数学理论中的基本矛盾

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根据唯物辩证法，笔者提出：第一，数学不仅来自于实践又需要接受实践检验的观点。具体一点，笔者提出：“数学的本质是描述现实数量（例如：线段长度、物体质量、动量、碰撞衡量等）大小、多少及其关系的科学；现实数量的大小、多少具有可变性，只要描述到满足生产实际需要的足够准就行了”的概念。例如，研究一个国家的人数时，由于每一天都有许多人出生与死亡，只要准确到万。千万或亿就行了，但研究一个家庭的人数时，就需要准确到个数。 同时，笔者提出了数学理论的相容性依赖于现实世界的相容性的意见。第二，关于无穷的概念的争论，王宪钧在他的《数理逻辑引论》301-304 页中讲到：“实无穷论者认为：无穷（在数学中表现为无穷集）是一个现实的、完成的、存在着的整体，是可以认识的。潜无穷论者否定实无穷,认为无穷并不是已完成的而是就其发展来说是无穷的,无穷只是潜在的”[5]。从这个说明来看，实无限这个名词包含着“无限是完成了的整体”的意思，如果没有这个意思，那么无限集合应当是“存在着的没有被完成的事物”；究竟如何，这是一个争论了两千多年的问题，古代芝诺提出的悖论就是为了“反对完成了的整体”的悖论，亚里士多德，研究了芝诺悖论，抛弃了实无穷观点提出了无穷不是完成了的整体的潜无穷观点；欧几里得接受了亚里士多德的意见，在不使用实无穷观点下写出了《几何原本》，没有提出点是无有大小的概念。但近代康托儿提出了“数学必须肯定实无穷”意见后的近代ZFC公理集合论，承认“自然数的归纳集是完成了的整体的实无穷集合”；前边已经讲到，把ZFC形式公理体系作为数学基础存在许多问题，为此笔者想到了“对立统一法则是唯物辩证法的根本法则”(参看毛泽东《矛盾论》) ，想到了古代太极图理论中“阴阳产生万物”的思想，想到了“一切事物中包含着的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾，就无有世界”（参看毛泽东《矛盾论》）的论述。因此，笔者提出数学理论中必须使用“无限与有限、理想与现实、精确与近似相互依存、相互斗争的对立统一法则，使用无限是从有限出发逐渐趋向性质的广义极限方法、使用希尔伯特提出的使用普通语言（或称元语言）叙述方式修改了数学理论中的许多基本概念。