数学概念，我们又凭什么认定它们存在的合理性呢？

elim

比较一下函数列一致收敛的的概念(定义)，就可以了解到，一个函数列依测度收敛与否，
是指函数列的收敛性从测度的视角看有没有一致性。正像不一致收敛的函数列未必就不是
处处收敛一样，不依测度收敛的函数列未必不可以几乎处处收敛甚至处处收敛。

把概念搞清楚了，直观上也会没有冲突的。还是拿所论例子说事， fn 是  (n,∞) 的特征函数，
所以对每个n, fn 等于 1 的点集的测度都是无穷，这就导致 {fn} 不依测度收敛。但这件事
一点也不妨碍 {fn}处处收敛到 f  = 0.   因为对每个实数 x,   fn(x) = 0 对一切 n > x 成立。