【趣题征解】证明：边长为1的正方形内接四边形的边长满足 2≤a^2+b^2+c^2+d^2≤4

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/07/09 04:19pm 第 1 次编辑]

【趣题征解】一个四边形，它的 4 个顶点分别在一个边长为 1 的正方形的 4 条边上，
设四边形的边长为 a,b,c,d ，证明： 2≤a^2+b^2+c^2+d^2≤4 。

wangyangkee

胡思乱想：
   1，设四边形顶点和正方形顶点分四条边长----8份----分别为A,B,C,D,E,F,G,H,问题在于求A,B,C,D,E,F,G,H的平方和的极值；
   2，A,B,C,D,E,F,G,H是俩两互相制约的变量；俩两之间是互相对等的等代制约；问题转化为求其一组-----设为A,B的平方和的极值；
   3，A,B之间是互相制约的变量；根据不等式，A,B之和在A,B相等时有极小值；同样，A,B的平方之和在A,B相等时有极小值；
   4，至于A,B的平方之和，可表为：  A的平方  +（1-A）的平方；显然，A=0，取极大值。
   5，A,B,C,D,E,F,G,H的平方和的极值  2,4。

luyuanhong

下面引用由wangyangkee在 2010/07/09 06:44pm 发表的内容：
胡思乱想：
   1，设四边形顶点和正方形顶点分四条边长----8份----分别为A,B,C,D,E,F,G,H,问题在于求A,B,C,D,E,F,G,H的平方和的极值；
   2，A,B,C,D,E,F,G,H是俩两互相制约的变量；俩两之间是互相对等的等代制　...

想法有些道理，但还不完整，也没有一步一步详细写清楚。

guanchunhe

这个问题应该容易得到证明。

luyuanhong

下面引用由guanchunhe在 2010/07/10 06:57pm 发表的内容：
这个问题应该容易得到证明。

说得对。欢迎你把这题的证明详细清楚地写出来。

LLZ2008

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/07/11 00:06am 第 2 次编辑]

楼上证明的思路基本正确。
但是，为什么当 AB+BC＝1 时，必有 AB^2+BC^2≥1/2 ，还是没有说清楚。
其实这一点可以用 Cauchy 不等式来证明：

设 x+y＝1 ，则由 Cauchy 不等式可知
2(x^2+y^2)＝(1^2+1^2)(x^2+y^2)≥（1×x+1×y)^2＝(x+y)^2＝1^2＝1 ，
所以，这时必有 x^2+y^2≥1/2 。
另外，前面证明 a^2+b^2+c^2+d^2≤4 的那一部分，也可以像下面这样证：

设 x+y＝1 ，x≥0 ，y≥0 ，则有
x^2+y^2≤x^2+2xy+y^2＝(x+y)^2＝1^2＝1 。

wangyangkee

luyuanhong

对，楼上用求导数的方法求最小值，从而得到不等式的证明，也是一种可行的方法。

LLZ2008

下面引用由luyuanhong在 2010/07/10 11:47pm 发表的内容： 楼上证明的思路基本正确。
但是，为什么当 AB+BC＝1 时，必有 AB^2+BC^2≥1/2 ，还是没有说清楚。
其实这一点可以用 Cauchy 不等式来证明：
设 x+y＝1 ，则由 Cauchy 不等式可知
2(x^2+y^2)＝(1^2+1 ...

谢谢 luyuanhong 教授的点评！(AB^2+BC^2)/2≥(AB+BC)^2/4即AB^2+BC^2≥1/2，也可以用凹凸函数的性质，(BC^2+CD^2+DE^2+EF^2+FG^2+GH^2+HA^2+AB^2)/8≥((BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA+AB)/8)^2,从而得a^2+b^2+c^2+d^2≥2.前者高中教师教我的，后者是您教我的。 您的另外，也即是初高中生能接受的方法。多谢指点！