【趣题征解】已知 f(0)=x，f(1)=y，f(n+1)=｜f(n)｜-f(n-1) ,n=1,2,… 。求 f(99

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/07/12 00:35pm 第 1 次编辑]

【趣题征解】已知 f(0)=x，f(1)=y，f(n+1)=｜f(n)｜-f(n-1) ,n=1,2,… 。求 f(999)=?

常量

令y>x>0, 2x>y 令y>x>0, 2xy>0, x>2y 令x>y>0, x<2y f(0)=x f(0)=x f(1)=y f(1)=y f(2)=y-x f(2)=y-x f(3)=x-2y f(3)=x-2y f(4)=2x-3y f(4)=y f(5)= x-y f(5)= 3y-x f(6)=2y-x f(6)=2y-x f(7)=-y f(7)=-y f(8)=x-y f(8)=x-y f(9)=x f(9)=x f(10)=y f(10)=y 令y<0，x<0 f(0)=x f(1)=y f(2)=-x-y f(3)=-x-2y f(4)=-y f(5)=x+y f(6)=-x f(7)=-2x-y f(8)=-x-y f(9)=x f(10)=y 综上所述，f(999)=x

luyuanhong

常量网友不怕麻烦详细写出的答案非常正确！

elimqiu

f(999)=-x

luyuanhong

下面引用由elimqiu在 2010/07/15 05:11pm 发表的内容：
-=-=-=-=- 以下内容由elimqiu在时添加 -=-=-=-=-
f(999)=-x

这个解答不对，没有注意到本题的递推公式中有绝对值。

elimqiu

下面引用由luyuanhong在 2010/07/16 01:47am 发表的内容：
这个解答不对，没有注意到本题的递推公式中有绝对值。

是没有注意到。这样看来二楼的方法已经很简单了。

luyuanhong

二楼的答案是对的，但是推导中还没有把全部情况都考虑到。
下面用表格形式给出完整的推导：

常量

其实我也知道漏了一些情形，如x>0，y<0及y>0，x<0，也可以得到最终结论的，只是我及时没有补充上去。我想，除了列举法，这道题有没有捷径呢？

luyuanhong

下面引用由常量在 2010/07/18 02:52pm 发表的内容： 其实我也知道漏了一些情形，如x>0，y<0及y>0，x<0，也可以得到最终结论的，只是我及时没有补充上去。我想，除了列举法，这道题有没有捷径呢？

我也很想知道，是不是还有比列举法更简单的证明。 我自己找了好久，也没有找到。 你如果有兴趣，可以向这方面努力，试试看能不能找到。

白新岭

向luyuanhong教授表示祝贺，祝贺陆教授拥有了自己的数学网站。
今日我已在“陆元鸿老师的《数学中国》园地”中注册了。