ΔABC 中 b/a=|b^2+c^2-a^2|/(bc) ，… ，a/c=|a^2+b^2-c^2|/(ab) ，求 ∠A,∠B,∠C

luyuanhong

这是网友 问题多答案怪 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

中国上海市

b/a=|b^2+c^2-a^2|/bc=|2bccosA|/bc=2|cosA|
同理
c/b=2|cosB|
a/c=2|cosC|
8|cosAcosBcosC|=1
[cos(A+B)+cos(A-B)][-cos(A+B)]=±1/4
[cos(A+B)]^2+cos(A-B)cos(A+B)±1/4=0
将其视为关于cos(A+B)的一元二次方程
则Δ=[cos(A-B)]^2±1≥0
       [cos(A-B)]^2≥±1
       若[cos(A-B)]^2≥-1则恒成立
       若[cos(A-B)]^2≥1则必有cos(A-B)=±1
       而A、B、C均为ΔABC内角
       ∴cos(A-B)≠-1，否则有A=B+π＞π或B＞π，与ΔABC内角不符
       ∴必有cos(A-B)=1
       ∴A-B=0
       ∴A=B
       同理B=C
        ∴A=B=C=π/3

luyuanhong

谢谢楼上 中国上海市 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。