【趣题征解】证明：当 n≥6 时，一个正方形总可以分割成n个(大小不必相等的)小正

luyuanhong · 发表于 2010-7-12 08:55

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/07/12 08:57am 第 2 次编辑]

【趣题征解】证明：当 n≥6 时，一个正方形，总可以分割成 n 个（大小不一定要相等的）小正方形。

LLZ2008 · 发表于 2010-7-13 11:24

luyuanhong · 发表于 2010-7-13 13:30

楼上答案正确。

zhaolu48 · 发表于 2010-7-13 15:19

2楼画出的是6，7，9。“8”该如何画呀？

zhaolu48 · 发表于 2010-7-13 15:24

因此是否有n=8+3k(k=0,1,2,…)无解呀？

LLZ2008 · 发表于 2010-7-13 15:29

每边4等分得4×4=16，其中3×3还原为1个，16-9+1=8.

zhaolu48 · 发表于 2010-7-13 15:34

明白了，谢谢楼上。

luyuanhong · 发表于 2010-7-13 17:53

从下图可以看出更简单的规律：

zhaolu48 · 发表于 2010-7-14 12:09

只要n=6,7,8时能够画出来，那么对n是大于6的任何自然数时皆可画出来。
比如n=1000时，有1000=7+331*3。
先画出“7”时的分割图，把3个较大的正方形各分割成四个小正方形，这时便成为共16个小正方形。
再把每个小正方形分割为4个更小的正方形，这时变为64个小正方形；
再把这64个小正方形每个都分割为4个更小的正方形，这时变为256个小正方形；
而3+16+64+256=339，339-331=8，因此在这256个小正方形中，取出248个小正方形，分割为4个小正方形，则248*4+8=1000。分割完毕。

zhaolu48 · 发表于 2010-7-14 15:03

楼上相当于证明n>6的任意n值，皆可证明结论成立。
事实上这样做，太麻烦了。
较简单的作法是，令k=int(sqrt(n))+1(即n的算术根取整加1)，把正方形等分为k^2个小正方形，然后再根据k^2-n具体决定合并方法。
比如n=100000，则k^2-n=489=22^2+5。
由此可得，
一、把正方形等分成317^2=100489个小正方形；
二、把22^2=484个小正方形合并为一个大正方形；
三、把8个小正方形合并为两个正方形。
则恰好把大正方形分割为100000小正方形。

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