四色猜测证明方法集锦（整理稿）（二）

雷明85639720

四色猜测证明方法集锦（整理稿）（二）
雷明
（二0一五年五月二十四日）

（接上一贴）
（11）极大图的4—着色证明四色猜测
极大图是平面图中顶点相邻关系最复杂的一种，如果能证明极大图的色数是不大于4 的，那么对极大图通过去边或去点而得到的任意平面图的色数也一定是不会大于4 的，因为这样做的结果只会使图的色数减少而不会增加。
顶点数最少的极大图是3—圈，也即K3图，在K3图的任何一个面中增加一个顶点，则最多只可能与三个顶点相邻，给其着上与其三个相邻顶点所不同的第四种颜色即可，该图变成一个K4图，但仍是一个极大图；在这个极大图中的任何一个面内增加一个顶点，该顶点仍可着已用过的四种颜色之一，得到的图仍是极大图；若在极大图的任何一条边上增加一个顶点时，这个顶点最多也只能与四个顶点相邻，是一个4—度顶点。根据坎泊的证明，这种4—度的待着色顶点一定是可以着上图中已用过的四种颜色之一的。就这样一步步的“增”下去，所得到的图都是极大图，图中也绝不会出现第五种颜色，所以说任何极大图都是可4—着色的。
极大图是可4—着色的，把极大图经去边或去点而得到的任何平面图的色数只会减少而不会再增加，所以，任意平面图的色数也是不会大于4 的。这也就证明了四色猜测是正确的。
（12）用待着色顶点移动着色法证明四色猜测
我们使用坎泊所创造的颜色交换技术，已经对难着色的赫渥特图、米勒图、张氏Z图及我最近所构造的L图进行了4—着色，说明了任何一个5—轮构形的图都是可以4—着色的。
由于任何一个平面图中都至少存在着一个顶点的度是小于等于5 的，所以在对平面图着色时，当所遇到的待着色顶点的度是大于等于6时，就可以把该待着色顶点着上与其相邻的顶点中所用次数最少的那种颜色，而把与待着色顶点相邻的那些已经去掉了颜色的顶点变成一个或若干个新的待着色顶点。这样一步一步走下去，就一定会找到一个或若干个度小于等于5的更新的待着色顶点，该顶点一定是可以用坎泊的颜色交换技术着上图中已用过的四种颜色之一的。就这样把一个个度大于等于6 的待着色顶点变换成度为不大于5的新的待着色顶点，给其着上已用过的四种颜色之一（这里要注意的是，同一个度不大于5 的顶点是可以多次作为新的待着色顶点的），直到把图中所有的顶点都着色完毕为至，一个图的着色就结束了。经过这样着色的平面图中是绝对不会出现第五种颜色的。这就证明了极大平面图是可以4—着色的。从而也就有任意平面图的色数也是不会大于4 的结论。四色猜测得到证明是正确的。
（13）用逐渐还原度小于等于5的顶点来证明
我们使用坎泊所创造的颜色交换技术，已经对难着色的赫渥特图、米勒图、张氏Z图及我最近所构造的L图进行了4—着色，说明了任何一个5—轮构形的图都是可以4—着色的。
由于平面图中一定存在着度小于等于5的顶点，若把这些顶点从图中去掉时，图仍然是一个平面图，但同时又会产生新的度小于等于5的顶点。再把新生成的度小于等于5的顶点去掉，再产生新的度小于等于5的顶点。就这样一直的把5度顶点“去掉”下去，图最后将成为一个顶点数小于等于4的图，这个顶点数小于等于4的图进行4—着色是没有问题的。
现在再按“去点”时的相反方向往回走，先给上面已着色的4顶点图还原最后一次去掉的那个度小于等于5的顶点，图中就有5个顶点了。这时待着色的顶点（即被还原的顶点）的度也一定是小于等于5的，该顶点也是可以着上图中已用过的四种颜色之一的。再还原最后第二次去掉的那个度小于等于5的顶点，图中就有6个顶点了，这时的待着色顶点的度还是小于等于5的，也是能着上图中已用过的四种颜色之一的。以后所还原的顶点的度都是小于等于5的，他们也一定是能着上图中已用过的四种颜色之一的。直到把所去掉的顶点全部还原完为止。这时，所有的顶点都是着上了已用过的四种颜色之一，没有出现第五种颜色。这也就可以证明了任何平面图的色数都是不会大于4 的。四色猜测是正确的。
（14）用断链的方法给待着色顶点着色来证明
一个构形的待着色顶点，如果其围栏顶点占用的颜色数未达到4，该待着色顶点都是可以着上四种颜色之一的；如果围栏顶点已占用完了四种颜色，则必须想办法从围栏顶点中空出一种颜色来，然后给待着色顶点着上。如何空出颜色，这就得灵活的运用坎泊的颜色交换技术了。
用坎泊的颜色交换技术空出颜色的原则是：对于以待着色顶点为中心顶点的轮的对角顶点的颜色所构成的链是不连通的时，才可进行交换，也才能空出颜色。而若是连通链时，即就是交换了也是空不出颜色来的。
4—轮构形一定是可以通过交换空出颜色给待着色顶点着上的。而5—轮构形其中的两条连通链只有一个共同的起点或是只有一个交叉顶点时，也一定是可以通过交换空出颜色来的。而只有两条连通链既有共同的起点，又有一个交叉顶点时，如赫渥特图，米勒图，张氏Z—构形图和我的L—构形图，如论无何是不能通过交换对角链的办法空出颜色的。怎么办，就得想办法对图中已有的连通链进行“断链”，使原来连通的链变成不连通的，然后再使用坎泊的颜色交换技术空出颜色来给待着色顶点着上。而“断链”的过程仍然是施行坎泊的颜色交换技术的过程，只是这一“断链”过程所交换的链与5—轮的轮沿顶点是无关的。我们对赫渥特图，米勒图，张氏Z—构形图和我的L—构形图的着色都是用的这种办法。
断链方法的原理是：用四种颜色A、B、C、D所能构成的链有六种，即A—B、A—C，A—D，B—C，B—D和C—D六种，如果有A—B链是连通的时，则该链中的A和B在该链以外，只能与C和D相邻，构成A—C链和A—D链或者B—C链和B—D链，从A—B链上的任何一个A或B顶点开始交换上述的A—C链和A—D链或者B—C链和B—D链中的一种，都可以使A—B链上的被交换的顶点A或顶点B变成C或D，使A—B链断开。这样就可以对5—轮轮沿中的顶点A或B施行A—B链的交换，空出A或B来给待着色的5—轮中心顶点着上。
可以说任何平面图中的任何链都是可以通过这一方法“断开”的，所以也就可以说明任何平面图着色时是不会用到第五种颜色的。这也就证明了四色猜测是正确的。
三、小结
前10种证明方法都是“不画图，不着色”的方法，后4种证明方法都是画图着色的方法，但实际上我们也并没有真正的画图和着色，而只是文字中涉及到了画图与着色。尽管画图着色，用坎泊创造的颜色交换技术可以证明四色猜测是正确的，但能不能保证将来再没有人构造出什么图来，一时又不能对其进行4—着色，而又否定前面的成果呢。保证不了。这是完全是有可能的，因为图是多种多样的，谁一下子也不可能把所有的图都构造完。所以我一直是主张用“不画图，不着色”的方法证明四色猜测的，这样理论性更强，又不会存在反复。
雷明
（二0一五年五月二十四日）
注：此文已于二0一五年五月二十五日在《中国博士网》上发表过。

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