P 是正方形 ABCD 中一点，已知 PA=1 ，PB=2 ，PC=3 ，求正方形 ABCD 的面积

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

drc2000再来

是正方形 ABCD，而不是正方形 ACDB，况且AP是1，不是2

luyuanhong

luyuanhong

正方形 ABCD 的顶点，必须按照 A,B,C,D 的次序，环绕正方形一周。

所以，当题目给出 PA=1 ，PB=2 ，PC=3 时，只可能是上面第 3 楼的那种情形。

若要得到另外一种情形的解，必须将题目的已知条件改为 PA=2 ，PB=1 ，PC=3 。

ccmmjj

作为正月初一，对本坛几何题还是要做一点贡献的。大概陆老师不知道，这是一道陈题。方法是这样的：
如图，将三角形ＡＢＰ绕Ｂ点旋转９０度成为三角形ＣＢＱ。这时候，三角形ＰＢＱ成为一个等腰直角三角形，有∠BQP=45°,PQ=2根号2。
而 CQ=AP=1, PC=3,于是有 PQ^2+CQ^2=PC^2,由勾股定理，当然有 ∠PQC=90°, 得到　∠BQC=135°=∠APB，
利用余弦定理：AB^2=AP^2+BP^2-2AP*BP cos135°,即是正方形面积＝1+4-4*cos135°=5+2根号2 。█

luyuanhong

谢谢楼上 ccmmjj 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

王守恩

drc2000再来 发表于 2019-2-4 15:15
是正方形 ABCD，而不是正方形 ACDB，况且AP是1，不是2

过 P 作 AB 的垂线 x，过 P 作 BC 的垂线 y，有 3 种情况。

1，x^2+y^2=1^2，根号(2^2-x^2)+根号(1^2-x^2)=根号(1^2-y^2)+根号(3^2-y^2)

2，x^2+y^2=2^2，根号(1^2-x^2)+根号(2^2-x^2)=根号(2^2-y^2)+根号(3^2-y^2)

3，x^2+y^2=3^2，根号(1^2-x^2)+根号(3^2-x^2)=根号(3^2-y^2)+根号(2^2-y^2)